Una función muy importante

—Descansa un poco, Sal. Ya te sale muy bien…

—No, no estoy seguro, Ven. Quiero hacerlo muy bien en la función del Día de Andalucía.

—¿Vais a tocar todos los de tu clase a la vez? —preguntó Ven.

—Claro —respondió el gafotas —¿Por qué?

—En ese caso te recomiendo que no soples demasiado… —le sugirió el pequeño.

—¿¿Por qué?? —preguntó Sal extrañado.

—No sé, no te sale muy bien —respondió el pequeño mirando a otro lado.

—Acabas de decir lo contrario, Ven —respondió Sal —. Mentiroso… Voy a seguir ensayando.

—No, de verdad —suplicó Ven —. Nos estás martirizando…

—Se trata de celebrar el día de nuestra comunidad autónoma, Ven —le espetó Sal con aire digno —. Me parece que no eres consciente de la importancia de esta función…

—Huy, todas las funciones son muy importantes —Mati acababa de llegar —, al menos, a los matemáticos nos apasionan.

Mati20Blogs_44

—Hola, Mati —la saludó el pequeño Ven muy contento — ¿Nos vamos al parque con Gauss?

La mascota comenzó a mover la cola con entusiasmo ante la propuesta de Ven.

—Hola, Mati —la saludó Sal serio — ¿Por qué te gustan tanto las funciones? ¿Las de música?

—Esas también —respondió la pelirroja —, pero me refería a las funciones matemáticas.

—¿Qué son funciones matemáticas? —preguntó el pequeño y añadió con cara de pillo —¿Cantáis sumas y multiplicaciones?

—No, no es eso —le contestó ella con un guiño —Una función matemática no es más que una regla o ley que te permite asignar a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de otro conjunto.

—No entiendo… —aceptó Ven.

—Os lo explico con un ejemplo —propuso ella —. Una función podría ser asignar a cada número el valor de su cuadrado. Al 1 le asignamos el 1, al 2 le asignamos el 4, al 3 le asignamos 9… y así sucesivamente.

funciones_1

—¡Eh, un momento! —dijo Ven —Has asignado el mismo número al 1 y al -1. Eso no vale.

—Sí, Ven, sí vale —dijo Mati —. A dos elementos del primer conjunto se les puede asignar el mismo elemento del segundo conjunto. Piensa por ejemplo en una función que a cada palabra del castellano le asignara su primera letra. Habría muchas palabras que tendrían asignada la a, por ejemplo.

—Toma, claro —aceptó el pequeño.

—Pero en matemáticas estudiamos, principalmente, funciones entre conjuntos numéricos —continuó la pelirroja —. A las funciones se les suele llamar f, de función, y la función que hemos descrito que asigna a cada número su cuadrado se escribiría así:

funciones_2

—Eso significa —continuó Mati —que f transforma lo que está entre paréntesis, x, en eso mismo, x, al cuadrado. Nuestro amigo Fis dice que le parece una f embarazada, con su x en la tripa.

—¡Toma! ¡Es verdad! —dijo Ven divertido.

—Pues sí, no lo había pensado nunca, pero sí —añadió Mati —. Yo siempre las veo como una especie de máquina, en las que entra un número y sale transformado.

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—¿Para qué sirven las funciones, Mati? —preguntó Sal.

—Huy, para muchísimas cosas —respondió Mati —. Por ejemplo, se pueden usar para estudiar fenómenos físicos, químicos, económicos…

—¿Nos dices otra función Mati? —pidió el pequeño.

—Pues sí, de hecho ya os he dicho algunas anteriormente —respondió ella —, aunque no la llamásemos así. Pero cuando estudiábamos las ecuaciones de las rectas, estábamos dibujando funciones.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —gritó Ven.

—No entiendo, Mati —resopló el gafotas.

—Intentaré explicarlo —anunció ella —. Hay varias formas de representar una función. Una, ya la hemos visto, escribiendo f(x)=x2 . A x se le llama variable independiente de la función y, como veis, representar de esta forma una función consiste, simplemente, en escribir una expresión en la que aparece la variable, x, por ejemplo: f(x)= x2, f(x)= 3x3-1, f(x)=x/2…

—Ajá —dijo Ven muy serio, Sal miró a su hermano por encima de sus gafotas.

—Pues bien —continuó ella —, cada función de x se puede representar también como una curva en el plano. Para ello, vamos a dar algunos valores, los que queramos, a la variable x y pintamos en el plano cartesiano, los puntos de coordenadas (x, f(x)), como aprendimos cuando estudiamos las coordenadas cartesianas.

