–Nunca seré astronauta, fijo. –afirmó Ven con vehemencia.

–¿Y eso? Pero si siempre has querido ser astronauta…

Mati_Naukas_5_a

–Pues ya no, ¿viste? Uno siempre tiene derecho a crecer y cambiar de opinión.

–Lo que te pasa, Ven, es que te has asustado con el tráiler de la película del marciano –respondió Sal –. Es normal, da un poco de miedito pensar que te quedas solo en medio de un planeta sin poder conectar con nadie…

–Pues sí, pero eso no pasa en nuestro planeta –Mati acababa de entrar en la habitación –, nuestro planeta es un mundo pequeño y muy bien conectado.

–Bueno, Mati, tan pequeño no es, no te pases –dijo el pequeño Ven.

–En tamaño sí lo es si lo comparamos con el tamaño del universo… –intervino su hermano Sal.

–Efectivamente, pero además –añadió Mati–la teoría del mundo pequeño lo que predice o conjetura es que cualesquiera dos personas en el mundo pueden mandarse entre sí un mensaje sin usar más de 6 intermediarios.

–No me lo creo –protestó el Pelanas.

–Bueno, Ven, no se puede demostrar porque necesitaríamos disponer de todos los datos de todos los humanos del mundo y sus relaciones entre ellos, pero en los experimentos que se han hecho siempre se ha cumplido y eso hace pensar que nuestro mundo está muy conectado –explicó la pelirroja –. En cualquier caso, el problema que tiene nuestro astronauta en Marte es que está aislado, que no está conectado con nadie.

–Me estoy agobiando –dijo Ven –. Me estoy agobiando mucho. ¿Has leído el libro, Mati? ¿Consigue escapar de Marte?

–Sí, he leído el libro –respondió ella y añadió con un guiño–, pero no te lo voy a contar: tendrás que leerte el libro o ir al cine a ver la película.

–Da igual, no lo conseguirá –insistió un angustiado Ven –, ¡es imposible escapar!

Gauss ladró 3 veces en ese momento. Suponemos que por darle dramatismo a la escena y porque siempre tiene que formar parte de cualquier movida. Es un perro raro.

–Se me ocurre una idea, chicos –propuso la gafotas–: para relajarnos un poco y mientras vamos a ver la película os voy a explicar un acertijo que se conoce, precisamente, con ese nombre: escape imposible.

–Sí, por favor –pidió Sal con alegría.

–¿Tiene que ver con quedarse aislado en medio del universo? –preguntó el pequeño.

–No, para nada –dijo Mati –, solo necesitamos un tablero de ajedrez y 64 monedas.

–Voy por el tablero –dijo el gafotas –, trae nuestra hucha, Ven.

Gauss volvió a ladrar para recordarle a la humanidad que él también estaba allí y que también tenía su corazoncito.

–Ya tenemos todos los ingredientes, Mati –dijo Ven ansioso.

–Estupendo. Imaginad que sois apresados por un malvado y sádico personaje. Vuestro maquiavélico carcelero idea un plan para poner a prueba vuestra inteligencia de tal manera que si resolvéis el enigma quedaréis libres los dos y, en otro caso, os dejará encerrados para siempre –les contó Mati misteriosa –. Para ello os convoca a los dos en una sala en la que hay una mesa con un tablero de ajedrez y junto a él un frasco de monedas y os explica lo siguiente:

“Os voy a encerrar a los dos en una celda durante 5 horas. Después sacaré a uno de vosotros a esta misma sala, señalaré una única casilla del tablero de ajedrez, la que yo quiera, será la casilla mágica y a continuación cubriré las casillas del tablero con monedas, una por casilla, como me dé la gana: unas estarán con la cara hacia arriba y otras con la cruz, o tal vez todas cara arriba, o todas cara abajo. Aquel de vosotros que esté conmigo en ese momento, tendrá que cambiar la posición de una de las monedas, una y solo una, para tratar de señalar a su compañero cuál es la casilla mágica. Después, encerraré en una celda distinta al primero que salió, sacaré al segundo y si acierta cuál es la casilla mágica, estaréis libres los dos. En otro caso, os quedaréis aquí, para siempre.”

Y se rió de forma malvada.

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–Vale, gracias, Mati –dijo Ven –. Ahora estoy más agobiado que antes.

–Pero, ¿por qué, Ven? ¿No confías en nuestra inteligencia? –le dijo ella –Vamos a pensar un poco, ya veréis cómo conseguimos escaparnos…

–¡Es imposible, Mati! –interrumpió Ven con los ojos fuera de sus órbitas –¿No lo ves?

–Ven, ¿por qué no dejas que Mati nos lo explique?

–Porque no es posible, Sal, el malo puede poner las monedas cara arriba o cara abajo, como le dé la gana. ¿Cómo vas a señalar una casilla de forma dando la vuelta a una moneda si el otro prisionero no sabe cómo estaban al principio? ¿No ves que es imposible? ¿No lo ves?

–Poco a poco, Ven –intervino Mati –. Pensemos en que el tablero, por ejemplo, solo tiene 2 casillas: una blanca y una negra. Vamos a pensar cómo lo haríamos.

–Vale –aceptó el pequeño –, ya me dirás tú…

–¿De cuántas formas posibles podría colocar las monedas el carcelero en las dos casillas? –les preguntó.

Los niños pensaron un poco, Gauss se rascó la oreja. Finalmente, Sal dijo:

–Solo de 4 formas posibles, Mati.

–Eso es –confirmó la pelirroja –: cara-cara, cara-cruz, cruz-cara y cruz-cruz.

2casillas_0

–Nuestros amigos, los dos prisioneros tendrán 5 horas para diseñar una estrategia –continuó ella –, pero nos sobran más de 4. Veréis, los presos pueden acordar que si el carcelero señala la casilla blanca, haremos el movimiento que sea necesario para que la moneda en la casilla blanca sea una cara.

–Ah, claro, brillante… –dijo Sal.

–Vale, ahora lo veo –añadió Ven –: si en la casilla blanca hay cara, cambiamos la moneda en la casilla negra que nos da igual y si en la casilla blanca hay cruz, cambiamos esa casilla.

–Ajá, eso es, chicos. Depende de lo que haya en la casilla blanca, cambiamos lo que haga falta para dejar una cara en esa casilla, así:

2casillas_B

–¡Lo tengo! –gritó de pronto el pequeño –. Y si el carcelero señala como mágica la casilla negra lo que tenemos que hacer es dejar una cruz en la casilla blanca para indicar que no es esa la elegida.

–¡Muy bien, Ven! –dijo Mati. Gauss gruñó celosillo –Estas serían las posibilidades:

2casillas_N

–Qué chulo, Mati –dijo el gafotas –. Pero, ¿cómo lo hacemos cuando son las 64 casillas del tablero de ajedrez?

–¡Eso, eso! –insistió Ven.

–Pues de una forma brillante que os voy a contar –empezó a decir ella –, codificando cada casilla usando el sistema binario, ¿os acordáis?

–Sí, claro –dijeron al unísono.

–Pero os lo voy a explicar con un tablero 4 x 4, en lugar de un tablero 8 x 8, simplemente porque son menos cuentas, pero el procedimiento es el mismo, ¿os parece bien?

–¡Vale! –volvieron a decir a la vez.

–Allá vamos. Si el tablero de nuestro carcelero es 4 x 4, vamos a numerar sus casillas, son 16, del 0 al 15, comenzando por la que esté frente a nosotros a la derecha.

–¿Y si el carcelero mueve el tablero cuando salga el primer prisionero y antes de entrar el segundo? –preguntó Ven despavorido.

–No, no lo hará –lo tranquilizó ella –, el tablero está sobre una mesa muy, muy pesada, no se puede girar. Así que convenimos por donde empezamos a numerar nuestras casillas desde el 0 hasta el 15.

tablero_1

–Ahora, escribimos esos nombres en binario –les dijo –, ¿recordáis cómo?

–Sí –dijo el gafotas –, se trata de ir dividiendo por 2, sin decimales, mientras se pueda y quedarse con el último cociente y con los restos, desde abajo hacia arriba. Por ejemplo, si queremos escribir 13 en binario hacemos esto:

binario_0

–Muy bien, Sal –dijo Mati orgullosa –, veo que recuerdas muy bien lo que os conté.

