56 puntos para triangular

–Vaya, pues no para de llover. Qué latazo…

–Bueno, Ven, no te preocupes –dijo Bentor –. ¿Jugamos aquí dentro?

–¿Al fútbol? –respondió Ven –No podemos jugar al fútbol dentro de casa, no nos dejan.

–¿Jugamos con las Magic? –propuso el gafotas que empezaba a encontrar ventajosa las inclemencias del clima.

–No, Sal, no me gustan las Magic –protestó su hermano –. Te pones un poco pesado con las cartitas esas, perdona que te lo diga.

–¿Vemos la tele un rato? –propuso Bentor que empezaba a temer una nueva discusión entre los dos hermanos sobre lo maravilloso o no que era jugar al Magic.

Bentor estaba de visita en casa de sus amigos Sal y Ven. Por la mañana, habían planeado jugar al fútbol por la tarde con Laura y los demás, pero desde el mediodía no paraba de llover. Estaban un poco desilusionados y contrariados pero iba a durarles poco porque Mati estaba a punto de entrar en el salón.

Mati_Naukas4_1 (1)

–Hola chicos –saludó la pelirroja al entrar –. Vaya, veo que hoy tenéis un invitado en casa.

–Es Bentor –se apresuró a decir Ven –. Vive en Santa Cruz de Tenerife y ha venido a visitarnos, pero para nada –añadió frunciendo el ceño –, porque no podemos jugar al fútbol.

–Hola Bentor –lo saludó Mati –. Estoy casi segura de que has venido para algo más que jugar al fútbol, ¿verdad? –Mati le guiñó un ojo.

–Claro, Mati –dijo él con una inmensa sonrisa –. Tenía ganas de estar con Sal y Ven y –la carita de Bentor enrojeció un poco –tenía muchas ganas de que me enseñaras un juego de los tuyos.

–Oh, me parece una gran idea –dijo ella –. Os voy a enseñar un juego chulísimo mientras esperamos que deje de llover, ¿os apetece?

–¡Sí! –dijeron los tres niños al unísono. Gauss resopló aliviado, tenía un rato para descansar.

–Veréis –empezó a decir Mati –, os voy a enseñar varios juegos, todos con triangulaciones…

–¿Con qué? –preguntó Bentor arrugando la nariz.

–Con triangulaciones –le explicó Sal –. Mati nos pondrá muchos puntos en una hoja de papel y tenemos que unir los puntos de dos en dos con una línea, pero sin que se crucen las líneas, ¿no, Mati?

–Ah, sí, ya me acuerdo –añadió Ven –. Ese juego ya lo conocemos.

–No, Ven –dijo ella –. Nosotros hemos jugado alguna vez, cuando eráis más pequeños, a triangular conjuntos de puntos, pero nadie ganaba. Se trataba solo de conseguir la triangulación, hoy vamos a ver otros juegos diferentes.

–¿Cómo se hace una triangulación? –preguntó Bentor.

–Te lo contamos –respondió la gafotas –. Si tenemos un conjunto de puntos en nuestro papel como, por ejemplo este –Mati dibujó unos puntos en una libreta que llevaba.

capirote1

–Hacer una triangulación de estos puntos –continuó –consiste en unir con rayitas los puntos de dos en dos, sin que se crucen entre sí. Cuando ya no se puedan añadir más rayitas, lo que nos quedará es una triangulación, un dibujo formado por triángulos con los vértices en los puntos que teníamos al principio.

–¿Puedo intentarlo? –preguntó Bentor.

–Claro –le respondió Sal –. Toma este rotulador.

Bentor se puso a unir puntos de dos en dos como le había dicho Mati, sin que se cruzaran las líneas que iba dibujando. Al cabo de un rato, les mostró a todos el resultado.

–Ya lo terminé.

capirote2

–¿Estás seguro? –preguntó Ven haciéndose un poco el interesante.

–Creo que sí, que no puedo pintar más rayitas.

–Mira, fíjate aquí, aquí hay un cuadrilátero –dijo Ven –, tienen que quedar triángulos.

capirote3

–Puedes añadir una línea más –apuntó Sal –para dividir ese cuadrilátero en 2 triángulos, Bentor.

–Ahora sí –dijo este después de pintar una línea más.

capirote3_b

–Ajá –dijo Mati –, eso sí es ya una triangulación. Muy bien, Bentor. Ahora os voy a enseñar a los tres qué es un flip en la triangulación.

–¿¿Flip?? –preguntó Sal con una cara muy rara.

–Bueno, ese es el término en inglés –dijo Mati –, en español sería giro o intercambio, pero a mí me gusta llamarlo flip, porque es más sonoro. Además porque así los llamaba mi amigo Ferran Hurtado que es el que me enseñó los juegos con triangulaciones que os quiero contar.