—A mí me gustan más las coordenadas polares… —interrumpió el pequeño, Sal le recriminó con la mirada y Mati siguió:

—Vamos a escribir, para ayudarnos, una tabla donde ponemos los valores que le vamos dando a x y el correspondiente valor que le asigna f(x)= x2

funciones_6

—Esto significa —prosiguió ella —que la gráfica de nuestra función, f(x)= x2, pasa por los puntos de coordenadas: (-2,4), (-1, 1), (0,0), (1,1) y (2,4). Pues bien, la gráfica de nuestra función f(x)= x2 es la siguiente curva roja, llamada parábola.

funciones_7

—¡Mola! —dijo Ven.

—Ahora, si tenemos la ecuación de una recta, por ejemplo , en forma implícita —continuó la pelirroja —, 2x-3y+1=0, vamos a dejar solita a la y en la izquierda de la expresión y pasamos el resto de términos a la derecha.

funciones_4

—¿Veis? —preguntó Mati.

—¿¿Qué?? —dijeron los dos hermanos a la vez.

—Tenemos que y es igual a una expresión de x —respondió ella —. Cuando esto ocurre, decimos que y es una variable dependiente de x y tenemos, por lo tanto, una función de x:

funciones_5

—¿Cómo sabes que eso es una función de x? —preguntó el gafotas.

—Porque es una máquina que transforma números en otros —respondió ella guiñando un ojo.

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—¡Moooooooooooooola! —volvió a exclamar el pequeño.

—Sí, mola —corroboró Mati —. La recta de ecuación 2x -3y +1=0 es la gráfica de la función f(x)=(2x+1)/3.

—¿Todas las rectas son gráficas de una función, Mati? —preguntó el gafotas.

—Todas, menos las rectas verticales —dijo ella —. Basta que despejéis, en la ecuación de la recta, el valor de y y lo que os salga es la función de x que estáis representando.

—¡Toma! —exclamó Ven —¡Y lo podremos hacer también con las ecuaciones de las circunferencias!

—¡No! —dijo de pronto Mati —Las circunferencias no son la gráfica de una función, sino de 2 funciones…

—Sí, hombre… —dijo Ven desconfiado.

—Piensa un poco —le retó la pelirroja —, a ver si sabes por qué. Pero ahora vamos que es la hora de la función de Sal.


17 Comentarios

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manuelmanuel

Soy andaluz y mi Patria
es el minero que pica
el carbón en negra mina,
es el pescador que jala
la red en agua salina,
es el obrero del campo
que su sudor nos regala,
es esa arena que sueña
con la nieve en la montaña,
es esa flor que se ofrece
a la abeja en la mañana,
es ese arbusto que crece
y es esa encina agotada.
Soy andaluz, si me oyes,
seas de la tierra que seas,
y aunque quizá no lo creas,
mi Patria, amigo, eres tú.

pichupichu

Un blog decente en 20minutos y ¿qué tenemos? 3 mensajes. Uno de spam encubierto, otro de spam explícito y el último haciendo exaltación de la patria por ser el día de Andalucía (que me parece muy bien, pero no viene a cuento). Patético.

Seguid con este blog porque además de contar cosas importantes lo contáis muy bien y de manera muy entretenida

manuelmanuel

@Pichu: ¿qué íce picha?, ¿Cómo que no viene a cuento?: En el segundo renglón “Sal” se refiere al Día de Andalucía…., y en cuanto a la “exaltación” de la Patria no es tal, ya que en todo momento me he referido al mundo como un todo…¡esa es mi Patria!, ¡todo el mundo, en especial las personas!. El 8 de marzo, día internacional de la mujer, haré lo mismo, pero dedicado a todas las mujeres…
De todas formas, en lo esencial “tienes razón”, hay pocos comentarios y el blog es original, y muy bueno y provechoso.

CarlosCarlos

Me encanta el blog. Seguid así. :)
Para el día que tenga niños, voy aprendiendo cómo poder enseñarles matemáticas en casa, para ayudarles a lo que aprendan en el colegio.

JaviJavi

Interesante duda respecto a lo de las circunferencias
f(x) = raíz (x) ¿no es una función?

Porque esa función para cada valor de x tiene 2 valores posibles. Así para x=4, los valores son f(x) = 2 y f(x) = -2

¿Así pues eso no se considera una función? (no cumple la definición de función que das)

manuelmanuel

@Javi:
Lo que dices de que f(x)=raiz(x) es cierto: es una función.
Lo que dices sobre los valores de f(x) para x=4: es falso. Me parece que está confundiendote con la función f(x)=X²

No existe ningún valor de x negativo para el que la raiz de x sea un número “real”, positivo o negativo. Sin embargo existe una raiz (o valor de f(x)) “imaginario” con el que también puede trabajarse matemáticamente… en un espacio ortonormal al real.

