Redonda, sí, pero no es una función

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular…

—¡Moooooooooooooola! —volvió a exclamar el pequeño.

—Sí, mola —corroboró Mati —. La recta de ecuación 2x -3y +1=0 es la gráfica de la función f(x)=(2x+1)/3.

—¿Todas las rectas son gráficas de una función, Mati? —preguntó el gafotas.

—Todas, menos las rectas verticales —dijo ella —. Basta que despejéis, en la ecuación de la recta, el valor de y y lo que os salga es la función de x que estáis representando.

—¡Toma! —exclamó Ven —¡Y lo podremos hacer también con las ecuaciones de las circunferencias!

—¡No! —dijo de pronto Mati —Las circunferencias no son la gráfica de una función, sino de 2 funciones…

—Sí, hombre… —dijo Ven desconfiado. —Piensa un poco —le retó la pelirroja —, a ver si sabes por qué. Pero ahora vamos que es la hora de la función de Sal.

En el capítulo de hoy…

—¿Nos lo cuentas, Mati? —pidió Ven con cara de no haber roto un plato en su vida.

—¿Qué queréis que os cuente, Ven? —dijo ella.

—Por qué dijiste que las circunferencias no son una función como las rectas.

—Ah, eso —exclamó Mati —. Con mucho gusto, caballeros. Os explicaré por qué las circunferencias no son la gráfica de una función.

Mati20Blogs_45p

Sal y Ven sacaron su cuaderno dispuestos a escuchar la explicación de Mati. Gauss no parecía demasiado interesado, la verdad.

—Como os dije la otra tarde —comenzó a decir la pelirroja —, una función es una regla o ley que te permite asignar a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de otro conjunto.

—¿Y? —preguntó el gafotas.

—Cuando tenemos una recta, los puntos sobre el eje horizontal, el de abscisas, os lo conté cuando explicamos coordenadas cartesianas, son elementos del primer conjunto —les dijo —, y la función, cuya gráfica está representada por dicha recta, asigna a cada punto del eje de abscisas, o mejor dicho, al valor que representa, la segunda coordenada del único punto sobre la recta que tiene como primera coordenada dicho valor en la abscisa.

Los niños arrugaron sus caritas como pasas. Gauss ladró bajito haciéndose el interesante.

—¿Lo vemos con un ejemplo? —preguntó Mati.

—Por favor —dijo Sal.

—Vamos a dibujar en nuestros ejes coordenados la recta de ecuación y=2x + 1 —dijo Mati —, que es la gráfica de la función f(x)=2x+1. Para ello solo necesitamos dar 2 valores a x, porque por 2 puntos pasa una única recta. Para x igual a 0, y será 2 por 0 más 1, o sea 1. La recta pasa por el punto (0,1). Para x igual a 1, y será igual a 2 por 1, 2, más 1, o sea 3, la recta pasa por el punto (1, 3).

funciones2_1

—Ahora, ya veréis como a cada punto del eje de abscisas —continuó Mati —solo le corresponde un valor de la función f(x)= 2x + 1. Decidme un número.

—¡El 4! —gritó Ven.

—Para calcular el valor que nuestra función asocia al número 4 —dijo ella —o bien sustituimos x por 4 en la función, o bien, trazamos una recta vertical sobre el 4 del eje de abscisas.

funciones2_2

—Pintamos la recta vertical que pasa por el 4 —dijo Mati —que en realidad es el punto (4,0) del plano. Esta recta vertical será la recta de ecuación x=4 y vamos a ver cómo sólo corta a nuestra función, la recta verde. en un único punto:

funciones2_3

—La corta en el punto (4, 9) —dijo Sal.

—Y sólo en el (4, 9) —añadió Mati —. Eso significa que f(4)=9, es decir, que la función asocia al 4 el valor 9.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —exclamó Ven.

—Vamos a ver ahora qué pasa con la circunferencia —les propuso Mati —. Decidme el centro y el radio.

—El centro será el (0,0) —dijo de repente el pequeño.

—Y de radio 5 —añadió el gafotas.

—Vamos a calcular su ecuación como os enseñé —les propuso ella.

funciones2_4

—La ecuación es x2 + y2= 25 —dijo Sal.

—Ahora la dibujamos en nuestros ejes coordenados —dijo ella.

funciones2_5

—Veréis qué pasa si quisiéramos calcular la imagen del 2 —propuso Mati —en la función cuya gráfica es la circunferencia verde. Para ello, como antes, dibujamos la recta vertical sobre el 2, la recta de ecuación x=2.

funciones2_6

—¡Toma, toma, toma! ¡Es verdad! —gritó Ven —¡Es verdad!

—¿Y por qué pasa eso? —quiso saber el gafotas.

—Pues verás —empezó diciendo ella —, si despejamos y en la ecuación de la circunferencia nos queda:

funciones2_7

—Pero, Mati —dijo Sal —, has conseguido despejar y en la ecuación, entonces ¡es una función!

—No —respondió esta —, porque no da un único valor para cada x

—¡Anda que no! —dijo Ven.

—Pues no —dijo Mati respondona —¿Cuánto vale la raíz cuadrada de 4?

—¡2! —dijo Sal con entusiasmo.

—O -2 —añadió la pelirroja —Porque -2 al cuadrado también es 4.

—Ah, claro —reconoció el gafotas.

—Si en la ecuación de la circunferencia —continuó ella —sustituimos x por 4, ¿qué ocurre?

funciones2_8

—¡Tooooooooooooomaaaaaaaaaaa! —gritó Ven.

—Por eso —dijo Mati —, cuando aparece la raíz cuadrada ponemos delante +√9, -√9 o, incluso ±√9, si queremos indicar que consideramos los 2 posibles valores de la raíz cuadrada.

—Ajá —asintió el gafotas, mientras su hermano seguía mirando el dibujo de la circunferencia de centro (0,0) y radio 5 que habían dibujado en el cuaderno.

—¡Qué pena! —dijo —Tan redondita y no es una función…


66 Comentarios

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mati-una-profesora-muy-particularmati-una-profesora-muy-particular

Ops, muchas gracias, Pau, por la corrección. Tienes razón y está corregido.

Te aseguro que en este blog pretendemos ser muy cuidadosos con el idioma, pero siempre nos podemos equivocar, como todo el mundo, o casi todo el mundo :)

Muchas gracias de nuevo.