Mati_Naukas4_2

–¿Y qué es un flip, Mati? –quiso saber Ven.

–Un flip es una operación que solo podremos aplicar a las aristas (llamamos aristas a las rayitas que habéis dibujado) interiores de la triangulación –respondió ella –, esto es, no podemos hacer flip con ninguna de las aristas que están pintadas en azul en el siguiente dibujo:

chull

–¡Vale! –dijeron los tres niños a la vez.

–Muy bien –siguió ella –. Ahora nos fijamos en una arista interior. Esa arista, por ser interior, está compartida por dos triángulos de la triangulación, ¿verdad? Fijaos en esta que está pintadode verde:

capirote7

Los niños asintieron con la cabeza. Gauss también. Es un perro muy novelero.

–Pues bien –continuó Mati –, hacer flip en esa arista verde consiste en sustituirla, cuando se pueda, por la otra diagonal del cuadrilátero formado por los dos triángulos que la comparten. Como he hecho yo en esta figura:

capirote8

–Eso lo podemos hacer siempre –dijo de pronto el gafotas –, ¿no, Mati? Siempre que la arista sea interior habrá dos triángulos pegados por ella, estos formarán un cuadrilátero y un cuadrilátero siempre tiene dos diagonales, puedes cambiar una por la otra para hacer la flip.

–No, no, no, amiguito –respondió Mati –, porque puede ocurrir que una de las diagonales esté por fuera del cuadrilátero y no se pueda dibujar porque cortaría a otra arista de la triangulación. Y eso, caballeros, está prohibido. Fijaos en el siguiente dibujo:

capirote10–Si nos fijamos en la arista que comparten los dos triángulos sombreados en morado –continuó ella –, es una arista interior, pero no podemos hacer flip porque la otra diagonal del cuadrilátero que forman los dos triángulos va por fuera y nos quedaría algo así de feo e ilegal: una arista cortando a tres triángulos de fuera.

capirote11–Ah, claro… –aceptó Sal.

–O sea, Mati –interrumpió Ven –, como tú nos enseñaste: para poder hacer flip es necesario que la arista sea interior pero no es suficiente, ¿no?

–¡Eso es, muy bien, Ven! –se alegró Mati — Veo que entendiste muy bien la lección.

–Entonces –interrumpió Bentor que estaba deseando empezar a jugar –, ¿qué tenemos que hacer, Mati? ¿Hacer flips a todas las aristas que podamos?

–Bueno, ese no es el juego que os iba a proponer –dijo esta –, pero es otra posibilidad.

–Entonces, ¿cuál es el juego que nos quieres enseñar? –siguió preguntando el pequeño.

–En realidad son varios juegos –dijo Mati –, al primero lo llamaremos, simplemente, “construye una triangulación”. Este es un juego para 2 jugadores, podéis jugar por turnos, de 2 en 2, y solo necesitamos un papel y un lápiz.

–Aquí tienes –dijo Bentor acercándole a Mati las cosas que había pedido.

–Gracias, Bentor –dijo ella y continuó –. En el papel dibujamos unos puntos, los que queráis…

–¿56? –interrumpió Ven.

–Los que queráis –respondió la pelirroja –, yo he pintado estos. Ahora, por turnos, cada jugador dibuja una arista, una línea, hasta que completen la triangulación. Si un jugador termina un triángulo al dibujar en su turno, se lo apunta en su cuenta. Gana el que más triángulos haya cerrado una vez que hayan triangulado todos los puntos.

–No sé si lo entendí bien, Mati –dijo Bentor.

–Ya verás –le respondió Mati –. Si tenemos estos puntos, imagina que el primer jugador pinta esta arista:

output_4wNoHz

–Pensemos que el segundo jugador no es demasiado despierto –siguió ella –y dibuja esta otra:

2triangulacion1–Noooooooooo –gritó Ven de pronto –, esa no, ¡que cierra el triángulo el jugador 1!

–Efectivamente –dijo ella –, ya os dije que no era un jugador muy despierto. En este caso, el jugador 1 cierra el triángulo y se anota un punto.

4triangulacion1–¡Qué chulo! –exclamó Bentor –¿Jugamos?

–Como queráis –dijo Mati –, os iba a enseñar más juegos para que luego eligiéseis el que más os gustara.

–Sí, sí, Mati –dijo Sal –, cuéntanos todos primero.

Bentor y Ven aprobaron la decisión de Sal. Gauss ladró, llevaban mucho rato sin hacerle caso.

–El siguiente juego se llamará “el triángulo de oro” –siguió la gafotas –. Es igual que el anterior pero gana el primero de los jugadores que cierre un triángulo.

–¿Sin terminar la triangulación? –preguntó Bentor.

–Eso es –confirmó Mati –. Otro posible juego de construcción de triangulaciones, es decir, de empezar solo con puntos e ir añadiendo las aristas para construir la triangulación, es el de “construye con tu color”.

