Adivinando en 55 segundos

–Y por último, elige en qué montón está tu carta, Sal.

–En este –señaló el gafotas.

–A ver… –Ven puso cara de pensar muy fuerte y finalmente le enseñó el siete de espadas a su hermano –¡Es esta!

–No, era el cinco de oros –dijo Sal sin alterarse.

–¡Has hecho trampas, gafotas! ¡Me has mentido! –gritó el pequeño muy enfadado –Este truco no falla nunca, me lo enseñó Mati. Pero si me mientes no sale.

Mati_Naukas_3_1

–Pero, bueno, ¿qué pasa aquí? –Mati acababa de llegar.

–El gafotas me ha mentido para que no me saliera el truco de las 21 cartas, Mati –protestó el pelanas.

–No he querido mentirte , Ven –se defendió el mayor –. a lo mejor me he equivocado…

–Sí, claro –receló Ven –. Lo que pasa es que no quieres reconocer que soy un gran mago.

–¿Sabéis, chicos? –interrumpió la pelirroja – ¿Recordáis cuando os hablé de mi amigo Jin Akiyama?

–Sí –dijo Sal –, claro, el matemático más famoso de Japón.

El pequeño Ven, que seguía más enfadado que nadie en el mundo, miraba a Mati con el ceño fruncido intentando adivinar qué tenía que ver Akiyama sensei* con el tramposo de su hermano.

–Eso es –afirmó la gafotas –. Pues bien, Jin me enseñó un truco de adivinación en el que el mago podía acertar el número que había pensado alguien, aunque este mintiera (o se equivocara) una vez.

–¿¿Sí?? –preguntó Sal con los ojos de par en par.

–¿También con cartas? –preguntó Ven intentando disimular su curiosidad.

–No, no se trata de adivinar cartas –continuó ella –, sino de adivinar, como he dicho, el número que ha pensado alguien, como aquel que aprendimos para el cumpleaños de vuestra abuela, pero en esta ocasión, cuando le enseñamos las tarjetas para que nos diga en qué tarjetas está el número que ha pensado, le permitimos que nos mienta, como máximo, una vez: es decir, que nos diga que está en una tarjeta en la que no está o al revés, que nos diga que no está en una tarjeta en la que sí está el número que ha pensado.

–¿Nos lo enseñas, Mati? –pidió el gafotas.

–Bueno, venga, vale –añadió el pequeño mirando de reojo.

–Para realizar este truco de adivinación con posibilidad de un engaño –les dijo –, Jin me regaló esta estantería con bolas de colores y repisas deslizables.

MatiNaukas3_2

–¡¡Qué chula!! –gritó Sal –¿Cómo funciona?

–Ya veréis –continuó ella –, os lo voy a explicar sobre este diagrama que representa a la estantería con sus siete repisas.

akiyama_1

–Se trata de que le pidáis a alguien que piense un número del 1 al 15, lo escriba en un papelito y lo esconda –siguió Mati –. Decidme uno y os enseño cómo funciona.

–Pero si te lo decimos ya lo sabes, qué lista… –protestó el pequeño.

–Claro, Ven –dijo Mati –, es sólo para que veáis cómo funciona el truco.

–El 9 –gritó Sal.

–Muy bien –dijo Mati –, suponemos que nuestro amigo, al que le queremos hacer el truco ha pensado el 9, pero nosotros no lo sabemos. Entonces le enseñamos estas 7 tarjetas y le pedimos que señale en cuáles de ella está. Le decimos que nos puede mentir, como máximo una vez.

akiyama_2

–Ese es como el de la abuela, Mati –dijo el pelanas.

–Sí, Ven –confirmó ella –, pero aquí se puede mentir una vez.

–¿En qué tarjetas diría nuestro amigo que está el 9? Señaladlas pero mentid en una, por ejemplo. Ya sabéis que no es necesario mentir, pero si se miente, solo se puede mentir una vez.

