—¿Por qué tenemos que hacer lo que tu digas, Sal?

—No, eso no es cierto, Ven,  y lo sabes. Antes nos hemos subido en la atracción que tú has elegido.

—Pues ahora quiero probar aquí —insistió Ven —. Soy el mejor lanzador del mundo.

—Estás siendo presumido, Ven —replicó Sal —. Se lo diré a mamá…

—Lo que pasa, Sal, es que no quieres reconocer que soy mejor lanzador … —insistió el pequeño cada vez más enfadado.

—El dinero es de los 2, Ven —contestó el aludido — y en estas casetas de tiro casi nunca se gana…

—¡Ja!—dijo Ven con cara de enfadadísimo.

—Vaya, qué risa tan poco convincente… —dijo Mati interviniendo en la cumbre.

—Es que Sal no quiere que compitamos en esta caseta —se apresuró a contarle Ven.

—Es que nos queda poco dinero, Mati —se defendió el gafotas —, y en estas casetas es muy difícil conseguir premio.

—¡JA! —insistió Ven.

—Bueno, eso y que Ven es un poco presumido y se cree un gran lanzador…

—Huy, no os lo vais a creer —dijo Mati muy teatrera tratando de relajar el ambiente—, me acabáis de recordar un romance sobre un lanzador un poco presumido, ¿os lo cuento?

Los niños asintieron con la cabeza. Gauss resopló, estas discusiones le agotaban. Mati les recitó el romance:

—Ni i-de-a —dijo Ven enfurruñado —¿Qué es un duro, Mati?

—Ah, tienes razón —le contestó la pelirroja —. Un duro eran 5 pesetas.

Sal se quedó pensando un buen rato al cabo del cual admitió:

—No me sale.

—Os enseñaré a hacerlo usando ecuaciones -les anunció.

—¡Ecuaciones! —exclamó Sal —Me encantan.  Ya nos enseñaste ecuaciones.

—Efectivamente —confirmó ella —. Pero en aquella ocasión solo teníamos una letra sospechosa, la x, y en este misterio —añadió bajando la voz imprimiendo misterio a la escena —hay dos sospechosas, la x y la y.

—¡Toma! —dijo el pequeño —¡Mola!

—¿Dos letras sospechosas? —preguntó el gafotas.

—Sí, la x representará el número de aciertos del tirador y la y representará el número de fallos del mismo —dijo Mati —. Tenemos que descubrir quién es x y quién es y.

—Como tenemos 2 sospechosas —continuó ella —, a las ecuaciones que vamos a tratar de resolver las llamamos ecuaciones con 2 incógnitas. 

—¿Qué ecuación tenemos que resolver, Mati? —preguntó Sal ansioso.

—Ecuaciones, Sal —respondió Mati —, para tener un único valor del acertijo, necesitamos tener, al menos, 2 ecuaciones, tantas como incógnitas.

—¿Qué pasa si solo tenemos una ecuación con 2 incógnitas? —preguntó el pequeño.

—En ese caso —respondió ella —, la ecuación tendrá infinitas soluciones.

—Sí, claro… —dijo Ven con sorna.

—Te lo voy a demostrar —anunció la pelirroja —. Vamos a ver una primera ecuación que deben verificar x e y, ¿cuánto debe valer la suma de x más y?

Los niños se quedaron pensativos hasta que el gafotas exclamó:

—¡16! Porque hizo 16 lanzamientos en total.

—Eso es —confirmó Mati —. Pues mira, Ven, si solo tenemos esa ecuación, tenemos varios  resultado distintos.

Mati empezó a escribir todas las posibles soluciones de la ecuación planteada:

—¡Eh! —interrumpió el gafotas —Esas soluciones no valen. Si acierta 16 y no falla ninguna, el feriante tendrá que pagarle 16 duros, y el romance dice que quedaron en paz.

—Efectivamente —confirmó Mati —, es por lo que necesitamos imponer la segunda condición, la de quedar en paz, para obtener otra ecuación y conseguir que la solución sea única: como por cada acierto le daban 5 pesetas, y por cada fallo él pagaba 3, si al final quedaron en paz fue porque 5 por x (el número de aciertos) era igual que 3 por y (el número de fallos). Ya tenemos la otra ecuación:

 

 

 

—Pues ya está —anunció Mati —, ya tenemos nuestro sistemas de 2 ecuaciones lineales con  2 incógnitas.