Clara Grima

PauPau

Muchas gracias por la corrección señorita Mati. Me releo y le ruego disculpe mi tono. Tantos años de recibir críticas y correcciones de los profesores nos hicieron mucho daño y ahora estamos a la que salta. Un saludo.

mati-una-profesora-muy-particularmati-una-profesora-muy-particular

No se preocupe, señor Pau, todo está bien :)

Muchas gracias de nuevo por seguirnos y no dude en corregirnos cada vez que lo estime oportuno.

Un abrazo

Clara Grima

manuelmanuel

Yo nunca me equivoco. Bueno sí, una vez que creí que me había equivocado…

Jesús Antonio

Um….. Siempre que salen estas cosas me pongo de los nervios….. Para mí la raíz cuadrada de 4 es…. 2!

Y ni -2 ni nada.

Otra cosa es que hables de raíz cuadrada de un número como el conjunto de reales tales que al cuadrado vale ese número… Entonces no me parece bien usar la raíz cuadrada.

La raíz cuadrada es una función definida para reales no negativos y te devuelve la raíz cuadrada de cada número.

Creo que es una tendencia que tenemos que cambiar

caquitacaquita

Los profesores de Matemáticas de secundaria sabemos que es abscisa porque lo hemos escrito y leído ya como 1 millón de veces.

Por otro lado, Jesús, en efecto, si hablamos de la raíz cuadrada de 4, solo tiene un valor, 2, y menos la raíz cuadrada de cuatro es – 2. Otra cosa sería el conjunto de soluciones de la ecuación x al cuadrado igual a 4. Esto es algo que aparece en cualquier libro de la ESO.

Jesús Antonio

Ahora al darle a ‘enviar’ se me ocurre demostrar, afirmando que la raíz de 1 es 1 y -1, que todos los reales son iguales a cero.

Primero llegamos a 2=0, y por tanto 1=0. Por inducción todos los naturales son iguales a cero, e igual para Z.

Al hacer el cuerpo de fracciones tendríamos que Q es igual a cero.

Por densidad R es cero.

Por tanto los complejos también son cero.

Y todo espacio vectorial sobre R es cero.

Por tanto son todos espacios de Hilbert…

Ya, ya sé que es algo tiquismiquis, pero varios chavales a los que le doy clases me escriben que la raíz cuadrada (con el “sombrerito, la función vaya) de 4 es +-2

Y yo intento quitarles esa manía, porque pueden salir cosas muy raras.

Stu RedmanStu Redman

Vamos a ver, “caquita”.

“Si hablamos de la raíz cuadrada de 4, sólo tiene un valor, 2″.

Un error como una catedral, señor mío.

Definición de raíz cuadrada de x.

Raíz cuadrada de x es y, tal que y*y (o sea, el cuadrado de y) vale x.

Raíz cuadrada de 4 : 2, ya que 2*2 = 4

Pero también es -2 , ya que (-2) * (-2) = 4.

AlbertoAlberto

Me temo “Jesús Antonio” y “caquita” que, tal y como ya se ha señalado, estáis en un error y espero que no caigáis en un error a la hora de explicar a vuestros alumnos. Si los libros de ESO están equivocados, no caigáis en el mismo error.
Por partes:
Mati claramente no se refiere a la función “raíz cuadrada” tal y como ella misma dice en el texto sino a la definición general y aceptada de raíz cuadrada (consúltese, por ejemplo, la wikipedia, copio: “En las ciencias matemáticas, se llama raíz cuadrada de un número a cualquier otro número que elevado al cuadrado, es igual al primero (con esta definición cada número complejo admite exactamente dos raíces cuadradas)”), por lo tanto: Mati está en lo cierto y vosotros no, por muy de los nervios que os pongáis.
Sí que es cierto que, para evitar ambigüedades, se puede utilizar la función raíz cuadrada, pero entonces el texto anterior pierde toda su fuerza y deja de tener mucho sentido.
Respecto a la “demostración”: de nuevo confundes función con lo que no lo es (al margen de no saber utilizar la noción de densidad).
Por cierto: la notación de la raíz cuadrada “con el sombrerito” puede ser tanto la función como la definición usual de raíz cuadrada.
Por último: entiendo vuestra lucha en secundaria y admiro vuestra labor y me parece razonable que, como simplificación, solo habléis de la función raíz cuadrada, pero no lo deis como una verdad universal.

JaviJavi

“Otra cosa es que hables de raíz cuadrada de un número como el conjunto de reales tales que al cuadrado vale ese número…”

Es que esa es precisamente la definición de raíz cuadrada de un número. 😉
Quitando lo de “reales”. Ya que para los negativos también existe la raíz (imaginaria) y también cumple esa condición.

Matemático, según un Título que tengo...Matemático, según un Título que tengo...

En esta publicación se confunde APLICACIÓN con FUNCIÓN. Todo lo que se dice se refiere a aplicaciones, no a funciones.

Las aplicaciones pueden ser inyectivas, sobreyectivas y biyectivas y efectivamente a un elemento del dominio no le pueden corresponder dos o más elementos del rango.

Las funciones de dos variables son subconjuntos cualesquiera del producto cartesiano y ahí si se admite que a un elemento del dominio le correspondan hasta infinitos elementos del rango, por ejemplo, consideramos la función y=arcoseno(x), entonces existen infinitos valores de x que hacen que y valga 1.

Es un error muy frecuente mezclar conceptos de la Matemática moderna con denominaciones del pasado, anteriores a Gödel.

manuelmanuel

Si defino así y=raiz(4), puedo hacerlo así y=(4)^(1/2), pero entonces al tomar logaritmos, por ejemplo neperianos resulta: ln y=(1/2)*ln(4)=(1/2)*1,386294361=0,693147181
Si ahora aplico el antilogaritmo neperiano: antilogneperiano de ln y=y=antilogaritmoneperiano de 0,693147181=2
¡Sólo me sale el +2!. No obtengo el -2.
A lo mejor es que al calcular el antilogaritmo de un número hay que poner el resultado con ambos signos… ¿¡?.
O sea e^(n)= +m y -m
Empiezo a tener serios problemas…. lo dejo de momento.

titotito

Me acuerdo de un compañero de clase que le llamábamos “el complejo” porque tenía un ojo real y otro imaginario …. que tio!!! menudo estrabismo que tenía el colega !!! Cuando iba a la playa con un ojo estaba jugando con las olas y con el otro vigilaba las toallas!!