Los chicos, cuchicheando, se pusieron a señalar las tarjetas en las que estaba el 9 y se las mostraron a su amiga.

akiyama_2_B

–Bueno, veo que me habéis mentido en la rosa –dijo Mati –. Pero, claro, yo no debería saberlo aún. Lo que hago a continuación es deslizar las repisas correspondientes a las tarjetas que habéis señalado en verde, las que vosotros, mentirosillos, decís que contiene vuestro número. Fijaos que si ponemos las tarjetas al lado de la estantería cada tarjeta se corresponde con una de las 7 baldas de la misma.

akiyama_2_C

–Si deslizamos las baldas correspondientes a las 4 tarjetas que habéis señalado –siguió –, las bolas que están sobre esas 4 baldas caerían aquí.

Mati deslizó las baldas y las bolas correspondientes cayeron en un pequeño depósito que estaba abajo.

–Vamos a contar cuántas bolas de cada color hay –les propuso.

Los niños se pusieron a contar:

–Hay 13 bolas blancas, 3 rojas, 2 azules y 3 amarillas –dijo el gafotas.

–Si vuestro amigo os dice eso, ya sabéis que os mintió en una tarjeta –les dijo.

–¿¿Por qué?? –preguntó Ven.

–Porque el número de bolas de colores –dijo Mati –, sin contar las blancas, debe ser par. Si el número de bolas rojas, azules o amarillas es impar, es porque os han mentido en una tarjeta.

Los niños miraban a Mati con una curiosidad infinita. Gauss se rascó una oreja.

–Es más –continuó con voz misteriosa –, como son las bolas rojas y las amarillas las que han caído en número impar, me habéis mentido en la tarjeta correspondiente a la balda que tenía solo 2 bolas de colores: una roja y otra amarilla.

Los niños miraron rápidamente qué balda era la que tenía una bola roja y otra amarilla (y 4 blancas, pero eso no importaba en este momento) y comprobaron que, efectivamente, correspondía con la tarjeta rosa en la que habían mentido. Gauss ladró sin entusiasmo para llamar la atención, es un perro raro.

–Toma, es verdad, Mati –se sorprendió Ven.

–Por lo tanto –continuó ella –, como habéis mentido, esa balda no debió caer. Retiro esas bolas, que no las necesito y me quedo con el resto –añadió y eliminó 4 bolas blancas, 1 roja y una amarilla, las correspondientes a la balda de la tarjeta rosa –. ¿Cuántas bolas blancas quedan, chicos?

–¡¡9!! –gritó Sal.

–Eso es que habéis pensado en el 9 –dijo ella con una graciosa reverencia.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –exclamó el pelanas.

–¡Es chulísimo, Mati! –gritó Sal.

–Lo es –dijo –. A mí me encantó cuando me lo enseñó Jin.

–¡Hazlo otra vez! –le pidió el pequeño – Pera ahora no te decimos el número.

Mati asintió y los niños escribieron 11 en un papel que escondieron en el bolsillo de Ven. Gauss volvió a ladrar. Él es así.

–Ya –dijo Ven.

–¿Me podéis señalar en qué tarjetas está, por favor, mintiendo como máximo una vez?

Sal y Ven marcaron las tarjetas y se las dieron a Mati:

akiyama_4

Mati las puso junto a la estantería y dejó caer las bolas correspondientes a las tarjetas marcadas.

akiyama_4_B

–A ver, hay 9 bolas blancas, 2 rojas, 3 azules y 1 amarilla… –empezó a razonar la pelirroja –, eso significa que me habéis mentido en una estantería con una bola azul y una amarilla… –continuó –, así que me habéis mentido en esta tarjeta:

akiyama_4_C

Los niños se miraron y se rieron nerviosos con complicidad. Gauss apretó los dientes con pelusilla.