–Yo también me acordaba, Mati –dijo Ven –, pero esto solo sirve para niños que sepan dividir…

–Bueno, a los que no saben, yo les enseño con billetes –respondió ella guiñando un ojo.

–¿Con billetes? ¿Cómo? –preguntó el pequeño.

–Les doy billetes de 1, 2, 4, 8, 16 euros, todos con una cantidad que sea una potencia de 2 y solo uno de cada clase.

billetes

–A continuación, les digo –continuó Mati –que compren, por ejemplo, algo que cueste 27 y que me escriban en esta tabla cuántos billetes de cada tipo han usado:

tabla_0

–Pues… para pagar 27 euros –dijo Ven –necesita uno de 16, otro de 8, uno de 2 y otro de 1.

–Eso es –afirmó ella –. Lo ponemos en la tabla:

tabla_1

–Y ya tenemos que 27 se escribe en binario 11011 –concluyó la pelirroja.

–¡Qué chulo, Mati! –dijo Sal –Así pueden aprender binario desde muy pequeños.

–Efectivamente –dijo ella –, y se lo pasan bomba.

–Sigue con lo de los prisioneros, por favor, Mati –le pidió ansioso Ven.

–Es verdad, sigamos. Lo que hacemos a continuación es escribir los números de nuestro tablero en binario, ahora que ya sabemos hacerlo perfectamente:

tablero_BIN

–Ahora, imaginemos que nuestro carcelero ha llamado a Sal y en su presencia elige como casilla mágica, por ejemplo, la 9. Es decir, la 1001. Esa es la información que Sal tiene que transmitirte a ti, Ven: 1001.

eleccion_1

–A continuación, el carcelero colocará las monedas como le apetezca sobre el tablero, por ejemplo así (he puesto las monedas que están cara arriba más grandes porque son las que vamos a contar):

eleccion_1_5

–¿Y ahora qué, Mati? ¿Qué hará Sal para que yo sepa que la casilla mágica es la 9 o la 1001? ¡Solo puede cambiar una moneda! –Ven estaba cada vez más nervioso.

–Espera, Ven –lo tranquilizó ella –. Ahora vamos a contar las caras que vemos en distintos grupos de este tablero. Empezamos contando las caras que están sobre aquellas casillas que tienen un 1 en su última cifra en binario, las que marcamos aquí: tablero_2_0

–Hay 5 caras en esas dos columnas, Mati –dijo el gafotas.

–Cuando haya un número impar de caras, lo contaremos como 1 y cuando haya un número par de caras, lo contamos como 0 –continuó ella –. Así que a esta tabla le corresponde un 1. Veamos cuántas caras hay en las casillas que tienen un 1 en la penúltima cifra de su expresión en binario, es decir, en estas columnas:

tablero_2_1

–¡Hay 3! –dijo Ven –Le ponemos otro 1.

–Eso es –confirmó ella –. Y ahora contamos cuántas caras hay en las casillas que tienen un 1 en su antepenúltima cifra de su expresión en binario, las que están en estas filas:

tablero_2_2

–Son 4 –dijo Sal –, le ponemos un 0, ¿no?

–Naturalmente –respondió Mati –. Y por último, contamos cuántas caras hay en las casillas que tienen un 1 en su expresión en binario en la 4 cifra contando desde el final, o sea, las de las 2 últimas filas:

tablero_2_3

–También hay 4 así que otro 0 –concluyó Ven.

–Eso es –continuó la gafotas –. Lo que hemos hecho es codificar con un número las posiciones de las caras y las cruces que nuestro carcelero ha colocado, a su antojo, sobre nuestro tablero. Esta distribución de monedas será para nosotros la 0011 (las ponemos en este orden):

codigo_1

–¿Y ahora qué? –preguntó Ven con ansias.

–Relájate, Ven –siguió la pelirroja –. Ya sabemos que cada distribución de caras y cruces sobre el tablero se puede codificar con un número en binario. Si Sal quiere que tú sepas que la casilla mágica es la 1001, la 9, lo que hará es conseguir que la distribución de caras y cruces sobre el tablero sea tal que su codificación en binario sea 1001.

–¿¿Moviendo solo una moneda?? Vamos, Mati, es imposible.

–Deja a Mati que termine, Ven, así no avanzamos.

El pequeño arrugó la boca con resignación. Gauss no hizo nada, yo creo que estaba tan nervioso como el Pelanas.

–Ya veréis, chicos –continuó ella –, es un idea brillante. Vamos a usar para ello un operador lógico, el operador de disyunción exclusiva, que se conoce como XOR.

–Buf, ni idea… –protestó el pequeño.

–¡Ven! –le regañó el gafotas.

–El operador XOR es un operador que considera que la suma de dos hechos es verdadera solo si lo es una de ellas. Es decir, si una es falsa y la otra es verdadera. Pero si las dos son o verdaderas o falsas, el operador concluye que la suma de las 2 es falsa. Lo vemos en esta tablita donde la V significa verdadero y la F significa falso:

XOR_1

–Pues, bien –continuó Mati–, vamos a aplicar este operador a los 0 y a los 1, como si el 1 fuera la V y el 0 fuese la F:

XOR_2

–Lo que haremos a continuación, chicos, es ‘sumar’ con este criterio el número de la casilla mágica que eligió el carcelero (la 1001) y el número de la distribución de caras (el 0011), así:

XOR_3

–¿¿Y ahora?? –Ven no pudo estar más tiempo callado.

–Ahora ya está, Ven –respondió Mati –, esa es la moneda a la que Sal le tiene que dar la vuelta: a la moneda que está en la casilla 1010.

–Que es la casilla número 10 –añadió el gafotas que ya lo estaba intuyendo.

–Efectivamente, Sal –corroboró la pelirroja –, esa es la moneda que hay que cambiar.

–¿Y qué pasa si Sal cambia esa, Mati?

–Vamos a verlo, ¿te apetece?

–¡Claro!

–¿Qué tenemos en la casilla 1010 antes de que Sal haga nada?

–¡Cruz! –gritó el pequeño.

XOR_4

–Sal la volteará y en esa posición habrá una cara –dijo Mati.

XOR_5

–Ahora vamos a calcular el código de esta distribución de caras y cruces como hemos hecho antes: contando las caras que hay en las casillas coloreadas y escribiendo 0 si hay un número par o 1 si hay un número impar de caras:

final

–¡Toma, toma, toma! –gritó Ven entusiasmado –¡Es el número de la casilla mágica! ¡Cómo mola!

–¡Es fantástico, Mati! –dijo Sal con los ojos abiertos como platos mientras sus gafotas resbalaban a la punta de su naricilla.

Gauss ladró con entusiasmo. No sabemos sí porque lo había entendido todo o porque ya había terminado la explicación de Mati y podrían salir de paseo. Mati les guiñó un ojo con esa sonrisa que siempre le sale cuando ve a sus amiguitos emocionados con lo que les cuenta.

–¿Qué? ¿Salimos a dar un paseo?

–No, no –dijo Ven — Vamos a probarlo con el tablero completo del ajedrez. ¿Cómo sería si elijo la casilla 57?

–Bueno –dijo Mati –, hay que empezar por escribir 57 en binario por ejemplo rellenando esta tabla:

tabla32

–Pero mejor se lo dejamos propuesto a nuestros amigos –añadió la gafotas –y nos vamos a dar un paseo que creo que Gauss se está enfadando un poco.

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FIN

Espero que os guste este nuevo reto o acertijo. A mí me encantó cuando lo descubrí aquí. Se acercan días de vacaciones y reuniones familiares, ingredientes perfectos para que sorprendas a todos con este reto del escape imposible.

Hasta pronto.

Mati.

–Vaya, pues no para de llover. Qué latazo…

–Bueno, Ven, no te preocupes –dijo Bentor –. ¿Jugamos aquí dentro?

–¿Al fútbol? –respondió Ven –No podemos jugar al fútbol dentro de casa, no nos dejan.

–¿Jugamos con las Magic? –propuso el gafotas que empezaba a encontrar ventajosa las inclemencias del clima.

–No, Sal, no me gustan las Magic –protestó su hermano –. Te pones un poco pesado con las cartitas esas, perdona que te lo diga.