AlbertoAlberto

“Matemático…” (elimino lo del título porque tener título aporta poco): no se confunde nada, la definición usual de función es la que aquí se maneja, copio de nuevo de la wikipedia (pero me vale cualquier libro de texto): “Dados dos conjuntos A y B, una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una asociación f que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B.”

Me gustaría que me proporcionaras una referencia que identifique funciones de dos variables con subconjuntos del producto cartesiano.

Hedeley

Matemático, según un Título que tengo…: “En esta publicación se confunde APLICACIÓN con FUNCIÓN”

¿Eso va en serio?

Manuel: “Si defino así y=raiz(4), puedo hacerlo así y=(4)^(1/2), pero entonces al tomar logaritmos”

El dominio de definición de la función real de variable real f(y) = ln(y) es el conjunto de todos los reales positivos. Al tomar logaritmos, estás cargándote los posibles valores negativos que pudiera tener y.

Un ejemplo más drástico. Pongamos y = raíz_cúbica(-1). Sabemos que el único valor real que puede tomar y es -1. Apliquemos tu método:

y=(-1)^(1/3);
ln y=(1/3)*ln(-1)… que no está definido. No recuperas el valor y=-1 porque al tomar logaritmos te has cepillado los posibles valores negativos que pudiera tener y.

yo mismoyo mismo

Como función real de variable real, f(x)=raiz_cuadrada(x) debería leerse raíz cuadrada positiva de x. Así, raíz_cuadrada(x^2)= valor_absoluto(x).

Otra cosa es resolver la ecuación de segundo grado y^2-25+x^2=0 en la variable y, que da las dos soluciones y=+- raiz_cuadrada(25-x^2) como era de esperar.

Como función compleja de variable compleja (multivaluada) la situación es distinta y hay que hablar de la rama principal. Este problema se extiende a la raíz cúbica…
de manera que raíz_cúbica(-1)=1/2+raíz_cuadrada(3)/2 (ya que es la llamada rama principal).

manuelmanuel

@Hedeley: Apasionante!. Gracias mil. Entonces ln(-1) no es ni cero ni pi.i?. Me dedicaré a los poemas, que es lo mio:

He visto funciones mil
de valores infinitos
y ellas no me han visto a mi
será que soy muy chiquito.

(para los peques)

Uno de por ahíUno de por ahí

En las explicaciones sobre si las raices cuadradas llevan o no +- estais pasando por alto el hecho de que la fórmula de la circunferencia está compuesya por cuadrado de normas o distancias, es decir, que los términos de X e Y son VALORES ABSOLUTOS lo que pasa es que X al cuadrado coincide con valor abs de x al cuadrado, pero al hacer la raiz si hay que diferenciar y entonces no tienes que raiz de X es igual a Z sino que VALOR ABSOLUTO DE X ES Z,LO QUE IMPLICA QUE X VALE O +Z O -Z. (en este caso Z es la raiz del modulo)

manuelmanuel

@Uno de por ahí: Veo que todo depende mucho de cómo se definan, y el rango o dominio de las variables…, pero según parece f(x)=raiz(x)
no es función en sentido estricto porque para cada valor de x hay más de un valor de y;
entonces ¿cómo llamamos a la fiera?.

Jose ManuelJose Manuel

¿desde cuando las rectas verticales no son gráficas de una función?

que me aspen..

yo mismoyo mismo

pequeña errata.

La raíz_cúbica(-1)=1/2+raíz_cuadrada(3)/2 * i, siendo i=sqrt(-1) (que es la llamada rama principal).

apolo_punk

Más fácil: Una función es la representación gráfica de las posibilidades que le damos a X para poder sacar y [tambien llamada f(x) ]

Matemático, según un Título que tengo...Matemático, según un Título que tengo...

Se ve que hay poco titulado en Matemáticas por aquí.

La wikipedia es a la Matemática “formal” más o menos lo mismo que el diccionario de la RAE.

Una función, map o mapeo es una correspondencia, o sea, un subconjunto cualquiera del producto cartesiano de dos conjuntos, finitos o infinitos, numerables o no numerables.

Una aplicación es una restricción de una correspondencia a la que se exige,
x=y => f(x)=f(y).

Por eso la función raiz cuadrada tiene dos valores + y -, pero la aplicación sólo puede tener un valor, para no contradecir la definición de aplicación.

La idea de función que se expone en el artículo es del “Cálculo antiguo”, Descartes, Newton, etc. La idea de aplicación surge tras los trabajos de los lógicos de Viena y las teorías de Cantor, cuando se demuestra que la Aritmética es una teoría incompleta y se recurre a la Teoría de Conjuntos como base de las Matemáticas para evitar la incompletitud, la inconsistencia y la indecidibilidad de los fundamentos de la Matemática.

Incluso al Teoría de Conjuntos tuvo que ser axiomatizada para no confundir Clase con Conjunto, de manera que no toda clase o colección de infinitos elementos es un Conjunto, no, tiene que cumplir la axiomática de Neumann–Bernays–Gödel.

Por abuso del lenguaje y errores de traducción (del alemán) se confunden las ideas de aplicación y función, cuando son conceptos diferentes. Toda aplicación es una función pero no a la inversa, ejemplo la raíz cuadrada, elarcoseno, etc

Los lenguajes de programación también utilizan el término función incorrectamente, ningún Pc permite el tratamiento de funciones con dominio o rango infinito, numerable o no, sólo se procesan “funciones” discretas, con un número finito de posibles valores del dominio y rango.