–O sea, tramposillos –continuó ella –, que vuestro número sí está en esta tarjeta… –Mati deslizó la balda correspondiente a dicha tarjeta dejando caer 2 bolas blancas, 1 azul y una amarilla –. Vuestro número es el 11, las 9 bolas blancas que tenía y estas 2 que acaban de caer.

–¡Es genial! –gritó Ven.

–Y muy fácil –añadió Sal –: (1) le pedimos a alguien que piense un número y sin decirlo lo escriba en un papelito y lo esconda; (2) le pedimos que señale en qué tarjetas está, mintiendo, como máximo una vez; (3) deslizamos las baldas de las tarjetas correspondientes a las tarjetas señaladas y dejamos caer sus bolas; (4) contamos las bolas de colores (no las blancas): si hay un número par de cada color, no nos ha mentido y el número que pensó es el número de bolas blancas; si hay un número impar de bolas de 1 o más colores, es que nos ha mentido en la tarjeta de la balda que tenía bolas de los colores que aparecen en número impar; (5) si habíamos quitado dicha estantería, será porque nos dijo que estaba y era falso; quitamos las bolas de esa balda, contamos las blancas y ese es su número; (6) si la balda donde nos mintió estaba sin quitar, es porque nos dijo que ahí no estaba su número y mintió; la quitamos, dejamos caer las bolas, contamos cuántas bolas blancas hay y fin.

–¿Me lo puedo llevar al cole para jugar con mis amigos? –preguntó Ven.

–Pues, la verdad, es que me daría mucha pena que se perdiera alguna bolita –dijo ella –. Es un regalo de Jin de su museo de Tokio. Pero os voy a enseñar a hacer el mismo truco solo con las tarjetas, ¿vale?

–¡Vale! –aceptó el pequeño.

–En realidad, no necesitamos las bolas –continuó ella –aunque, claro, queda más bonito. Basta con que pongáis unas letras junto a las tarjetas (que serían como las bolas de colores) así:

akiyama_5

–Las bolas blancas solo estaban en las tarjetas marcadas con ABC, AC, BC Y AB –les dijo –: había 8 bolas blancas en la tarjeta ABC, que es el número más bajo de esa tarjeta; 4 bolas blanca en la AC, que también es el número más bajo de esa tarjeta; 2 bolas blancas en la BC, su número más bajo y 1 una bola blanca en la AB, su número más bajo. Pensad un número del 1 al 15.

–El 3 –dijo Ven.

–Señala en qué tarjetas aparece y, recuerda que solo puedes mentir una vez o no mentir –le pidió Mati.

Ven se puso manos a la obra:

akiyama_5_B

–Se trata ahora de sumar el número de aes, bes y ces de las tarjetas que has marcado en verde –dijo Mati –: 1 A, 1 B y 2 C. Como hay un número impar de A y B, significa que nos has mentido en la tarjeta AB: has dicho que ahí no estaba pero sí está. Así que tu número está en las tarjetas AB, BC, A y C. Como en las tarjetas A, B y C no había bolas blancas, solo tengo que sumar las bolas blancas de AB y BC, o lo que es lo mismo, elegir el número más pequeño de AB, 1, y sumarlo al más pequeño de BC, 2. Por lo tanto, tu número es 3. cosa que ya sabíamos.

–¡Bien! –dijo Ven.

–¿Y si cuando sumas las A, B y C de las tarjetas que te señalan salen los 3 pares, Mati? –preguntó Sal.

Si los 3 son números pares –le dijo –, como en las bolas si los 3 colores salen pares, significa que no ha mentido y solo hay que sumar las bolas blancas (o el número más pequeño) de las tarjetas señaladas. Salvo las tarjetas A, B y C que no tenían bolas blancas, claro.

–¡Es chulísimo! –volvió a decir el pequeño –Y sirve aunque el gafotas me engañe.

–¿Cómo se inventó Jin este truco? –quiso saber Sal.