–¿Vemos la tele un rato? –propuso Bentor que empezaba a temer una nueva discusión entre los dos hermanos sobre lo maravilloso o no que era jugar al Magic.

Bentor estaba de visita en casa de sus amigos Sal y Ven. Por la mañana, habían planeado jugar al fútbol por la tarde con Laura y los demás, pero desde el mediodía no paraba de llover. Estaban un poco desilusionados y contrariados pero iba a durarles poco porque Mati estaba a punto de entrar en el salón.

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–Hola chicos –saludó la pelirroja al entrar –. Vaya, veo que hoy tenéis un invitado en casa.

–Es Bentor –se apresuró a decir Ven –. Vive en Santa Cruz de Tenerife y ha venido a visitarnos, pero para nada –añadió frunciendo el ceño –, porque no podemos jugar al fútbol.

–Hola Bentor –lo saludó Mati –. Estoy casi segura de que has venido para algo más que jugar al fútbol, ¿verdad? –Mati le guiñó un ojo.

–Claro, Mati –dijo él con una inmensa sonrisa –. Tenía ganas de estar con Sal y Ven y –la carita de Bentor enrojeció un poco –tenía muchas ganas de que me enseñaras un juego de los tuyos.

–Oh, me parece una gran idea –dijo ella –. Os voy a enseñar un juego chulísimo mientras esperamos que deje de llover, ¿os apetece?

–¡Sí! –dijeron los tres niños al unísono. Gauss resopló aliviado, tenía un rato para descansar.

–Veréis –empezó a decir Mati –, os voy a enseñar varios juegos, todos con triangulaciones…

–¿Con qué? –preguntó Bentor arrugando la nariz.

–Con triangulaciones –le explicó Sal –. Mati nos pondrá muchos puntos en una hoja de papel y tenemos que unir los puntos de dos en dos con una línea, pero sin que se crucen las líneas, ¿no, Mati?

–Ah, sí, ya me acuerdo –añadió Ven –. Ese juego ya lo conocemos.

–No, Ven –dijo ella –. Nosotros hemos jugado alguna vez, cuando eráis más pequeños, a triangular conjuntos de puntos, pero nadie ganaba. Se trataba solo de conseguir la triangulación, hoy vamos a ver otros juegos diferentes.

–¿Cómo se hace una triangulación? –preguntó Bentor.

–Te lo contamos –respondió la gafotas –. Si tenemos un conjunto de puntos en nuestro papel como, por ejemplo este –Mati dibujó unos puntos en una libreta que llevaba.

capirote1

–Hacer una triangulación de estos puntos –continuó –consiste en unir con rayitas los puntos de dos en dos, sin que se crucen entre sí. Cuando ya no se puedan añadir más rayitas, lo que nos quedará es una triangulación, un dibujo formado por triángulos con los vértices en los puntos que teníamos al principio.

–¿Puedo intentarlo? –preguntó Bentor.

–Claro –le respondió Sal –. Toma este rotulador.

Bentor se puso a unir puntos de dos en dos como le había dicho Mati, sin que se cruzaran las líneas que iba dibujando. Al cabo de un rato, les mostró a todos el resultado.

–Ya lo terminé.

capirote2

–¿Estás seguro? –preguntó Ven haciéndose un poco el interesante.

–Creo que sí, que no puedo pintar más rayitas.

–Mira, fíjate aquí, aquí hay un cuadrilátero –dijo Ven –, tienen que quedar triángulos.

capirote3

–Puedes añadir una línea más –apuntó Sal –para dividir ese cuadrilátero en 2 triángulos, Bentor.

–Ahora sí –dijo este después de pintar una línea más.

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–Ajá –dijo Mati –, eso sí es ya una triangulación. Muy bien, Bentor. Ahora os voy a enseñar a los tres qué es un flip en la triangulación.

–¿¿Flip?? –preguntó Sal con una cara muy rara.

–Bueno, ese es el término en inglés –dijo Mati –, en español sería giro o intercambio, pero a mí me gusta llamarlo flip, porque es más sonoro. Además porque así los llamaba mi amigo Ferran Hurtado que es el que me enseñó los juegos con triangulaciones que os quiero contar.

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–¿Y qué es un flip, Mati? –quiso saber Ven.

–Un flip es una operación que solo podremos aplicar a las aristas (llamamos aristas a las rayitas que habéis dibujado) interiores de la triangulación –respondió ella –, esto es, no podemos hacer flip con ninguna de las aristas que están pintadas en azul en el siguiente dibujo:

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–¡Vale! –dijeron los tres niños a la vez.

–Muy bien –siguió ella –. Ahora nos fijamos en una arista interior. Esa arista, por ser interior, está compartida por dos triángulos de la triangulación, ¿verdad? Fijaos en esta que está pintadode verde:

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Los niños asintieron con la cabeza. Gauss también. Es un perro muy novelero.

–Pues bien –continuó Mati –, hacer flip en esa arista verde consiste en sustituirla, cuando se pueda, por la otra diagonal del cuadrilátero formado por los dos triángulos que la comparten. Como he hecho yo en esta figura:

capirote8

–Eso lo podemos hacer siempre –dijo de pronto el gafotas –, ¿no, Mati? Siempre que la arista sea interior habrá dos triángulos pegados por ella, estos formarán un cuadrilátero y un cuadrilátero siempre tiene dos diagonales, puedes cambiar una por la otra para hacer la flip.

–No, no, no, amiguito –respondió Mati –, porque puede ocurrir que una de las diagonales esté por fuera del cuadrilátero y no se pueda dibujar porque cortaría a otra arista de la triangulación. Y eso, caballeros, está prohibido. Fijaos en el siguiente dibujo:

capirote10–Si nos fijamos en la arista que comparten los dos triángulos sombreados en morado –continuó ella –, es una arista interior, pero no podemos hacer flip porque la otra diagonal del cuadrilátero que forman los dos triángulos va por fuera y nos quedaría algo así de feo e ilegal: una arista cortando a tres triángulos de fuera.

capirote11–Ah, claro… –aceptó Sal.

–O sea, Mati –interrumpió Ven –, como tú nos enseñaste: para poder hacer flip es necesario que la arista sea interior pero no es suficiente, ¿no?

–¡Eso es, muy bien, Ven! –se alegró Mati — Veo que entendiste muy bien la lección.

–Entonces –interrumpió Bentor que estaba deseando empezar a jugar –, ¿qué tenemos que hacer, Mati? ¿Hacer flips a todas las aristas que podamos?

–Bueno, ese no es el juego que os iba a proponer –dijo esta –, pero es otra posibilidad.

–Entonces, ¿cuál es el juego que nos quieres enseñar? –siguió preguntando el pequeño.

–En realidad son varios juegos –dijo Mati –, al primero lo llamaremos, simplemente, “construye una triangulación”. Este es un juego para 2 jugadores, podéis jugar por turnos, de 2 en 2, y solo necesitamos un papel y un lápiz.

–Aquí tienes –dijo Bentor acercándole a Mati las cosas que había pedido.

–Gracias, Bentor –dijo ella y continuó –. En el papel dibujamos unos puntos, los que queráis…

–¿56? –interrumpió Ven.

–Los que queráis –respondió la pelirroja –, yo he pintado estos. Ahora, por turnos, cada jugador dibuja una arista, una línea, hasta que completen la triangulación. Si un jugador termina un triángulo al dibujar en su turno, se lo apunta en su cuenta. Gana el que más triángulos haya cerrado una vez que hayan triangulado todos los puntos.

–No sé si lo entendí bien, Mati –dijo Bentor.

–Ya verás –le respondió Mati –. Si tenemos estos puntos, imagina que el primer jugador pinta esta arista:

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–Pensemos que el segundo jugador no es demasiado despierto –siguió ella –y dibuja esta otra:

2triangulacion1–Noooooooooo –gritó Ven de pronto –, esa no, ¡que cierra el triángulo el jugador 1!

–Efectivamente –dijo ella –, ya os dije que no era un jugador muy despierto. En este caso, el jugador 1 cierra el triángulo y se anota un punto.

4triangulacion1–¡Qué chulo! –exclamó Bentor –¿Jugamos?

–Como queráis –dijo Mati –, os iba a enseñar más juegos para que luego eligiéseis el que más os gustara.

–Sí, sí, Mati –dijo Sal –, cuéntanos todos primero.