En Matemáticas hay que ser “formalista” y “estricto”, esto es lo que diferencia a los “titulados en Matemáticas” del resto de titulados, igualmente respetables y por mí admirados.

terubahdaterubahda

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AlbertoAlberto

“Matemático…” estás totalmente equivocado, no solo la wikipedia da la definición considerada en esta entrada, sino multitud de otros trabajos muy posteriores a los años treinta (me faltan tus referencias). La Enciclopedia de Matemáticas (publicada por Springer) o “Mathematics, form and function” , Springer (1986) de MacLane (por citar dos ejemplos bien conocidos y aceptados) dan exactamente esta definición, incluso Bourbaki considera este concepto de función. Copio la Enciclopedia de Matemáticas: “One of the basic concepts in mathematics. Let two sets X and Y be given and suppose that to each element xinX corresponds an element yinY […]”. En la misma Enciclopedia se admite dar la definición a partir del producto cartesiano, pero añadiendo a condición de que si (x,y) y (x’,y’) están en la función e y es distinto de y’, entonces x ha de ser distinto de x’ (está condición se te ha olvidado y la hace equivalente a la definición anterior).
Te repito que no hay que descalificar a los demás en función de sus títulos, pero si es necesario sacar estos: soy licenciado en matemáticas y doctor en matemáticas y director de más de 20 tesis doctorales en matemáticas y catedrático de universidad del área de matemática aplicada y con cinco sexenios de investigación.
Estoy de acuerdo contigo en que hay ser “formalista” y “estricto” pero has de darte cuenta que si se da una definición aceptada de función (como la de aquí) y se sigue razonando en consecuencia, se está siendo formalista y estricto.

manuelmanuel

Me ha costado trabajo,
he luchado y sufrido,
he pasado frio y hambre
y en una pierna, la derecha,
hasta me dió un calambre,
y el gato me ha mordido,
¡pero al fin me he enterado!
¡de veras!, lo he entendido.

Gracias a todos por ser
tan generosos y ayudarme
porque andaba, la verdad,
muy, pero que muy perdido,
en un ambiente asaz entretenido
de funciones, y de dudas grandes.

Matemático, según un Título que tengo...Matemático, según un Título que tengo...

Pues bien Alberto, seamos rigurosos, si estoy “totalmente equivocado” es que mi afirmación es falsa.
¿Qué afirmo yo? Yo afirmo que la raíz cuadrada es una función y que tiene dos valores de y para cada x positivo, lo mismo digo de y=arcoseno(x) que tiene infinitos valores de y para cada x, por ejemplo si x=1 entonces y= 90º+n360º, para todo n= 0, 1, 2, 3…..hasta infinito. También afirmo que x^2+y^2=1 es una función y no dos funciones como dice la publicación inicial.

Como, según tú, todo esto es falso, dime en qué publicación se dice esto, que ni la raíz cuadrada, ni las cónicas ni las “funciones” trigonométricas inversas son Funciones, en el Bourbaki desde luego que no, pero por ir a publicaciones más españolas y más ligeras, en el Rey Pastor, tampoco se dice, en el Puig Adam tampoco, ¿entonces? dónde está mi “total equivocación”.

El concepto de aplicación es fruto de la Matemática moderna, ni Descartes, ni Newton lo describen, no, ellos hablan de funciones como la raíz cuadrada, las cónicas, etc.

Si miramos en libros de Álgebra o Geometría modernos veremos que siempre se utiliza el término aplicación, pero si vamos a los libros de Análisis, Cálculo, etc allí se utiliza el término clásico función, confundiendo aplicaciones y funciones por abuso del lenguaje, hay alguna excepción como el Spivak.

Reitero lo dicho, las funciones entre X e Y son subconjuntos cualesquiera del Producto cartesiano de X x Y, mientras que las aplicaciones son funciones a las que además se les exige que:
si x=y => f(x)=f(y).

En consecuencia la raíz cuadrada es una función pero no una aplicación.

En efecto,

sea x=y=4
sea f la raíz cuadrada

entonces la raíz cuadrada de 4 tiene DOS valores +2 y -2,
por tanto si x=y=4 no se verifica que f(x) = f(y) y en consecuencia la raíz cuadrada no es una aplicación, como queríamos demostrar.

manuelmanuel

@Matemático, según un Título que tengo… : Vale. Me has hecho polvo.

Cuando creía que lo tenía
se me ha ido la certeza
como agua entre los dedos
y no digo más ni pío,
ya se cumple aquel adagio
y hasta puedo hacerlo mío
“sólo sé que no se nada”
tengo la picha hecha un lío
y la mente desquiciada.
Así que ¡enhorabuena tío!.

manuelmanuel

Hora de almorzar. Sentada sobre la pequeña pero abrupta ladera que arropaba la matriche de riego, descansando brevemente, enderezando la espalda por primera vez desde hacía horas, y llenando aliviada sus pulmones me miraba, con la legona en la mano y el mismo brillo adorable de siempre, la mujer más sexy del mundo. Un destello de luz parpadeante atravesó las hojas de la única higuera cercana al pozo, muy grande y frondosa, ya que algunas de sus raíces llegaban hasta el agua misma que salía de los generosos veneros, e impactó en el flequillo de su pelo rojo mientras que por su cara pecosa resbalaba una inadvertida gota de sudor, que la hacía casi irresistible. Un par de vueltas a la noria me permitió llenar el búcaro de aquella agua fresca, deliciosa, y se lo acerqué. Toma Mati. Las fuerzas andaban justas y su cuerpo, como el mío, temblaba de cansancio. Tras unos breves instantes de duda sacó fuerzas, se levantó, sujetó el búcaro con fuerza y, como siempre, fue más el agua que le resbaló por el pecho que la que bebió. ¡Bebe a chupe!, le sugerí, no me importa; en absoluto me importa; además, hoy es 8 de marzo, día internacional de la mujer trabajadora; y tú eres trabajadora e “internacional”. ¿Sabes que te digo?. Ya hemos trabajado bastante por hoy y, si quieres, cuando hayas descansado, y comamos algo, podemos arreglarnos e ir al cine. Mejor aún, comeremos algo en el bar del cine; ¡y esta vez te dejo elegir la película…, no te preocupes tú eliges… que sí…que la que tu quieras!. No, no volveremos a ver “El Revoltoso” de Tin-Tan. ¿Que quieres ver la última de James Bond?, ¿o “Lo imposible”?… ¡¡¡Cielos!!!, vale, vale… bueno, un día es un día, one day is one day… y aquel beso en su sudorosa cara me supo a gloria bendita.

AlbertoAlberto

“Matemático…”
Por favor: tanto trabajo te cuesta si es tan común dar una sola referencia en la que aparezca la definición de función como cualquier subconjunto del producto cartesiano?
Te ha dado todas las referencias que quieras apoyando la definición aquí usada (en un blog de divulgación!!!) y tú dices que todas están equivocadas (con una falta de rigor impresionante, porque si se da una definición correcta, válida y usada y se siguen las consecuencias de dicha definición, eso es rigor en matemáticas), así que no te costará tanto trabajo dar referencias.