–¿Qué es eso del color? –preguntó Sal.

–Pues que en esta versión del juego –les contó –cada jugador tiene un lápiz de un color distinto, usamos 2 colores, y solo se anotará un punto cuando cierre un triángulo con las 3 aristas de su color.

–Cómo mola… –exclamó Ven –. Ese es más difícil, ¿no?

–Bueno –dijo Mati –, diferente. También podéis jugar al “triángulo de oro y color”. Que sería como el del triángulo de oro pero gana el primero que consiga un triángulo con las tres aristas de su color.

–Me gustan todos –dijo Bentor –. Ahora no voy a saber cuál elegir…

–Espera, espera –le pidió Mati –, que todavía nos he contado los juegos con flips.

–Es verdad –dijo Sal –, ¿para qué sirven los flips en estos juegos?

–En los juegos que os acabo de explicar no usamos flips –respondió ella –, estos eran juegos todos de construcción. Ahora os voy a contar juegos de transformación. Partiremos de una triangulación ya terminada y jugaremos a transformarlas con flips, ¿queréis?

–¡Sí!! –dijeron los tres al unísono. Gauss se abstuvo de opinar en esta ocasión.

–El primero de flips que os voy a enseñar se llama “flipando” –dijo Mati –. Empezamos con una triangulación ya hecha, por ejemplo, con aristas negras (mejor a lápiz para borrar) y usamos un rotulador de otro color, por ejemplo verde. Por turnos, cada jugador elige una arista negra para ‘fliparla’, si se puede. Y si se puede, la flipa, es decir la borra y la cambia por la otra diagonal del cuadrilátero, pero en verde. Veis, como en esta figura, hemos pintado de rojo la arista elegida para flipar, la borramos y la cambiamos por la verde.

flipe11

–Es chulísimo, Mati –exclamó el pequeño Bentor.

–Muy chulísimo –dijo Ven que ya se había olvidado del fútbol.

–Ya os dije que los flips eran algo muy divertido –les dijo ella –. A mí me encantan por eso y, bueno, porque siempre me recuerdan a Ferran. Pues bien, el juego lo gana el que haga el que haga el último flip posible. Las aristas verdes no se pueden flipar, por eso las pintamos con rotulador, para no poder borrarlas.

Los niños asintieron con la cabeza, Gauss… ¿dónde estaba Gauss? Bueno, sigo.

–Una variante de este juego sería “caza al flip” –siguió Mati –que es como este pero gana el primero que cierre un triángulo con aristas de las verdes.

–Mola –dijo Sal.

–Y por último –anunció Mati –, mi versión favorita que se llama “flipando en colores”. Es como los dos anteriores, pero cada vez que un jugador flipa una arista NEGRA, colorea con su propio color la nueva arista y las que sean negras en el cuadrilátero definido por la arista flipada. El juego acaba cuando no se pueden seguir flipando aristas internas negras y gana el que haya dibujado más aristas en su color. Igual que antes, sólo se pueden flipar las aristas que sean todavía negras. Por ejemplo, juega primero el rojo, flipa una arista negra y pinta de rojo la nueva y el cuadrilátero que la contiene:

flipandocolores

–A continuación –siguió –, el jugador azul elige un cuadrilátero donde flipar, hace el flip,

flipandocolores2

pero solo pinta de azul aquellas aristas que eran negras, las rojas (del primer jugador) no las puede tocar.

flipandocolores3

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola!–gritó Ven –¡Estoy flipando en colores!

–¡Voy a enseñárselo a todos mis amigos cuando vuelva a Santa Cruz de Tenerife! –dijo Bentor entusiasmado.

–¿Podemos jugar ya? –pidió Sal nervioso –¿A flipar en colores?

–¡¡Sí!! –gritaron Ven y Bentor y se sentaron los tres en el suelo.

–Muy bien, chicos –dijo Mati –. Yo voy a buscar a Gauss que hace un rato que no sé dónde está…

Mati_Naukas4_final

FIN

Bueno, amigos, espero que os gusten estos juegos de triangulaciones que me enseñó mi amigo Ferran Hurtado que publicó con otros colegas este trabajo. En él se analiza la conexión de algunos de estos juegos con triangulaciones con otros juegos tales como Kayles. Así mismo, los autores presentan algunas estrategias ganadoras para algunos de los juegos de triangulaciones cuando los puntos están distribuidos en algunas posiciones concretas (posición convexa).

Quiero mandar un saludo especial a nuestro amigo Bentor que nos sigue desde Santa Cruz de Tenerife y con el que nos lo hemos pasado muy bien en esta mateaventura. Gracias por estar ahí, Bentor.

Espero que juguéis mucho y me contéis cuál de todos es vuestro favorito.

¡Hasta pronto!