Bentor y Ven aprobaron la decisión de Sal. Gauss ladró, llevaban mucho rato sin hacerle caso.

–El siguiente juego se llamará “el triángulo de oro” –siguió la gafotas –. Es igual que el anterior pero gana el primero de los jugadores que cierre un triángulo.

–¿Sin terminar la triangulación? –preguntó Bentor.

–Eso es –confirmó Mati –. Otro posible juego de construcción de triangulaciones, es decir, de empezar solo con puntos e ir añadiendo las aristas para construir la triangulación, es el de “construye con tu color”.

–¿Qué es eso del color? –preguntó Sal.

–Pues que en esta versión del juego –les contó –cada jugador tiene un lápiz de un color distinto, usamos 2 colores, y solo se anotará un punto cuando cierre un triángulo con las 3 aristas de su color.

–Cómo mola… –exclamó Ven –. Ese es más difícil, ¿no?

–Bueno –dijo Mati –, diferente. También podéis jugar al “triángulo de oro y color”. Que sería como el del triángulo de oro pero gana el primero que consiga un triángulo con las tres aristas de su color.

–Me gustan todos –dijo Bentor –. Ahora no voy a saber cuál elegir…

–Espera, espera –le pidió Mati –, que todavía nos he contado los juegos con flips.

–Es verdad –dijo Sal –, ¿para qué sirven los flips en estos juegos?

–En los juegos que os acabo de explicar no usamos flips –respondió ella –, estos eran juegos todos de construcción. Ahora os voy a contar juegos de transformación. Partiremos de una triangulación ya terminada y jugaremos a transformarlas con flips, ¿queréis?

–¡Sí!! –dijeron los tres al unísono. Gauss se abstuvo de opinar en esta ocasión.

–El primero de flips que os voy a enseñar se llama “flipando” –dijo Mati –. Empezamos con una triangulación ya hecha, por ejemplo, con aristas negras (mejor a lápiz para borrar) y usamos un rotulador de otro color, por ejemplo verde. Por turnos, cada jugador elige una arista negra para ‘fliparla’, si se puede. Y si se puede, la flipa, es decir la borra y la cambia por la otra diagonal del cuadrilátero, pero en verde. Veis, como en esta figura, hemos pintado de rojo la arista elegida para flipar, la borramos y la cambiamos por la verde.

flipe11

–Es chulísimo, Mati –exclamó el pequeño Bentor.

–Muy chulísimo –dijo Ven que ya se había olvidado del fútbol.

–Ya os dije que los flips eran algo muy divertido –les dijo ella –. A mí me encantan por eso y, bueno, porque siempre me recuerdan a Ferran. Pues bien, el juego lo gana el que haga el que haga el último flip posible. Las aristas verdes no se pueden flipar, por eso las pintamos con rotulador, para no poder borrarlas.

Los niños asintieron con la cabeza, Gauss… ¿dónde estaba Gauss? Bueno, sigo.

–Una variante de este juego sería “caza al flip” –siguió Mati –que es como este pero gana el primero que cierre un triángulo con aristas de las verdes.

–Mola –dijo Sal.

–Y por último –anunció Mati –, mi versión favorita que se llama “flipando en colores”. Es como los dos anteriores, pero cada vez que un jugador flipa una arista NEGRA, colorea con su propio color la nueva arista y las que sean negras en el cuadrilátero definido por la arista flipada. El juego acaba cuando no se pueden seguir flipando aristas internas negras y gana el que haya dibujado más aristas en su color. Igual que antes, sólo se pueden flipar las aristas que sean todavía negras. Por ejemplo, juega primero el rojo, flipa una arista negra y pinta de rojo la nueva y el cuadrilátero que la contiene:

flipandocolores

–A continuación –siguió –, el jugador azul elige un cuadrilátero donde flipar, hace el flip,

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pero solo pinta de azul aquellas aristas que eran negras, las rojas (del primer jugador) no las puede tocar.

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–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola!–gritó Ven –¡Estoy flipando en colores!

–¡Voy a enseñárselo a todos mis amigos cuando vuelva a Santa Cruz de Tenerife! –dijo Bentor entusiasmado.

–¿Podemos jugar ya? –pidió Sal nervioso –¿A flipar en colores?

–¡¡Sí!! –gritaron Ven y Bentor y se sentaron los tres en el suelo.

–Muy bien, chicos –dijo Mati –. Yo voy a buscar a Gauss que hace un rato que no sé dónde está…

Mati_Naukas4_final

FIN

Bueno, amigos, espero que os gusten estos juegos de triangulaciones que me enseñó mi amigo Ferran Hurtado que publicó con otros colegas este trabajo. En él se analiza la conexión de algunos de estos juegos con triangulaciones con otros juegos tales como Kayles. Así mismo, los autores presentan algunas estrategias ganadoras para algunos de los juegos de triangulaciones cuando los puntos están distribuidos en algunas posiciones concretas (posición convexa).

Quiero mandar un saludo especial a nuestro amigo Bentor que nos sigue desde Santa Cruz de Tenerife y con el que nos lo hemos pasado muy bien en esta mateaventura. Gracias por estar ahí, Bentor.

Espero que juguéis mucho y me contéis cuál de todos es vuestro favorito.

¡Hasta pronto!

MATI

Dedicado a mi amigo Ferran del que aprendí mucho de lo poco que sé.

Et trobo a faltar, Ferran.

CLARA GRIMA

–Y por último, elige en qué montón está tu carta, Sal.

–En este –señaló el gafotas.

–A ver… –Ven puso cara de pensar muy fuerte y finalmente le enseñó el siete de espadas a su hermano –¡Es esta!

–No, era el cinco de oros –dijo Sal sin alterarse.

–¡Has hecho trampas, gafotas! ¡Me has mentido! –gritó el pequeño muy enfadado –Este truco no falla nunca, me lo enseñó Mati. Pero si me mientes no sale.

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–Pero, bueno, ¿qué pasa aquí? –Mati acababa de llegar.

–El gafotas me ha mentido para que no me saliera el truco de las 21 cartas, Mati –protestó el pelanas.

–No he querido mentirte , Ven –se defendió el mayor –. a lo mejor me he equivocado…

–Sí, claro –receló Ven –. Lo que pasa es que no quieres reconocer que soy un gran mago.

–¿Sabéis, chicos? –interrumpió la pelirroja – ¿Recordáis cuando os hablé de mi amigo Jin Akiyama?

–Sí –dijo Sal –, claro, el matemático más famoso de Japón.

El pequeño Ven, que seguía más enfadado que nadie en el mundo, miraba a Mati con el ceño fruncido intentando adivinar qué tenía que ver Akiyama sensei* con el tramposo de su hermano.

–Eso es –afirmó la gafotas –. Pues bien, Jin me enseñó un truco de adivinación en el que el mago podía acertar el número que había pensado alguien, aunque este mintiera (o se equivocara) una vez.

–¿¿Sí?? –preguntó Sal con los ojos de par en par.

–¿También con cartas? –preguntó Ven intentando disimular su curiosidad.

–No, no se trata de adivinar cartas –continuó ella –, sino de adivinar, como he dicho, el número que ha pensado alguien, como aquel que aprendimos para el cumpleaños de vuestra abuela, pero en esta ocasión, cuando le enseñamos las tarjetas para que nos diga en qué tarjetas está el número que ha pensado, le permitimos que nos mienta, como máximo, una vez: es decir, que nos diga que está en una tarjeta en la que no está o al revés, que nos diga que no está en una tarjeta en la que sí está el número que ha pensado.

–¿Nos lo enseñas, Mati? –pidió el gafotas.

–Bueno, venga, vale –añadió el pequeño mirando de reojo.

–Para realizar este truco de adivinación con posibilidad de un engaño –les dijo –, Jin me regaló esta estantería con bolas de colores y repisas deslizables.

MatiNaukas3_2

–¡¡Qué chula!! –gritó Sal –¿Cómo funciona?

–Ya veréis –continuó ella –, os lo voy a explicar sobre este diagrama que representa a la estantería con sus siete repisas.

akiyama_1

–Se trata de que le pidáis a alguien que piense un número del 1 al 15, lo escriba en un papelito y lo esconda –siguió Mati –. Decidme uno y os enseño cómo funciona.