Pero no te inventes las referencias porque las que das NINGUNA usan esa definición tuya. Ya que citas al Spivak como casi el único que “no se equivoca”, te copio la definición que da:
“Una función es una colección de pares de números con la siguiente propiedad: Si (a,b) y (a,c) pertenecen ambos a la colección, entonces b=c” y después vuelve a recalcar sobre ello.
Desde luego, tampoco busques en el Rey Pastor (el Puig Adam no lo tengo aquí). Ni tampoco en Bourbaki, de nuevo cito de los elementos (traducción mía): “la propiedad más importante (y característica) [de una función] es la de asociar a cada valor de la variable un único elemento”.

En resumidas cuentas: las referencias que mencionas de pasadas dicen TODAS que tu definición no se corresponde en absoluto con la propiedad fundamental que ha de verificar una función.
Así que Mati, Dieudonné (el miembro de Bourbaki que más lucho por instaurar su visión del análisis), Rey Pastor, Spivak, la Wikipedia en inglés y en español, la Encyclopedia Mathematica (de Springer) y un servidor estamos confundidos y tú sin dar una sola referencia a tu favor, estás en lo cierto. Por cierto: decir que unos autores dicen una cosa y resulta que es falso o es mentira o es falta de rigor.

manuelmanuel

¡¡¡Feliz día de la mujer a todas las mujeres, únicas trabajadoras reales del planeta!!!.

Matemático, según un Título que tengo...Matemático, según un Título que tengo...

Sigues divagando sin rigor, volvamos al origen.

Dime donde dicen que x^2+y^2=1 no es una función, sino dos funciones. Este es el origen de la polémica.

Dime donde dicen que y=arcosen(x) no es una función, que son infinitas funciones. Que es lo que se deduce de la afirmación anterior.

Si una función es un conjunto de pares… es obviamente un subconjunto del producto cartesiano, hasta tú mismo lo dices.

Espero que si yo doy demostraciones, “En consecuencia la raíz cuadrada es una función pero no una aplicación.” tú hagas lo mismo y fundamentes tus razonamientos con demostraciones.

El uso de frases como “…TODAS que tu definición no se corresponde en absoluto..” o “… estas totalmente equivocado…” no tienen rigor matemático ninguno y no demuestran nada.

Espero tus demostraciones.

manuelmanuel

Desde luego en APL y en J parece que se tiende a denominar funciones a cualquier operación con matrices, a cualquier salida de cualquier número de valores… y se hace referencia a funciones trigonométricas o circulares…sin problemas.

AlbertoAlberto

Ya veo que no sabes leer: una función es un conjunto de pares CON UNA PROPIEDAD ADICIONAL Y FUNDAMENTAL (que si (x,y) y (x,z) están en la función entonces y=z): por tanto NO ES un subconjunto cualquiera del producto cartesiano según todo los autores que tú has citado, y siempre, siempre te has comido esa propiedad fundamental: esa es tu falta de rigor. Te he copiado literalmente esa propiedad en las definiciones ya varias veces, así que ya te he dicho dónde estás equivocado: no pierdo más el tiempo contigo: enseñar al que no sabe es más o menos sencillo, enseñar al que no sabe y cree que sabe es tremendamente agotador y en la mayoría de los casos condenado al fracaso (no aprendo).
Pero resumo:
1) en la entrada se da una definición de función.
2) dices que esa definición es antigua, que la correcta es subconjunto cualquiera del producto cartesiano.
3) A lo largo de la discusión citas varios autores que dices que usan tu definición.
4) TODOS los autores (y muchos más) que citas usan la definición dada en la entrada.
Por tanto, me parece que la entrada no comete ningún error imperdonable y de eso iba la discusión.

Estoy seguro que sobre otros temas coincidiremos mejor, así que, por mi parte, renuncio a esta discusión aunque no a comentar otros temas contigo: un saludo.

manuelmanuel

@Matemático, según un Título que tengo…
@ Alberto

A mi se me plantea la siguiente cuestión: Aceptemos la última definición de función, dada sin más por Goursat, en 1923, o la más general de Patrick Suples, en 1960; atomicemos la definición en el sentido de que que lo esencial para que se denomine función, en las dimensiones que sea, es que haya un sólo valor para y (ya funcional o numérico con independencia de los valores varios de la variable independiente que conduzcan a él), esta definición, contra la que no tengo nada que argumentar ni a favor ni en contra (si acaso en contra, porque lo que una recta vertical no sea una función no me acaba de entrar en la cabeza): ¿es la más práctica para el desarrollo de las ciencias y de las propias matemáticas?. Si fuese así, la discusión tendría que darse por finalizada y aceptarla, por razones obvias. Si no fuese así habría que seguir trabajando el asunto…porque lo que no se puede permitir es que sea una rémora para el avance científico y matemático. ¿O no?.

manuelmanuel

¡Qué duelo más bonito el que lleváis los expertos matemáticos!. ¡Bravo, y feliz fin de semana!. ¡Que gane el mejor!.

AlbertoAlberto

Sí Manuel, esa definición de función es la (casi;-) ) plenamente aceptada.

Matemático, según un Título que tengo...Matemático, según un Título que tengo...

Veamos,
He dado dos definiciones, he enunciado un teorema y lo he demostrado con un contraejemplo. Eso son las Matemáticas, definiciones, teoremas y demostraciones y sólo voy a contestar a eso.

Espero tu demostración de que la raíz cuadrada no es una función y que el arcoseno tampoco es una función.

La palabrería hueca de sentido matemático no me interesa, sobre mi capacidad de lectura tampoco voy a decir nada, de descalificaciones, insultos y similares menos.

Repito, sólo contesto a demostraciones y no he visto ninguna.

Conclusión: Redonda, sí, pero no es una “aplicación”, es sólo una “función”.

Saludos cordiales.

Profesor de Matemáticas, según dicen en mi UniversidadProfesor de Matemáticas, según dicen en mi Universidad

@Matemático, creo que te estás enrocando en una posición absurda. La definición de aplicación aceptada por la mayoría es la que te ha dado Alberto. Uno puede dar otras definiciones, usar otros nombres, etc. pero entonces no logrará entenderse con nadie. Y creo que eso es lo que te está pasando. Por cierto, la palabra función se suele usar para indicar que el dominio y el recorrido son conjuntos numéricos.

Sobre el tema de la raíz, hay dos cosas parecidas pero distintas.
– UNA raíz cuadrada de un número real x es un número y tal que y^2=x.
– LA función raíz cuadrada es f:R^+ -> R^+ definida como y=f(x) si y^2=x (además de ser y>0 ya que el dominio es R^+).
Es lógico que haya confusiones sobre esto, por lo que deberíamos dejar claro si hablamos de LA raíz cuadrada (función) o UNA raíz cuadrada (número).