–Usando la escritura de los números en binario –respondió la pelirroja –como vimos aquella vez, y añadiendo unos dígitos de control y correción para detectar la mentira o el fallo.

–¿Me lo explicas? –le pidió el gafotas.

–Claro –contestó –, vamos a escribir en una tabla la expresión en binario del 1 hasta la del 15, usando 4 columnas:

binario_1

–Fijaos –continuó ella –, en la primera columna, la que marco con ABC, los números que tienen un 1 en esa columna son precisamente los que aparecen en la tarjeta ABC: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 y 15.

binario_2

–-Es verdad –dijo Sal.

–Y lo mismo ocurre con las otras 3 columnas –les dijo –. Ahora vamos a añadir 3 columnas más que serán nuestro código corrector de error.

binario_3

–Ahora, nos fijamos en aquellas columnas que tengan una A: la ABC, la AB y la AC –siguió ella.

binario_4

–Ahora, por filas, para cada número del 1 al 15, sumamos los 3 números marcadas en naranja en su fila: si nos sale par, ponemos un 0 en la columna de la A, si nos sale impar, ponemos un 1.

binario_5

–Ya tenemos los números que aparecen en la tarjeta A, los que tienen un 1 en la columna que acabamos de rellenar: 1, 3, 4, 6, 8, 10, 13, 15 –concluyó Mati.

–Mola –dijo Ven.

–Hacemos lo mismo con las columnas que tienen B: ABC, AB y BC –continuó.

binario_6

–Ya tenemos los números de la tarjeta B –siguió –. Solo nos queda hacer lo mismo con las columnas que tengan C: ABC, AC y BC.

binario_7

–Con esto, tenemos los números del 1 al 15 expresados con 7 cifras, entre 0 y 1—dijo ella –. Los 4 primeros dígitos representan la expresión binaria del número y los 3 últimos son el código corrector de errores.

binario_8

–Cuando os he preguntado en qué tarjeta estaba el 3 –dijo –, me habéisis dicho en la BC, en la A y en la C. O sea, que me habéis dado este número 0010101, es decir:

0(ABC) 0(AC) 1(BC)0 (AB)1 (A) 0(B) 1(C).

Lo primero que tengo que hacer es comprobar si es correcto, para ello uso los dígitos correctores, sumando las columnas como antes.

binario_9

–Pero, oh –exclamó la pelirroja –, detecto que las columnas A y B están mal. En la A debería aparecer un 0 y en la B un 1. Por lo tanto, hay un error en la columna AB: en esa columna, en lugar de un 0 debería haber un 1 y, por lo tanto, la expresión en binario de vuestro número es el 0011, que es la expresión en binario del 3.

–¡¡Lo mola todo!! –gritó Ven.

–Es maravilloso… –añadió su hermano.

–Y muy útil –dijo Mati –, los códigos correctores de errores nos permiten detectar y arreglar fallos en la transmisión de datos, por ejemplo, cuando se araña la superficie de un CD.

–¿Sí? –Ven estaba alucinando.

–Sí, Ven –le respondió –. También se usan códigos detectores de error en nuestro número del DNI o en el IBAN de banco, pero estos solo nos dicen que hay un error, no nos permite corregirlos.

–Oye, Mati, ¿nos presentarás algún día a Akiyama? –preguntó el pelanas.

–Por supuesto –respondió Mati –, estoy segura de que Gauss y él serán muy buenos amigos.

Mati_Naukas_3_final

FIN

(*) Sensei: Es una palabra japonesa que significa maestro, profesor, sabio…

Espero que os haya gustado este truco, a mí me encantó cuando me lo enseñó Jin Akiyama. Respecto al juego de cartas, el de las 21 cartas que estaban jugando Sal y Ven al principio de esta aventura, os lo voy a explicar, es un juego clásico, pero por si no lo conocéis.