–Pero si te lo decimos ya lo sabes, qué lista… –protestó el pequeño.

–Claro, Ven –dijo Mati –, es sólo para que veáis cómo funciona el truco.

–El 9 –gritó Sal.

–Muy bien –dijo Mati –, suponemos que nuestro amigo, al que le queremos hacer el truco ha pensado el 9, pero nosotros no lo sabemos. Entonces le enseñamos estas 7 tarjetas y le pedimos que señale en cuáles de ella está. Le decimos que nos puede mentir, como máximo una vez.

akiyama_2

–Ese es como el de la abuela, Mati –dijo el pelanas.

–Sí, Ven –confirmó ella –, pero aquí se puede mentir una vez.

–¿En qué tarjetas diría nuestro amigo que está el 9? Señaladlas pero mentid en una, por ejemplo. Ya sabéis que no es necesario mentir, pero si se miente, solo se puede mentir una vez.

Los chicos, cuchicheando, se pusieron a señalar las tarjetas en las que estaba el 9 y se las mostraron a su amiga.

akiyama_2_B

–Bueno, veo que me habéis mentido en la rosa –dijo Mati –. Pero, claro, yo no debería saberlo aún. Lo que hago a continuación es deslizar las repisas correspondientes a las tarjetas que habéis señalado en verde, las que vosotros, mentirosillos, decís que contiene vuestro número. Fijaos que si ponemos las tarjetas al lado de la estantería cada tarjeta se corresponde con una de las 7 baldas de la misma.

akiyama_2_C

–Si deslizamos las baldas correspondientes a las 4 tarjetas que habéis señalado –siguió –, las bolas que están sobre esas 4 baldas caerían aquí.

Mati deslizó las baldas y las bolas correspondientes cayeron en un pequeño depósito que estaba abajo.

–Vamos a contar cuántas bolas de cada color hay –les propuso.

Los niños se pusieron a contar:

–Hay 13 bolas blancas, 3 rojas, 2 azules y 3 amarillas –dijo el gafotas.

–Si vuestro amigo os dice eso, ya sabéis que os mintió en una tarjeta –les dijo.

–¿¿Por qué?? –preguntó Ven.

–Porque el número de bolas de colores –dijo Mati –, sin contar las blancas, debe ser par. Si el número de bolas rojas, azules o amarillas es impar, es porque os han mentido en una tarjeta.

Los niños miraban a Mati con una curiosidad infinita. Gauss se rascó una oreja.

–Es más –continuó con voz misteriosa –, como son las bolas rojas y las amarillas las que han caído en número impar, me habéis mentido en la tarjeta correspondiente a la balda que tenía solo 2 bolas de colores: una roja y otra amarilla.

Los niños miraron rápidamente qué balda era la que tenía una bola roja y otra amarilla (y 4 blancas, pero eso no importaba en este momento) y comprobaron que, efectivamente, correspondía con la tarjeta rosa en la que habían mentido. Gauss ladró sin entusiasmo para llamar la atención, es un perro raro.

–Toma, es verdad, Mati –se sorprendió Ven.

–Por lo tanto –continuó ella –, como habéis mentido, esa balda no debió caer. Retiro esas bolas, que no las necesito y me quedo con el resto –añadió y eliminó 4 bolas blancas, 1 roja y una amarilla, las correspondientes a la balda de la tarjeta rosa –. ¿Cuántas bolas blancas quedan, chicos?

–¡¡9!! –gritó Sal.

–Eso es que habéis pensado en el 9 –dijo ella con una graciosa reverencia.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –exclamó el pelanas.

–¡Es chulísimo, Mati! –gritó Sal.

–Lo es –dijo –. A mí me encantó cuando me lo enseñó Jin.

–¡Hazlo otra vez! –le pidió el pequeño – Pera ahora no te decimos el número.

Mati asintió y los niños escribieron 11 en un papel que escondieron en el bolsillo de Ven. Gauss volvió a ladrar. Él es así.

–Ya –dijo Ven.

–¿Me podéis señalar en qué tarjetas está, por favor, mintiendo como máximo una vez?

Sal y Ven marcaron las tarjetas y se las dieron a Mati:

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Mati las puso junto a la estantería y dejó caer las bolas correspondientes a las tarjetas marcadas.

akiyama_4_B

–A ver, hay 9 bolas blancas, 2 rojas, 3 azules y 1 amarilla… –empezó a razonar la pelirroja –, eso significa que me habéis mentido en una estantería con una bola azul y una amarilla… –continuó –, así que me habéis mentido en esta tarjeta:

akiyama_4_C

Los niños se miraron y se rieron nerviosos con complicidad. Gauss apretó los dientes con pelusilla.

–O sea, tramposillos –continuó ella –, que vuestro número sí está en esta tarjeta… –Mati deslizó la balda correspondiente a dicha tarjeta dejando caer 2 bolas blancas, 1 azul y una amarilla –. Vuestro número es el 11, las 9 bolas blancas que tenía y estas 2 que acaban de caer.

–¡Es genial! –gritó Ven.

–Y muy fácil –añadió Sal –: (1) le pedimos a alguien que piense un número y sin decirlo lo escriba en un papelito y lo esconda; (2) le pedimos que señale en qué tarjetas está, mintiendo, como máximo una vez; (3) deslizamos las baldas de las tarjetas correspondientes a las tarjetas señaladas y dejamos caer sus bolas; (4) contamos las bolas de colores (no las blancas): si hay un número par de cada color, no nos ha mentido y el número que pensó es el número de bolas blancas; si hay un número impar de bolas de 1 o más colores, es que nos ha mentido en la tarjeta de la balda que tenía bolas de los colores que aparecen en número impar; (5) si habíamos quitado dicha estantería, será porque nos dijo que estaba y era falso; quitamos las bolas de esa balda, contamos las blancas y ese es su número; (6) si la balda donde nos mintió estaba sin quitar, es porque nos dijo que ahí no estaba su número y mintió; la quitamos, dejamos caer las bolas, contamos cuántas bolas blancas hay y fin.

–¿Me lo puedo llevar al cole para jugar con mis amigos? –preguntó Ven.

–Pues, la verdad, es que me daría mucha pena que se perdiera alguna bolita –dijo ella –. Es un regalo de Jin de su museo de Tokio. Pero os voy a enseñar a hacer el mismo truco solo con las tarjetas, ¿vale?

–¡Vale! –aceptó el pequeño.

–En realidad, no necesitamos las bolas –continuó ella –aunque, claro, queda más bonito. Basta con que pongáis unas letras junto a las tarjetas (que serían como las bolas de colores) así:

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–Las bolas blancas solo estaban en las tarjetas marcadas con ABC, AC, BC Y AB –les dijo –: había 8 bolas blancas en la tarjeta ABC, que es el número más bajo de esa tarjeta; 4 bolas blanca en la AC, que también es el número más bajo de esa tarjeta; 2 bolas blancas en la BC, su número más bajo y 1 una bola blanca en la AB, su número más bajo. Pensad un número del 1 al 15.

–El 3 –dijo Ven.

–Señala en qué tarjetas aparece y, recuerda que solo puedes mentir una vez o no mentir –le pidió Mati.

Ven se puso manos a la obra:

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–Se trata ahora de sumar el número de aes, bes y ces de las tarjetas que has marcado en verde –dijo Mati –: 1 A, 1 B y 2 C. Como hay un número impar de A y B, significa que nos has mentido en la tarjeta AB: has dicho que ahí no estaba pero sí está. Así que tu número está en las tarjetas AB, BC, A y C. Como en las tarjetas A, B y C no había bolas blancas, solo tengo que sumar las bolas blancas de AB y BC, o lo que es lo mismo, elegir el número más pequeño de AB, 1, y sumarlo al más pequeño de BC, 2. Por lo tanto, tu número es 3. cosa que ya sabíamos.

–¡Bien! –dijo Ven.

–¿Y si cuando sumas las A, B y C de las tarjetas que te señalan salen los 3 pares, Mati? –preguntó Sal.

Si los 3 son números pares –le dijo –, como en las bolas si los 3 colores salen pares, significa que no ha mentido y solo hay que sumar las bolas blancas (o el número más pequeño) de las tarjetas señaladas. Salvo las tarjetas A, B y C que no tenían bolas blancas, claro.