AntonioAntonio

@ Javi,
La definicion de funcion implica que para cada valor de entrada hay un unico valor de salida, dos valores de entrada diferentes pueden dar la misma salida (como 2 y -2 en la funcion x cuadrado) pero solo uno de salida, te vuelvo a copiar el parrafo en negrita que esta en el texto “una regla o ley que te permite asignar a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de otro conjunto”.

Raiz cuadrada no es una funcion valida, la funcion valida para ese valor es abs(raiz(x) ó -abs(raiz(x)) (abs= valor absoluto).

JaviJavi

Hola Manuel.
No, creo que te equivocas. Hablo de f(x)=raíz(x)
f(x) para x=4 tiene 2 soluciones: +2 y -2. Porque raíz(4) tiene esas 2 soluciones: +2 y -2.

Según la definición que ha dado mati,

Una función matemática no es más que una regla o ley que te permite asignar a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de otro conjunto.

Cada elemento de un 1er conjunto sería la x (p.e., 4). Y le asigna un único elemento de otro conjunto, que en este caso sería raíz(x) [raíz(4) en nuestro caso].El problema es que raíz(4) tiene 2 soluciones, no una, que son +2 y -2. Por lo tanto ya no estás asignando a cada elemento del 1er conjunto un único elemento de otro, sino dos.

Así que o esa definición no es estricta, o f(x)=raíz(x) no es en ese sentido una función.

De hecho, dice que la representación de una circunferencia es la representación de 2 funciones, no de una. Sin embargo la ecuación de una circunferencia (por simplicidad vamos a suponer de radio=1) es:x^2 + y^2 = 1

O dicho de otro modo, y=raíz(1 – x^2)

Si representamos f(x)=raíz(1-x^2) tenemos una circunferencia. Salvo que de las 2 soluciones de la raíz tomemos sólo la positiva o la negativa, en cuyo caso tenemos una semicircunferencia y creo que es por donde va Mati. La cuestión es… ¿por qué vamos a coger solamente una si?

De ahí mi duda. 😉

JaviJavi

Eso era lo que preguntaba, Antonio.
Muchas gracias. 😉

Si había leído bien la definición, lo que pasa es que me extrañaba que raíz(x) no encajara con la definición de función. Nunca me había parado a pensarlo. Siempre hubiera dicho que sí lo era.

manuelmanuel

@Javi: Tienes razón. He leído ¡no sé cómo! lo que habías escrito (que es correcto) y lo había interpretado todo mal. En efecto, había yo supuesto que querías decir que daba lo mismo meter +2 que -2 bajo la raíz….?¡¡¡?. No tengo más excusa que la excesiva rapidez con que leo…, y los bocados que me está dando la gatita en el brazo…¡y así leo!, ¡al revés!… Para no equivocarme más dejo lo de la definición de función matemática, lineal o no, para Mati…

manuelmanuel

@Javi: De todas formas “yo” siempre he llamado función a todo lo que me arroja una “o más” soluciones con las que poder trabajar después… No se corresponde, y no me ha importado, con el moderno concepto de “función matemática”… He cogido, por ejemplo todas las “salidas” y elegido la más conveniente con arreglo a unos criterios de tipo “físico”… Por cierto, ¿cómo llamamos a f(x)=raiz(x)?.

manuelmanuel

@Javi, @Antonio: Aunque sea echarme más tierra encima, la verdad es que cuando programo dedico, de hecho, un línea a cada correspondencia unívoca de las dos que se incluyen en la “función”(¿cómo habría que llamarla?) “biunívoca” y=raiz(x). Es decir que una variable dependiente puede tener “diversos”? valores para un valor dado de la independiente y yo siempre he hecho esa separación, me ha resultado lo más cómodo…
A ver si alguien se anima y me dice ¿cómo denominar a y=f(x), si función, si correspondencia biunívoca, si ecuación…?; mucho me temo que tenía que haberme aplicado mucho más en las matemáticas…, no lo hice y por eso confundo todo…

manuelmanuel

corrección: he querido decir “no-unívoca” y he escrito erróneamente “biunívoca” dos veces…

manuelmanuel

f(x)=raiz(x)

No me quisiera morir
sin saber qué es lo que es,
necesito un buen enlace,
conocer el desenlace,
y aunque ese nombre me place
si es un error, ¡error es!,
no quiero ser “contumace”
y sería de agradecer
que alguien dijese: “esto es”
y la cosa ahí acabase,
mejor antes que después.

MercedesMercedes

Hola,
Me ha encantado la explicación de las funciones. No soy ninguna niña (estoy más cerca de los 60 que de los 50) pero he empezado a estudiar matemáticas hace dos años, porque siempre me han gustado (menos cuando sí era una niña :) )pero nunca las había entendido.
Gracias por compartir vuestros conocimientos de forma tan altruista, y, además, tan agradable y fácil.
Ánimo y gracias de nuevo

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