Por otro lado, @Matemático, lo que no tiene perdón de Dios es que un matemático hable sin precisión, como lo haces tu cuando hablas de la función arcoseno sin precisar dominio ni recorrido (partes indispensables de la definición de función), ya que puedes volver a confundir LA función arcsen: [-pi/2,pi/2] –> [-1,1] con UN arco y cuyo seno sea x (UNO de los infinitos que hay).

Voy a tener que darle la razón a algunos de mis compañeros de profesión que afirman que ‘ahora se le da el título a cualquiera’.

Profesor de Matemáticas, según dicen en mi UniversidadProfesor de Matemáticas, según dicen en mi Universidad

errata: donde digo ‘dominio es R^+’ debe decir ‘recorrido es R^+’

Matemático, según un Título que tengo...Matemático, según un Título que tengo...

Precisando,
La definición de aplicación la he dado yo “las aplicaciones son funciones a las que además se les exige que: si x=y => f(x)=f(y).”

Respecto a tu comentario ” la palabra función se suele usar para indicar que el dominio y el recorrido son conjuntos numéricos”, me ha dejado atónito, vamos que las funciones definidas entre espacios topológicos no numéricos ¿qué son?

La función raiz cuadrada efectivamente tiene dominio en R+ pero su recorrido o rango es todo R.

Lo de la distinción entre raiz cuadrada número y raíz cuadrada función debe ser algún concepto ..¿?

Vamos que la función raíz cuadrada que yo conozco se aplica a números y su resultado es un número, ¿no?

Si nos vamos a los complejos, la raíz n-sima de un número complejo tiene n valores diferentes.

Es decir sea 1 arg(0) un número complejo en forma módulo argumental, entonces la raíz cúbica de 1 arg(0) tiene tres valores complejos, a saber:

1 arg(0)
1 arg(120)
1 arg(240)

Con dominio y recorrido en todo C.

La cuarta tiene 4 valores, la quinta 5, etc.

Pero según tú, no debe ser así. No sé cómo restringirás el recorrido.

Estos son ejemplos de funciones que no son aplicaciones, ya que a un valor del dominio le corresponden varios valores diferentes en el recorrido, que es el tema del debate.

Profesor de Matemáticas, según dicen en mi UniversidadProfesor de Matemáticas, según dicen en mi Universidad

@Matemático, sigues enrocado en una posición estéril e irrazonable. Tu definición de aplicación y función no la comparte nadie. Puedes usarla por supuesto, pero no te entenderá nadie. Todos los comentarios dados aquí pretenden aclarar el problema de forma que podamos entendernos, salvo los tuyos, que solamente pretenden ‘tener razón por virtud de un t’itulo’. Fin de la cuestión.

manuelmanuel

-¿Por qué me dices ahora,
con la entrada ya en la mano,
que no veré una función?.

En arte soy un profano,
nunca hubiera imaginado
que se llegase a pagar
por ver sin pestañear
un blanco espacio euclidiano.

Ah, caramba, eso es mejor
por un momento he pensado
devolver las palomitas.

Con mi inocencia has jugado
y ahora dices “no es una función
por que son funciones ¡dos!”
una la pasan en negro
y otras, después, en color.

manuelmanuel

-¿Por qué me dices ahora,
con la entrada ya en la mano,
que no veré una función?.

En arte soy un profano,
nunca hubiera imaginado
que se llegase a pagar
por ver sin pestañear
un blanco espacio euclidiano.

Ah, caramba, eso es mejor
por un momento he pensado
devolver las palomitas.

Con mi inocencia has jugado
dices “no es una función
porque son funciones ¡dos!”
una la pasan en negro
y otras, después, en color.

manuelmanuel

Habría que borrarme el 10 marzo 2013 | 14:15, porque contiene errores… muchas gracias.

Matemático, según un Título que tengo...Matemático, según un Título que tengo...

Como colofón recomiendo la lectura de

Historia del concepto de función en http://www.astroseti.org/articulo/4379/

Por :Covadonga Escandón Martínez

Artículo de: J J O’Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive

Hacia el final, se lee

¿De dónde han tomado el concepto las definiciones más modernas? Goursat, en 1923, dio la definición que aparece en la mayoría de los libros de textos hoy en día:

Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = ƒ(x).

No se dice que y tenga que ser único, ques lo que he defendido yo.

Como se puede ver el debate es muy antiguo…

Saludos cordiales y hasta otra…

Profesor de Matemáticas, según dicen en mi UniversidadProfesor de Matemáticas, según dicen en mi Universidad

@ Matemático: en la referencia que tu mismo has dado, las últimas líneas son estas

“””
En caso de que ésta no sea lo suficientemente precisa y que involucra conceptos como ‘valor’ y ‘correspondencia’, véase la definición dada por Patrick Suples en 1960:
Definición. A es una relación ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇒ (∃y)(∃z)(x = (y,z)). Se escribe y A z si (y,z) ∈ A.
Definición. ƒ es una función⇔ ƒ es una relación y (∀x) (∀y) (∀z)(x ƒ y y x ƒ z ⇒ y = z).
“””

¿Acaso no te queda claro que la última linea dice que la imagen de x es única?

Ya ves hasta tus propias referencias te quitan la razón. Hay que leer hasta el final, hombre!

Matemático, según un Título que tengo...Matemático, según un Título que tengo...

Claro, yo sigo la definición de Goursat y no la de Patrick Suples

De esta manera yo admito el concepto “clásico” de función y Patrick Suples y tú no.

De manera que Goursat y yo admitimos el concepto de función de Descartes, Leibnitz, etc. y Patrick Suples y tú no.

Para mí Patrick Suples define el concepto de aplicación que yo admito pero como “aplicación”. Para Goursat y para mí el concepto de función es más amplio que el de aplicación.

No veo dónde me quitan la razón, es lo que vengo diciendo desde mi primera intervención: “En esta publicación se confunde APLICACIÓN con FUNCIÓN. Todo lo que se dice se refiere a aplicaciones, no a funciones.”

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¡Ah, eres tu! Me habían dicho que había uno que todavía seguía esa definición. Bueno, ahora lo entiendo. Buena suerte a la hora de entenderte con los demás matemáticos con título.