–¡Es chulísimo! –volvió a decir el pequeño –Y sirve aunque el gafotas me engañe.

–¿Cómo se inventó Jin este truco? –quiso saber Sal.

–Usando la escritura de los números en binario –respondió la pelirroja –como vimos aquella vez, y añadiendo unos dígitos de control y correción para detectar la mentira o el fallo.

–¿Me lo explicas? –le pidió el gafotas.

–Claro –contestó –, vamos a escribir en una tabla la expresión en binario del 1 hasta la del 15, usando 4 columnas:

binario_1

–Fijaos –continuó ella –, en la primera columna, la que marco con ABC, los números que tienen un 1 en esa columna son precisamente los que aparecen en la tarjeta ABC: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 y 15.

binario_2

–-Es verdad –dijo Sal.

–Y lo mismo ocurre con las otras 3 columnas –les dijo –. Ahora vamos a añadir 3 columnas más que serán nuestro código corrector de error.

binario_3

–Ahora, nos fijamos en aquellas columnas que tengan una A: la ABC, la AB y la AC –siguió ella.

binario_4

–Ahora, por filas, para cada número del 1 al 15, sumamos los 3 números marcadas en naranja en su fila: si nos sale par, ponemos un 0 en la columna de la A, si nos sale impar, ponemos un 1.

binario_5

–Ya tenemos los números que aparecen en la tarjeta A, los que tienen un 1 en la columna que acabamos de rellenar: 1, 3, 4, 6, 8, 10, 13, 15 –concluyó Mati.

–Mola –dijo Ven.

–Hacemos lo mismo con las columnas que tienen B: ABC, AB y BC –continuó.

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–Ya tenemos los números de la tarjeta B –siguió –. Solo nos queda hacer lo mismo con las columnas que tengan C: ABC, AC y BC.

binario_7

–Con esto, tenemos los números del 1 al 15 expresados con 7 cifras, entre 0 y 1—dijo ella –. Los 4 primeros dígitos representan la expresión binaria del número y los 3 últimos son el código corrector de errores.

binario_8

–Cuando os he preguntado en qué tarjeta estaba el 3 –dijo –, me habéisis dicho en la BC, en la A y en la C. O sea, que me habéis dado este número 0010101, es decir:

0(ABC) 0(AC) 1(BC)0 (AB)1 (A) 0(B) 1(C).

Lo primero que tengo que hacer es comprobar si es correcto, para ello uso los dígitos correctores, sumando las columnas como antes.

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–Pero, oh –exclamó la pelirroja –, detecto que las columnas A y B están mal. En la A debería aparecer un 0 y en la B un 1. Por lo tanto, hay un error en la columna AB: en esa columna, en lugar de un 0 debería haber un 1 y, por lo tanto, la expresión en binario de vuestro número es el 0011, que es la expresión en binario del 3.

–¡¡Lo mola todo!! –gritó Ven.

–Es maravilloso… –añadió su hermano.

–Y muy útil –dijo Mati –, los códigos correctores de errores nos permiten detectar y arreglar fallos en la transmisión de datos, por ejemplo, cuando se araña la superficie de un CD.

–¿Sí? –Ven estaba alucinando.

–Sí, Ven –le respondió –. También se usan códigos detectores de error en nuestro número del DNI o en el IBAN de banco, pero estos solo nos dicen que hay un error, no nos permite corregirlos.

–Oye, Mati, ¿nos presentarás algún día a Akiyama? –preguntó el pelanas.

–Por supuesto –respondió Mati –, estoy segura de que Gauss y él serán muy buenos amigos.

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FIN

(*) Sensei: Es una palabra japonesa que significa maestro, profesor, sabio…

Espero que os haya gustado este truco, a mí me encantó cuando me lo enseñó Jin Akiyama. Respecto al juego de cartas, el de las 21 cartas que estaban jugando Sal y Ven al principio de esta aventura, os lo voy a explicar, es un juego clásico, pero por si no lo conocéis.

Se juega con 21 cartas, se pide a alguien que elija una, sin enseñártela, y la esconda de nuevo en el mazo. Barajáis muy bien las cartas. Las vais poniendo boca arriba en 3 montones y le pedís a vuestro amigo que recuerde en cuál de los 3 está su carta. Hemos hecho una ilustración con las cartas boca abajo, pero se hace boca arriba, para que tu amigo pueda ver dónde está la suya. Para ti, en principio, son todas iguales, no necesitas prestar atención al orden en que van apareciendo.

21cartas_1

Recoges los montones, dejando el elegido en el centro, entre los otros 2. Si lo haces así, la carta elegida está entre la 8 y la 14: primero van las 7 primeras del montón de arriba, luego el montón de la elegida y el último. Las vuelves a poner en 3 pilas o montones pidiendo a tu amigo que se fije en qué montón cae. Hemos pintado de rojo las cartas sospechosas para ver en qué posiciones quedarán la segunda vez que hagas los montones:

21cartas_2

Fíjate que la carta que quieres está entre las posiciones 3 y 5 de cada montón: en la pila 1, las sospechosas son la 3 y la 4; en la pila 2, son la 3, la 4 y la 5; y en la pila 3, la 4 y la 5. En cualquier caso, entre la 3 y la 5 como hemos dicho. Ahora le pedimos que señale la pila en la que está su carta y recogemos como antes, dejando ese montón (o pila) en medio, entre los otros 2.

Si lo hace así, solo nos quedarán 3 cartas sospechosas: las 7 del primer montón no lo son, ponemos las del segundo y como en ese las sospechosas son la 3, 4 y 5, ahora serán la 10, la 11 y la 12. Y ya está, ya no hay más cartas sospechosas. Fíjate que pasa al colocarlas, de nuevo, la tercera y última vez, en 3 pilas:

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Efectivamente, ya solo tenéis una carta sospechosa en cada pila, la cuarta. Pedidle que señale, otra vez, el montón, recogéis como antes, dejando el montón señalado en el centro, y contáis 11. ¡Tachán!

Si falláis, es porque vuestro amigo es un pelín mentiroso y, en ese caso, hacedle mejor el truco de Jin Akiyama 😉

Hasta muy pronto.

MATI

–Madre mía, ¡qué lío tenemos aquí, Mati! No vamos a terminar de ordenar esto nunca –exclamó Ven mirando a su alrededor.

–Tranquilo, Ven –lo tranquilizó ella –. Despacito y buena letra…

–Que el hacer las cosas bien importa más que el hacerlas, ¿no? –remató Sal la frase de la pelirroja –Esa cita es de Antonio Machado, ¿verdad, Mati?

–Ajá –dijo Mati mientras abría no sin esfuerzo otra caja en la otra punta del salón.

–Tú, poeta –interrumpió Ven dirigiéndose a su hermano –, dime dónde guardamos los patines. Y quítate esas gafas, que pareces un niño loco.

Mati_Naukas2_1

–Voy, Ven –respondió el gafotas –. En realidad no queda tanto, son solo 54 cajas, exagerao.

–¿Te parecen pocas cajas, gafotas? –protestó el pequeño –El señor del camión nos ha mirado con desconfianza, seguro que él hubiera conseguido guardarlo todo en menos cajas…

–Bueno, bueno, Ven –dijo de pronto Mati –, el problema de almacenar objetos es en el menor número de cajas posible no es fácil ni siquiera para el señor de la casa de mudanza. De hecho, es un problema de los que los matemáticos llamamos de naturaleza NP-duro.

–Ah, ya me acuerdo, Mati –interrumpió de nuevo Ven (al que ahora llaman a menudo ‘Pelanas’ en casa desde que se ha dejado crecer la melena) –, esos son de los que no se pueden resolver ni con ordenador, ¿no?

–Eso es, Ven –asintió la gafotas –. De los que no se puede saber su solución óptima, la mejor, ni con la computadora más potente. A este problema, el de empaquetar en el menor número de cajas se le conoce, como el problema del bin packing, en inglés, que significa precisamente eso, empaquetamiento (packing) en caja (bin).

–¿Por qué es tan difícil, Mati? –preguntó Sal con su curiosidad habitual.

–Pues… A ver… Entre otras cosas –dijo esta –porque el número de combinaciones de objetos que se pueden hacer para empaquetar es muy, muy grande, enorme y habría que comprobarlos todos.