—¿Lineales? —preguntó Ven extrañado.

—Sí, lineales —le explicó Mati —porque las incógnitas no aparecen elevadas a ninguna potencia.

—Y ahora, ¿qué hacemos, Mati? —preguntó el gafotas —¿A quién desenmascaramos primero? ¿A la x o a la y?

—Veréis —anunció la pelirroja —, aunque existen distintos métodos para resolver este tipo de sistemas de ecuaciones, os voy a enseñar el método de Gauss para resolverlas.  

—¡Sí! —gritó el pequeño abrazando a su mascota con riesgo de asfixia —¡Tu método, Gaussito bonito! ¡Tú método!

—Ven, no seas burro —le pidió su hermano —. Vas a despachurrar a Gauss.

Ven lo depositó de nuevo en el suelo, Gauss fingió un desmayo. Él es así. Una vez recuperada la mascota, Mati continuó:

—Para ello, antes que nada, vamos a ordenar un poco la escena del crimen —les dijo guiñando un ojo —. Llevamos a las incógnitas con sus compañeros al término de la izquierda, y los números que no llevan incógnita al término de la derecha.  En nuestro ejemplo, solo tenemos que llevarnos las 3y al término de la derecha en la segunda ecuación, nos la llevamos pero cambiando su signo, pasan como -3y:

—Ahora vamos a construir una cajita especial —les anunció Mati —que llamaremos matriz del sistema. Como son 2 ecuaciones, será una caja con 2 filas (horizontales) y 3 columnas (verticales); una columna para la x, otra para la y y otra para el número que se ha quedado en el término de la derecha, al que llamamos término independiente porque no depende de las incógnitas, ya que no las acompaña.

—Qué caja tan mona —dijo Ven pícaro.

—En realidad, los matemáticos —dijo Mati —no dibujamos la cajita así, sino usando dos paréntesis grandotes, así :

 

—¿Y ahora? —preguntó Sal ansioso.

—Ahora vamos a tratar de conseguir que en la segunda fila, en la columna de la x, aparezca un 0 —les dijo —. Así tendremos en la segunda ecuación, una ecuación con una sola incógnita que es muy fácil de resolver como os enseñé.

—Ya —dijo Ven —, pero eso es hacer un poco de trampa, ¿no, Mati?

—¡Jajajajajaja! —se rio ella —No, tranquilo, lo haremos muy legalmente. Para ello tenemos que buscar un número, que llamaremos N, de forma que al multiplicar el coeficiente de x en la fila 1 (1 en nuestro ejemplo) obtengamos el coeficiente de x en la segunda fila (5) pero con el signo cambiado; o sea, N es el número que multiplicado por 1 nos da -5.

—Muy fácil —dijo Sal —. N es -5.

—Efectivamente -dijo Mati —. Ahora multiplicamos la fila 1 por -5 y se la sumamos  a la fila 2. El resultado será la nueva fila 2 de nuestra matriz.

 

—Veamos cómo queda nuestra nueva matriz del sistema —les dijo.

 

—Escribimos el sistema de ecuaciones asociados a esta nueva matriz —continuó la gafotas.

 

—Ahora fijaos en la segunda ecuación —les pidió.

—¡Toma! —dijo Ven -Esa es muy fácil, solo hay que pasar -8 al término de la derecha pero dividiendo, porque estaba protegiendo a la y multiplicándola.

 

—¡Toma, toma, toma!  ¡Cómo mola! —gritó el pequeño —¡Falló 10 veces, así que acertó 6 y ganó 30 pesetas!

—Bueno —añadió Sal —, en realidad no ganó nada, porque como falló 10 también tuvo que pagar 30 al feriante…

—Ya, ya —respondió Ven —, no seas aguafiestas…

—¿Sabéis? —interrumpió Mati de repente —De repente me apetece subir a la noria, ¿alguien me acompaña?

—¡Yo, yo! —gritó Ven y salió corriendo hacia la noria olvidando la disputa original. Sal y Mati se miraron, sonrieron y le siguieron. Gauss se quedó embobado mirando una perrita piloto que colgaba del puesto.

(*) El romance de esta entrada es de Rafael Rodríguez Vidal en Enjambre matemático.