Se juega con 21 cartas, se pide a alguien que elija una, sin enseñártela, y la esconda de nuevo en el mazo. Barajáis muy bien las cartas. Las vais poniendo boca arriba en 3 montones y le pedís a vuestro amigo que recuerde en cuál de los 3 está su carta. Hemos hecho una ilustración con las cartas boca abajo, pero se hace boca arriba, para que tu amigo pueda ver dónde está la suya. Para ti, en principio, son todas iguales, no necesitas prestar atención al orden en que van apareciendo.

21cartas_1

Recoges los montones, dejando el elegido en el centro, entre los otros 2. Si lo haces así, la carta elegida está entre la 8 y la 14: primero van las 7 primeras del montón de arriba, luego el montón de la elegida y el último. Las vuelves a poner en 3 pilas o montones pidiendo a tu amigo que se fije en qué montón cae. Hemos pintado de rojo las cartas sospechosas para ver en qué posiciones quedarán la segunda vez que hagas los montones:

21cartas_2

Fíjate que la carta que quieres está entre las posiciones 3 y 5 de cada montón: en la pila 1, las sospechosas son la 3 y la 4; en la pila 2, son la 3, la 4 y la 5; y en la pila 3, la 4 y la 5. En cualquier caso, entre la 3 y la 5 como hemos dicho. Ahora le pedimos que señale la pila en la que está su carta y recogemos como antes, dejando ese montón (o pila) en medio, entre los otros 2.

Si lo hace así, solo nos quedarán 3 cartas sospechosas: las 7 del primer montón no lo son, ponemos las del segundo y como en ese las sospechosas son la 3, 4 y 5, ahora serán la 10, la 11 y la 12. Y ya está, ya no hay más cartas sospechosas. Fíjate que pasa al colocarlas, de nuevo, la tercera y última vez, en 3 pilas:

21cartas_3

Efectivamente, ya solo tenéis una carta sospechosa en cada pila, la cuarta. Pedidle que señale, otra vez, el montón, recogéis como antes, dejando el montón señalado en el centro, y contáis 11. ¡Tachán!

Si falláis, es porque vuestro amigo es un pelín mentiroso y, en ese caso, hacedle mejor el truco de Jin Akiyama 😉

Hasta muy pronto.

MATI


6 Comentarios

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detritiusdetritius

“Es tan fácil que lo entendería un niño de 4 años.. Que me traigan a uno.”

Wow, He necesitado dos intentos mas una taza de café para poder entenderlo todo y ha sido una gozada. Aunque reconozco que he estado mas tiempo buscando formas de romper el invento o como se podía ampliar.. 😉
Una estantería mágica que tras entender el primer truco descubres que tiene mas y mas capas de complejidad dentro..

Gracias por otro articulo matemático, se me estaban oxidando los engranajes de tanto leer en el Internet, sin esfuerzo.

Emma Alba CantoEmma Alba Canto

Me he quedado encantada. Gracias por mostrar una forma diferente, algo que durante mucho tiempo ha sido difícil de entender para mi.

PedroPedro

Hola, muy bonito el juego.
Sería posible hacerlo con menos números?
Por ejemplo seis u ocho?

CarlosCarlos

Muy interesante y didáctico artículo, como siempre. Propongo una variación al clásico juego de 21 cartas. Consiste en jugar con 27 cartas, hacer igualmente tres repartos en 3 montones, pero con la variante de pedir al principio del juego que se elija un número del 1 al 27. El número elegido será la posición en la que aparezca la carta pensada. Basta con memorizar el orden en el que se han de juntar los montones, algunas veces siendo el de la carta elegida el primero, otras el segundo y otras el tercero, según el número elegido. Para memorizarlo se suelen escribir de esta forma:

1 10 19
2 11 20
3 12 21

4 13 22
5 14 23
6 15 24

7 16 25
8 17 26
9 18 27

Dejo el cálculo de las permutaciones a los lectores interesados y a Mati la explicación y ampliación del truco original para un futuro relato.

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