–Entonces, ¿no hay ningún método para hacerlo lo mejor posible? –volvió a preguntar Sal.

–Bueno, hay distintos métodos que dan soluciones relativamente buenas –contestó ella –, pero no hay ninguno que se pueda hacer en tiempo razonable para encontrar la mejor.

–¿Nos cuentas alguno, Mati? –le pidió.

–Vale –les dijo –, así descansamos un poco de la mudanza.

Los niños se sentaron a escuchar a Mati. Gauss también, le gusta hacerse el interesante. Mati empezó a contarles:

Mati_Naukas2_2

–El problema del empaquetamiento en cajas para una mudanza en realidad es un problema tridimensional, porque estamos tratando de resolver un problema de volúmenes. Si fuera un problema de áreas, por ejemplo de colocar pegatinas de distintas formas (sin superponerlas) en el menor número de cartulinas posibles, sería un problema bidimensional, de 2 dimensiones. Pero os voy a contar la versión unidimensional, solo una dimensión, porque es más fácil para nosotros y nos sirve para hacernos una idea tanto de la versión de 2 dimensiones como de la de 3 dimensiones del problema.

Así que vamos a pensar en una de las dimensiones, por ejemplo, la altura. Nuestros objetos (los que tenemos que empaquetar) serán todos rectángulos con la misma base y lo que varía de unos a otros es la altura. Las cajas donde queremos agruparlos serán también rectangulares, con la misma base que los objetos y con altura, por ejemplo, de altura 10. Vamos a pensar que nos van dando objetos de distintas alturas en este orden: {4, 8, 5, 1, 7, 6, 1, 4, 2, 2} y que queremos colocarlos en cajas de altura 10, usando el menor número posible de cajas.

Mati_54_1

–Por lo menos necesitamos 4 cajas, Mati –exclamó Ven –, porque si sumas todas las alturas nos da 40.

–Eso es, Pelanas –dijo Mati sonriendo –, vamos a ver si lo conseguimos. El primer método que os voy a enseñar es el Next Fit: si no cabe en esta, en la siguiente. No es un método demasiado eficiente pero es muy simple. Empezamos con una caja y vamos metiendo los objetos siguiendo el orden de izquierda a derecha, si al tomar un nuevo objeto no nos cabe en esa caja, la soltamos y cogemos una caja nueva. Y así sucesivamente.

–O sea –dijo Ven –, cogemos la primera caja y metemos el objeto de 4, que es el primero por la izquierda, ¿no?

–Eso es –confirmó Mati.

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–Y ahora, como el siguiente no cabe porque mide 8, tenemos que coger otra caja.

–Sí, señor, así es, Pelanas –respondió Mati con un guiño.

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–El siguiente que es de 5 no cabe en esta segunda caja –siguió Ven –, así que cogemos otra nueva, ¿no?

–Ajá.

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–¿Y por qué no lo metemos en la primera, Mati? –quiso saber Sal.

–Porque no es ese el método que estamos usando –dijo ella –. Con nuestro método no tenemos que recordar como están las cajas anteriores, ni volverlas a mirar: si no cabe en la que estoy usando en ese momento, tomo una nueva.

–Pues nada, cogemos otra caja –siguió el pequeño.

Sal y Ven siguieron colocando las cajas, en el dibujo que Mati les había hecho en un papel, siguiendo el método del Next Fit hasta que las colocaron todas.

Mati_54_5

–Necesitamos 6 cajas –concluyó Sal –. Demasiadas, creo yo.

–Sí, son muchas –dijo Mati –, pero, como os he dicho antes, este método tiene la ventaja de que no tenemos que estar pendientes de cómo de llenas están las cajas que ya hemos usado. Es un método que no necesita usar mucha memoria. En cualquier caso, os voy a proponer otro método, a ver si lo hacemos con menos cajas. Se trata del First Fit: en la primera caja que quepa. Hacemos como antes, los vamos colocando tal como aparecen de izquierda a derecha, pero miramos de las cajas que vamos usando, cuál es la primera en la que cabe.

–Empezamos igual que antes, ¿verdad? –preguntó Ven.

–Sí, claro.

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–Y seguimos igual que antes, ahora el 8 va a otra caja –dijo Sal.

–Eso es –confirmó Mati.

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–Pero ahora la del 5, la metemos en la primera caja, ¿verdad, Mati? –dijo Ven con entusiasmo.

–Efectivamente, caballero.

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–Y la siguiente del 1 también la podemos poner en la primera caja, Ven –dijo Sal.

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Los dos hermanos siguieron organizando las cajas con el First Fit hasta que las colocaron todas.

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–Huy, qué rabia –dijo el pelanas –, hemos tenido que usar la quinta caja para meter un objeto de 2, y teníamos 2 huecos de 1… ¿Lo podemos partir por la mitad, Mati?

–¿Sí? –respondió ella – ¿Y si ese objeto de 2 es tu álbum de cromos del mundial?

–Vale, vale, lo pillo –aceptó el pequeño.

–¿Queréis que intentemos mejorarlo un poco? –propuso la pelirroja a los niños.

–¡Sí! –dijeron ellos al unísono.

–Una mejora de estos métodos –siguió Mati –se puede conseguir si sabemos desde el principio, como en nuestro ejemplo, cuántos objetos hay que colocar y de qué tamaño. Pero eso no suele pasar en la vida real…

–¿Por qué? –la interrumpió el gafotas.

–Porque, como habéis comprobado con nuestra mudanza –dijo ella –, cuando crees que has empaquetado todo, aparece un nuevo objeto que hay que guardar.

–Toma, claro.

–El método que os propongo consiste en, conocidos todos los objetos que tenemos que guardar, ordenarlos por tamaño antes de empezar.

–¿De mayor a menor? –preguntó Ven.

–Sí, eso es de mayor a menor, Ven.

Los niños dibujaron de nuevo los objetos, pero ahora ordenados de mayor a menor.

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–¿Y ahora qué hacemos, Mati? –preguntó Sal –¿El First Fit o el Next Fit?

–El que vosotros queráis.

–Hacemos el First, ¿vale, Ven?

–Pues, vale.

–Ponemos el 8 en la primera caja…

–El 7 en la segunda, el 6 en la tercera y el 5 en la cuarta –apostilló Ven –. Todos esos números por parejas suman más de 10 y no caben en ninguna caja dos de ellos.

–Muy bien, Ven –dijo Mati –. Efectivamente, con los 4 primeros usamos ya 4 cajas.

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–Sí, Ven –dijo su hermano –, pero ahora, si seguimos el orden y vamos colocando en el primer hueco que vamos encontrando, fíjate qué nos queda:

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–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven –¡4 cajas! ¡No se puede hacer mejor! ¡Eres un crack, Sal! ¡Elegiste bien el First!

–No dudo que Sal sea un crack –dijo Mati –, pero en este ejemplo, si lo hacéis con el Next Fit, también salen 4.

–Vamos a hacerlo –propuso Ven con entusiasmo.

–Yo creo que eso se lo dejamos a nuestros amigos para que lo intenten, ¿vale? –dijo la gafotas –Nosotros tenemos que seguir con la mudanza, que no terminamos.

–Pues tampoco es tan difícil, Mati –dijo Sal.

–Bueno, es que hemos hecho unos ejemplos con la versión más simple –respondió ella –. Pero, ¿y si no todos los objetos tienen la misma forma? ¿Y si podemos escoger cajas de distintos tamaños? ¿Y si son objetos tridimensionales? ¿Y si hay que guardar patines, drones de juguete, balones… ?

–Vale, vale –aceptó Sal arrugando la nariz –, puede ser muy, muy difícil, sí. Voy a seguir colocando cosas.

–Sí, a ver si terminamos hoy… –añadió Ven –. Y luego llamamos a Culogoma para decirle que ya estamos en Naukas, ¿vale?