MATI

Dedicado a mi amigo Ferran del que aprendí mucho de lo poco que sé.

Et trobo a faltar, Ferran.

CLARA GRIMA


14 Comentarios

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Lucía (@debajamadre)Lucía (@debajamadre)

Por fin puedo verlo en pantalla grande :-)
Nos ha encantado. En casa jugábamos con los cuadrados pero hoy hemos hecho la prueba con los triángulos y es mucho más divertido. Gracias :-)

PacoPaco

Me gustan más que aquellos en los que se pintaban aristas en malla cuadrada y se ponía tu inicial.
Que tiempos.

HarjimundHarjimund

Ojalá que todos los niños jugaran juegos como estos, y desarrollaran su mente más allá de la TV, los teléfonos celulares, y otras cosas para embrutecerlos.

Gregorio Sánchez

Magnífica entrada. Algo parecido hacíamos con una hoja cuadriculada. Dos jugadores marcaban un lado del cuadrado y el que lo cerraba, lo marcaba como propio. Ganaba el que más cuadrados conseguía. Este que indicas es más elaborado y con más posibilidades. Un saludo.

Emilio MolinaEmilio Molina

Hay un caso de uso muy importante en modelado gráfico en 3D, sobre todo en lo que se conoce como “low poly” o figuras de bajo poligonaje.
Por ejemplo, un personaje típico que modelara un artista tendría esta pinta:
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...Blender.png
Creado normalmente a base de polígonos de cuatro caras (quads) o en ocasiones especiales, de más de cuatro. Las de cuatro caras se suelen preferir por su “mejor comportamiento” a la hora de aplicarles operaciones como subdivisión y similares. Pero (siempre hay un pero) a bajo nivel, las tarjetas gráficas que dibujan esos polígonos trabajan con triángulos (tris), así que en realidad tenemos algo más como lo de la izquierda:
https://bytebucket.org/thomthom/quad...a8c448bce36

Cuando se crean personajes de baja poligonalización para videojuegos, no es extraño que en vez de quads el modelador use directamente tris, para tratar de usar el mínimo imprescindible de vértices y aristas que enviar a dibujar (lo cual es lo más costoso en dispositivos de baja potencia, y normalmente queremos que los juegos se dibujen unas 30 veces por segundo como mínimo, actualmente ya 60). Normalmente, por comodidad y rapidez, se modelará al principio con quads, y llegado a un punto pasaremos a tris, con la operación inversa a la que describía la imagen anterior. Pero el resultado, al ser automático, a veces nos crea la arista en el lado del quad que no nos interesa: por ejemplo, imaginad un quad que usamos como centro de unas alas de mariposa, con una pinta tal que así
Pues puede que el proceso anterior nos corte el quad en dos tris así , pero lo necesitábamos así para poder “doblar” hacia arriba los lados de las alas y que hubiera un hundimiento en el centro. No sé si me explico, no he encontrado rápido una imagen apropiada. Pues en este caso, los programas de modelado nos permiten hacer esa operación de “cambiar el orden de los tris” de un polígono dado.

También puede venir muy bien a la hora de cambiar la topología de algunas zonas para mejorar el efecto visual de algún modificador aplicado a cosas que no son quads, como decía antes.

Y así es como las matemáticas ayudan a veces a tener unos personajes de videojuegos o de pelis mucho más chulos 😉 (Bueno, en realidad sin las matemáticas no habría ni personajes, ni videojuegos, ni pelis, claro, no es que sólo ayude en cosas como ésta: ¡todo son mates en el mundo virtual!).

Emilio MolinaEmilio Molina

[He metido la pata con el “mayor que” y “menor que” y su intolerancia al html, repito]
” por ejemplo, imaginad un quad que usamos como centro de unas alas de mariposa, con una pinta tal que así”
˂˃
Pues puede que el proceso anterior nos corte el quad en dos tris así
˂-˃
pero lo necesitábamos así
˂|˃

A ver si ahora los dioses de Cobol se muestran más benevolentes conmigo…

Mama de parrulin

Me ha encantado este juego, me parece que tu página se va a convertir en uno de mis pasatiempos favoritos con mi pequeño!
Muchísimas gracias por tu recomendación y haberme animado a conocerte.
Un saludo!

Emilio MolinaEmilio Molina

¡Me alegra verte por aquí! Lo vais a disfrutar de lo lindo :-)
¡Un abrazo a los dos!

Adrián V

Muy muy educativo y didáctico. Muchas gracias por posts como éstos Clara.
Una forma fresca, utilizando la ficción para hacernos entender un concepto a través de un problema que invita a lanzarse sobre él a resolverlo.
Un gran modus operandi, sí señora.
Adrián V.

amcamc

Cosas así me convencen cada vez más de que hace falta un cambio muy profundo en la estructura y contenidos del sistema educativo. Por desgracia eso no pasará…

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