AlbertoAlberto

“Matemático…”:
Dices que tú sigues la definición de Goursat (por cierto, de los años veinte, anterior a Gödell: repasa lo que has dicho en tus anteriores comentarios), haciendo una lectura muy relajada de la frase (copio literalmente “Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde UN valor de y”,pero NO ES CIERTO, porque, para tu mala suerte, el libro de Goursat está online (en su traducción al inglés) http://archive.org/stream/coursemath...17/mode/2up y copio literalmente:
“Let this variable denoted by x, and let us suppose, for example, that it can assume all values between two given numbers a and b (a<b). Let y be another variable, such that to each value of x between a and b, and also for the values of a and b themselves, ther correspond ONE definitely determined value of y, them y is called a function of x".

Después sigue explicando tu amigo Goursat (que parece que te ha abandonado), que se puede ver también gráficamente una función como "a curvilinear arc of any shape, which is not cut IN MORE THAN ONE POINT by any parallel to the axis Oy".

Así que no hay ni una sola definición, ni una sola, que admita que cada elemento del dominio tenga más de un valor de la imagen (desde luego no la de Goursat). No hay ni una definición, ni una sola, que diga que una función es cualquier subconjunto del producto cartesiano. Lo que sí que hay gente que no sabe leer ni reconocer que se han equivocado.

Así que Gousart y todas, TODAS las referencias que tú has citado y todas las que hemos citado los demás te quitan la razón.

Realmente ya hemos perdido demasiado el tiempo contigo, si lo hemos hecho así no es por nuestro gusto sino porque no nos parece razonable (hablo al menos por mi) que en un producto tan bien explicado (que seguro que tiene sus errores) y que una labor tan loable como la de Clara Grima y Raquel Garcia Ulldemolins quede manchada por comentarios tan negativos y erróneos como el tuyo. Dije que me retiraba de la discusión y no lo he hecho puesto que he visto que persistías en tu error (ya te hemos dicho más de uno que parece que tienes la santa costumbre de no leer las cosas hasta el final). Así que por favor, si vas a dar una definición de función (te ahorro el tiempo: no existe) que apoye tu tesis: cita la fuente y copia hasta el final.

Pero como resumen: "Matemático…" dijo que en esta entrada se confundía el concepto de función (un problema de definición, no se decía que hubiera ningún fallo lógico a partir de la definición aquí dada), hemos dado multitud de referencias de los libros de matemáticas más aceptados, de los autores más prestigiosos que dan la misma definición (o equivalente) a la aquí dada. "Matemático…" ha ido dando autores que según él seguían su definición: si leemos los textos de esos autores que él cita, ninguno de dichos autores daba la definición de él, sino la aquí considerada. Me parece que "Matemático…" va por una autopista y todos los demás van conduciendo en sentido contrario salvo él. Así que debería haber puesto:
"en esta publicación Y EN TODAS LAS DEMÁS PUBLICACIONES DE MATEMÁTICOS DE PRESTIGIO QUE HEMOS ENCONTRADO SIN NINGUNA EXCEPCIÓN se confunde aplicación con función".

Matemático, según un Título que tengo...Matemático, según un Título que tengo...

La cita de Goursat no es mía, no, es de:

Artículo de: J J O’Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive

Sigamos pues, copio de la Wikipedia

En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.

Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número INFINITO de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sin(x) – 100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sin(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integración.

A ver como me casas la definición “con unicidad” que se da en muchas publicaciones, con este número INFINITO de primitivas.

Es decir a una única función del dominio le corresponden infinitas funciones en la imagen.

La definición que exponen estos autores que citas, es claramente inconsistente y no se puede admitir en Matemática “Formal”, aunque ya sé que no es culpa tuya y hay muchos autores que siguen esa definición.

Esta inconsistencia se resuelve distinguiendo entre aplicación y función.

Nota: cos(x), sin(x) se puede sustituir por otra función y me refiero a Integrales indefinidas, funciones inversas de las derivadas.

AlbertoAlberto

Dame una definición, solo una, de función donde diga: “definimos una función como un subconjunto cualquiera del producto cartesiano”, aunque sea en un libro rumano de mediados del siglo XIX, ya sé que todos los libros que hemos consultados están equivocados, aunque también sé que no sabes leer muy bien puesto que la cita de MacTutor no decía (ya te lo dijeron) lo que tú dices y la de la wikipedia que ahora citas tampoco sirve para defender tu postura (por cierto: me encanta que ahora la wikipedia sí sea válida): vuelve a leer la cita que pones porque lo que hace es situarse en nuestro terreno.
Te copio:
“En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.” (<- evidentemente no está en contradicción con la definción que da TODO el mundo de función, pero por si a alguien le queda dudas la wikipedia aclara:
"Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número INFINITO de primitivas" Luego la función primitiva no es única, para cada función le corresponde un número infinito de funciones primitivas y después sigue con lo mismo.

Repito: no trates de encontrar la inconsistencia de todas las matemáticas para justificar tu postura, estábamos hablando de definiciones, tú decías que la definición aquí dada casi no se utiliza desde los años 30 (lee tus comentarios), por lo tanto te debe ser muy fácil (mucho más que probar la inconsistencia del resto de los matemáticos) encontrar un único sitio donde dé tu definición de función.

Por otra parte te repito: no mereces la pena: tu postura es ridícula, te hemos citado todos los autores habidos y por haber que dan siempre la misma definición de función (todos equivocados). Demuestras en cada texto que pones que no sabes leer bien las matemáticas que en él se exponen. La única razón por la que sigo es porque no quiero que en una entrada tan fantástica como esta, en un blog que tanto bien está haciendo por la difusión de las matemáticas quede tu palabra como la última.

Matemático, según un Título que tengo...Matemático, según un Título que tengo...

http://www.cs.unicam.it/piergallini/...nifolds.pdf

Desde aqui se tiene acceso al libro “Calculus on Manifolds” A Modem Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus, escrito por Michael Spivak

En la página 11 se lee:
A function from Rn to Rm is a rule which associates to each point in Rn some point in Rm

Es decir, a un punto del dominio se le asocia algún punto del rango (no dice que sea único)

En la página 23 se lee:

f(x,y,z) = (x + y)^z, si z=2 ,(x + y)^2 es una función, luego x^2+y^2+2xy es una función, luego x^2+y^2 es una función

En la página 27 se lee:

f(x,y) = x^2 – y^2, luego x^2+y^2 es una función

En la página 40 se lee:

Consider the function f: defined by f(x,y) = x^2+y^2-1, luego x^2+y^2 es una función

y así un larguísimo etc.