–Claro –respondió Mati –, pero yo creo que ya debe saberlo porque nuestro Gauss lleva un rato ahí con su móvil…

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FIN

Hoy es un día muy especial para los protagonistas de estas historias, porque hoy hace 3 años que aparecieron por primera vez. Lo hicieron en el Pequeño Libro de Notas, un maravillosos semanario infantil que, por cosas de la vida, dejó de publicarse en diciembre del año pasado

Desde aquel 14 de mayo les han pasado muchas cosas a Mati, Sal, Ven y Gauss, y todas buenas. Y desde entonces, cada año que han cumplido han recibido grandes regalos. Cuando cumplieron un año, dos nuevos amigos, Fis y Mr. Green, llegaron para contarnos muchas cosas interesantes de Física y Astronomía. Con el segundo cumpleaños, nuestros amigos pudieron ver su libro Hasta el infinito y más allá en la calle.

En este tercer cumpleaños tienen también un regalo muy especial, la publicación de su primera mateaventura en Naukas. Nos han contado nuestros protagonistas que están un poco nerviosos porque no conocen a los nuevos lectores. Bueno, Gauss no, la verdad, es un perro muy valiente y temerario.

Muchas gracias a todos los que nos seguís desde hace 3 años o desde hace 3 días. Aunque haya quien diga que este mundo virtual es frío y deshumanizado, nos llega el cariño de muchos de vosotros. Muchas gracias, de todo corazón.

En este nuevo blog, y gracias a José Cuesta, podéis encontrar todos los capítulos anteriores de Mati y sus mateaventuras y también todos los de Mati, una profesora muy particular. Desde ahora, este será el rincón donde encontrar todo lo que tienen Mati, Sal, Ven y Gauss.

Nada más, esperamos que sigamos viéndonos por aquí a menudo.

Un beso muy gordo.

Clara y Raquel

De izquierda a derecha: Gauss, Ven, Mati y Sal
De izquierda a derecha: Gauss, Ven, Mati y Sal

—Hola, amigos, me llamo Matemáticas…

—Pero le llamamos Mati, porque es mas cortito.

—Ven, no interrumpas a Mati.

—Gracias, Sal. Pues sí, me llaman Mati porque es más corto y porque asusta menos, a mucha gente no le gustan las palabras esdrújulas —Mati sonríe y guiña un ojo.

—Sí, no le gustan las catástrofes, ni los parásitos, ni los relámpagos, ni los murciélagos, ¡ni las víboras! —Ven cierra los ojos con fuerza.

—Pues a mí me gustan los pájaros, los árboles, las pirámides, las películas, ¡los sábados! —Sal sonríe con felicidad.

—Y a mí —dice la pelirroja —me gustan la lógica, la informática, la estadística, los polígonos, los vértices, los números…

—¡Es fantástico! —sentencia Ven.

—Sigamos con las presentaciones. Ellos son Sal y Ven, mis dos amigos, curiosos y simpáticos.

—A Sal le llamamos “el gafotas”, pero, tranqui, que a él le gusta.

—Sí —reconoce Sal no sin ruborizarse.

—Y él —continua Mati— es Gauss, la mascota de Sal y Ven.

—Y es el perro más listo de todos los perros, por eso le llamamos así —puntualiza Sal.

—Y porque él se presenta así, Sal, “Gauss, Gauss, Gauss” —dice Ven.

—Efectivamente, —confirma Mati y continúa —. No sé si nos conocéis pero venimos de vivir más de 2 años en Libro de Notas, un gran portal que siempre fue nuestra casa. Pero cerró. Nos dio mucha pena, muchísima. Afortunadamente, Naukas nos invitó inmediatamente a formar parte de su familia, Y aquí estamos. Muy contentos y agradecidos.

—Por cierto, ¡qué chulo es Naukas por dentro, ¿no, Sal?

—¡Chulísimo! ¡Está todo lleno de Ciencia por todos sitios!

—Mucha ciencia. —dice Mati y continúa— Y escepticismo y humor. Nos hacía muchísima ilusión llegar a Naukas. A partir de ahora apareceremos por aquí con muchas matemáticas para compartir con vosotros. No os despistéis porque no tardamos mucho.

—¡Eso! —añade Sal —¡No os vayáis muy lejos! ¡Pásate al Mati style!

—¡Uop, op, op, op! ¡¡OPPA MATI STYLE!!

De izquierda a derecha: Gauss, Ven, Sal y Mati
De izquierda a derecha: Gauss, Ven, Sal y Mati

En invierno son típicas las noches extremadamente frías con los cielos totalmente despejados donde la humedad es baja. Son las condiciones ideales para observar el cielo. Y eso es lo que estaban haciendo nuestros amigos Sal y Ven.

—¡Qué rabia! Yo quería que el cometa ISON hubiera sobrevivido al pasar tras el Sol –-dijo Ven mientras miraba a través de Leo los restos en forma de “V” del cometa.

—Algunos decían que se podría haber visto incluso de día. ¿Te imaginas? –-añadió Sal.

—Ya… Pero mira lo que ha quedado. ¡Una “V”! –-protestó el pequeño indignado.

—Bueno, Ven, es la V de tu nombre –le dijo el gafotas.

Mister Green, atento a la conversación de nuestros amigos intervino.

—Chicos, no os cabreéis con el cometa. ¡Podría haber sido peor! –-dijo.

—¡Ah! ¿Sí? ¿Y qué podría haber pasado? –-preguntó Sal.

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—¿Jugamos o qué, gafotas?

—Te he dicho que ahora no puedo, Ven. Tengo que terminar con esta tarea.

—Jo, ¿para qué quiero que seas mi hermano si no tienes tiempo de jugar conmigo? —protestó el pequeño con cara de ser el ser más desgraciado del planeta.

—Si quieres, puedes ayudarme con esto, Ven –propuso Sal para acabar con la agonía de su hermanito—, tengo que calcular los números más pequeños que 100 que sean primos…

—Vaya, rollo –volvió a protestar Ven –, eso no sirve para nada, ¡yo quiero jugar a los espías!

—Pues para ser un buen espía hay que saber mucho de números primos –Mati acababa de llegar.

—Hola, Mati –la saludó Sal.

—Hola, Mati –dijo Ven con su voz penosa mientras Gauss resoplaba con alivio –Los espías no necesitan saber nada de mates.

—Huy, te equivocas, Ven –dijo ella –. Una de las misiones de los espías es descifrar mensajes cifrados y las mejores técnicas de cifrados de mensajes usan un sistema basado en números primos con muchas mates.

—Ya no me acuerdo de que era un número primo… —masculló Ven.

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—Jo, estoy tan nervioso, Sal… —Ven no dejaba de pasear de un lado a otro de la sal de espera del aeropuerto.

—Y yo, Ven, me muero de ganas de ver a Siriki –respondió el gafotas.

—¡Guau! —dijo Gauss que también estaba impaciente.

Nuestros amiguitos están esperando a su nuevo primo. Siriki, que llega desde Costa de Marfil. Solo lo han visto en fotos y tienen muchas ganas de verlo en persona. Tienen muchas ganas de presentarle a sus amiguitos y de jugar con él.

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—Venga Gauss, solo va a ser un ratito y prometemos que no te va a doler —dijo Ven muy circunspecto. El gafotas, por su parte, estaba intentando encontrar sentido a lo que había leído sobre física cuántica en su nuevo libro favorito.

—¿Sabes que las partículas cuánticas pueden estar en dos sitios a la vez? —preguntó el mayor despertando de sus pensamientos.

—Sí, claro, entonces son como mamá que parece que está en todos los sitios a la vez —sentenció Ven. Ambos hermanos rieron ante la ocurrencia del pequeño.

—En serio, lo acabo de leer. Además, para ir de un sitio a otro lo hacen por todos los caminos posibles —dijo Sal mirando a su hermano de forma cómplice.

— Oye, Sal, ¿para qué queremos meter a Gauss en la caja? —preguntó Ven de pronto.

—Para hacer un experimento que nos hará famosos ya que aclararemos uno de los misterios más interesantes de la cuántica —Sal ya veía su nombre en los libros de física.

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—¿Has anotado lo de las patas, Ven?

—Sí, gafotas, he anotado todo –refunfuñó el pequeño –. Pero ¿no deberías apuntar tú algo?

—Yo soy el que está observando, ¿recuerdas?

—Tú eres un carota –protestó Ven –. Si quieres hacer como Calpurnia, deberías anotar tú tus observaciones, ¿no te parece?

—Pero tú escribes más rápido –de defendió Sal –, y si me paro a escribir, se escapa el saltamontes.

—Lo dicho, Sal –sentenció su hermano –, eres un carota.

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