El carácter riguroso, matemáticamente hablando, de este libro queda claramente reflejado en la página 45.

Conclusión, x^2+y^2 es una función, según enseñaba, Michael Spivak en la
Brandeis University, y según el libro “Calculus on Manifolds” A Modem Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus, contrariamente al título del articulo que ha originado este debate.

AlbertoAlberto

O no sabes leer o eres un mentiroso o no tienes ni idea de matemáticas (“o” no excluyentes).

“Some point” es singular, en inglés si quieres decir varios puntos tendrías que decir “some pointS”, pero Spivak aclara:
Página 11 del Spivak (en la misma referencia que tú das), justo después de lo que tu copias y para aclarar la definición por si alguien es tan lerdo y no se entera:
“THE point a function associates to x IS denoted f(x)” luego según la referencia que das la función asocia a cada punto del dominio una ÚNICA imagen (justo después vuelve a poner f(x) pertenece a R^m (pertenece: no incluido) por si todavía alguien no se ha enterado (como es tu caso).

Naturalmente que f(x)=x^2+y^2 (y todos los demás ejemplos que das) es una función, en este caso de R^2 en R y asigna a cada valor de (x,y) UN ÚNICO valor de z tal y como se dice en esta entrada, tal y como se te ha dicho repetidas veces, tal y como viene en TODAS las referencias que te hemos dado y que tú has dado.

Me alegro que digas que la referencia del Spivak es rigurosa, porque te quita totalmente (y repetidas veces) a razón.

Repito: a cada valor del dominio le corresponde UN ÚNICO valor de la imagen y o das una referencia donde diga claramente que considera una función cualquier subconjunto del producto cartesiano o deja de hacer el ridículo y hacer perder el tiempo a los demás.

Un

Matemático, según un Título que tengo...Matemático, según un Título que tengo...

Conclusión, x^2+y^2 es una función, según enseñaba, Michael Spivak en la
Brandeis University, y según el libro “Calculus on Manifolds” A Modem Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus, contrariamente al título del articulo que ha originado este debate.

http://www.cs.unicam.it/piergallini/...nifolds.pdf

AlbertoAlberto

¡¡¡¡¡Aprende a leer!!!!!
Conclusión: f(x,y)=x^2+y^2 es una función de R^2 en R siguiendo la definición que se da en esta entrada: a cada valor de (x,y) le corresponde UN UNICO valor f(x,y).
Spivak dice claramente que a cada valor del dominio le corresponde UN ÚNICO valor de la imagen (y lo repite hasta tres veces en tu famosa página 11 de dicho libro).

También matemáticoTambién matemático

Leo los comentarios a esta entrada y me alarmo ante la paciencia que Alberto demuestra ante la ignorancia y el empecinamiento de “Matemático, según un título que tengo…”.
No sé dónde le dieron el título de matemático, pero espero que no lo diga: no hace falta desprestigiar más a las universidades españolas.
Si le sirve de algo, solo decir que los comentarios de “Matemático, según un título que tengo…” producen verdadera vergüenza ajena, parece que no ha leído ni uno solo de las respuestas que se le dan por parte de Alberto y de “Profesor de matemáticas, según dicen en mi universidad”, este último, con toda la razón del mundo ya se cansó ante tanta tontería. El último comentario ya es tremendo: claro que f(x,y)=x^2+y^2 es una función, ya que a cada valor (x,y) del dominio le asigna un único valor x^2+y^2 (de la imagen).
Lo dicho: me da vergüenza que alguien que se diga matemático no sea capaz de comprender definiciones tan elementales.
Por supuesto me uno a las muchas felicitaciones por la labor llevada a cabo en este blog y os animo a seguir adelante.

AlbertoAlberto

Una cosa más: si f(x,y)=x^2+y^2 no es una función según la definición dada en esta entrada, significa que para algún valor de (x,y) le corresponde más de un valor de f(x,y), ¿me podrías dar un ejemplo de un solo valor de (x,y) al que le correspondan más de un valor de f(x,y)=x^2+y^2?

AlbertoAlberto

Repito: aprende a leer, es terrible que no sabes leer lo que se pone en la entrada (NUNCA se afirma que f(x,y)=x^2+y^2 no sea una función), ni lo que pone los libros que citas, que dicen repetidas veces que no tienes razón en tu definición de función).
Tal y como dice 3 VECES Spivak: a cada valor del dominio le corresponde un único valor de la imagen tal y como dice la entrada y como tú te has negado a ver desde el primer momento. Por lo tanto en la entrada se dice que f(x,y)= x^2+y^2 es una función: léelo al menos una vez.

Por favor responde a estos puntos:

1) Has dicho que la definición correcta de función era “cualquier subconjunto del producto cartesiano”. Da una sola cita en la que se de esa definición.

2) en el libro de Spivak se dice 3 veces en la página en la que se da la definición de función que a cada valor del dominio le corresponde un único valor de la imagen: 3 veces en unba página te dice la cita que tú das que estás equivocado.

3) Dime dónde se dice en la entrada que f(x,y)=x^2+y^2 no es una función.

4) en la entrada y en todas las definiciones que has encontrado se dice que a cada valor del dominio le corresponde un único valor de la imagen, si dices que con la definición dada en la entrada f(x,y)=x^2+y^2 no es una función, es porque para algún valor de (x,y) le corresponde más de un valor de f(x,y)=x^2+y^2 , ¿me puedes decir un valor de (x,y) de x^2+y^2?

Un último consejo: no leas tus comentarios: te darán vergüenza.

Juan Edgardo ToméJuan Edgardo Tomé

Señorita Mati, respetuosamente, considere la ecuación paramétrica de su circunferencia

x = 5·cos(α)
y = 5·sen(α)
con α ∈ [0, 2π]

Para cada valor de α le corresponde un único punto (x,y) del plano y se evita el problema de los signos de la raíz.

Con esta notación su circunferencia es una función. Usted se equivocó.

yo mismoyo mismo

una cuestión es la gráfica como objeto en el plano y otra las infinitas parametrizaciones que la representan. Por ejemplo x= 5 cos(t*t), y= sen(t*t), t en [0, raíz(2 pi)] daría el mismo problema.

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