La casilla 57

–Nunca seré astronauta, fijo. –afirmó Ven con vehemencia.

–¿Y eso? Pero si siempre has querido ser astronauta…

Mati_Naukas_5_a

–Pues ya no, ¿viste? Uno siempre tiene derecho a crecer y cambiar de opinión.

–Lo que te pasa, Ven, es que te has asustado con el tráiler de la película del marciano –respondió Sal –. Es normal, da un poco de miedito pensar que te quedas solo en medio de un planeta sin poder conectar con nadie…

–Pues sí, pero eso no pasa en nuestro planeta –Mati acababa de entrar en la habitación –, nuestro planeta es un mundo pequeño y muy bien conectado.

–Bueno, Mati, tan pequeño no es, no te pases –dijo el pequeño Ven.

–En tamaño sí lo es si lo comparamos con el tamaño del universo… –intervino su hermano Sal.

–Efectivamente, pero además –añadió Mati–la teoría del mundo pequeño lo que predice o conjetura es que cualesquiera dos personas en el mundo pueden mandarse entre sí un mensaje sin usar más de 6 intermediarios.

–No me lo creo –protestó el Pelanas.

–Bueno, Ven, no se puede demostrar porque necesitaríamos disponer de todos los datos de todos los humanos del mundo y sus relaciones entre ellos, pero en los experimentos que se han hecho siempre se ha cumplido y eso hace pensar que nuestro mundo está muy conectado –explicó la pelirroja –. En cualquier caso, el problema que tiene nuestro astronauta en Marte es que está aislado, que no está conectado con nadie.

–Me estoy agobiando –dijo Ven –. Me estoy agobiando mucho. ¿Has leído el libro, Mati? ¿Consigue escapar de Marte?

–Sí, he leído el libro –respondió ella y añadió con un guiño–, pero no te lo voy a contar: tendrás que leerte el libro o ir al cine a ver la película.

–Da igual, no lo conseguirá –insistió un angustiado Ven –, ¡es imposible escapar!

Gauss ladró 3 veces en ese momento. Suponemos que por darle dramatismo a la escena y porque siempre tiene que formar parte de cualquier movida. Es un perro raro.

–Se me ocurre una idea, chicos –propuso la gafotas–: para relajarnos un poco y mientras vamos a ver la película os voy a explicar un acertijo que se conoce, precisamente, con ese nombre: escape imposible.

–Sí, por favor –pidió Sal con alegría.

–¿Tiene que ver con quedarse aislado en medio del universo? –preguntó el pequeño.

–No, para nada –dijo Mati –, solo necesitamos un tablero de ajedrez y 64 monedas.

–Voy por el tablero –dijo el gafotas –, trae nuestra hucha, Ven.

Gauss volvió a ladrar para recordarle a la humanidad que él también estaba allí y que también tenía su corazoncito.

–Ya tenemos todos los ingredientes, Mati –dijo Ven ansioso.

–Estupendo. Imaginad que sois apresados por un malvado y sádico personaje. Vuestro maquiavélico carcelero idea un plan para poner a prueba vuestra inteligencia de tal manera que si resolvéis el enigma quedaréis libres los dos y, en otro caso, os dejará encerrados para siempre –les contó Mati misteriosa –. Para ello os convoca a los dos en una sala en la que hay una mesa con un tablero de ajedrez y junto a él un frasco de monedas y os explica lo siguiente:

“Os voy a encerrar a los dos en una celda durante 5 horas. Después sacaré a uno de vosotros a esta misma sala, señalaré una única casilla del tablero de ajedrez, la que yo quiera, será la casilla mágica y a continuación cubriré las casillas del tablero con monedas, una por casilla, como me dé la gana: unas estarán con la cara hacia arriba y otras con la cruz, o tal vez todas cara arriba, o todas cara abajo. Aquel de vosotros que esté conmigo en ese momento, tendrá que cambiar la posición de una de las monedas, una y solo una, para tratar de señalar a su compañero cuál es la casilla mágica. Después, encerraré en una celda distinta al primero que salió, sacaré al segundo y si acierta cuál es la casilla mágica, estaréis libres los dos. En otro caso, os quedaréis aquí, para siempre.”

Y se rió de forma malvada.

MAti_Naukas_5_b

–Vale, gracias, Mati –dijo Ven –. Ahora estoy más agobiado que antes.

–Pero, ¿por qué, Ven? ¿No confías en nuestra inteligencia? –le dijo ella –Vamos a pensar un poco, ya veréis cómo conseguimos escaparnos…

–¡Es imposible, Mati! –interrumpió Ven con los ojos fuera de sus órbitas –¿No lo ves?

–Ven, ¿por qué no dejas que Mati nos lo explique?

–Porque no es posible, Sal, el malo puede poner las monedas cara arriba o cara abajo, como le dé la gana. ¿Cómo vas a señalar una casilla de forma dando la vuelta a una moneda si el otro prisionero no sabe cómo estaban al principio? ¿No ves que es imposible? ¿No lo ves?

–Poco a poco, Ven –intervino Mati –. Pensemos en que el tablero, por ejemplo, solo tiene 2 casillas: una blanca y una negra. Vamos a pensar cómo lo haríamos.

–Vale –aceptó el pequeño –, ya me dirás tú…

–¿De cuántas formas posibles podría colocar las monedas el carcelero en las dos casillas? –les preguntó.

Los niños pensaron un poco, Gauss se rascó la oreja. Finalmente, Sal dijo:

–Solo de 4 formas posibles, Mati.

–Eso es –confirmó la pelirroja –: cara-cara, cara-cruz, cruz-cara y cruz-cruz.

2casillas_0

–Nuestros amigos, los dos prisioneros tendrán 5 horas para diseñar una estrategia –continuó ella –, pero nos sobran más de 4. Veréis, los presos pueden acordar que si el carcelero señala la casilla blanca, haremos el movimiento que sea necesario para que la moneda en la casilla blanca sea una cara.

–Ah, claro, brillante… –dijo Sal.

–Vale, ahora lo veo –añadió Ven –: si en la casilla blanca hay cara, cambiamos la moneda en la casilla negra que nos da igual y si en la casilla blanca hay cruz, cambiamos esa casilla.

–Ajá, eso es, chicos. Depende de lo que haya en la casilla blanca, cambiamos lo que haga falta para dejar una cara en esa casilla, así:

2casillas_B

–¡Lo tengo! –gritó de pronto el pequeño –. Y si el carcelero señala como mágica la casilla negra lo que tenemos que hacer es dejar una cruz en la casilla blanca para indicar que no es esa la elegida.

–¡Muy bien, Ven! –dijo Mati. Gauss gruñó celosillo –Estas serían las posibilidades:

2casillas_N

–Qué chulo, Mati –dijo el gafotas –. Pero, ¿cómo lo hacemos cuando son las 64 casillas del tablero de ajedrez?

–¡Eso, eso! –insistió Ven.

–Pues de una forma brillante que os voy a contar –empezó a decir ella –, codificando cada casilla usando el sistema binario, ¿os acordáis?

–Sí, claro –dijeron al unísono.

–Pero os lo voy a explicar con un tablero 4 x 4, en lugar de un tablero 8 x 8, simplemente porque son menos cuentas, pero el procedimiento es el mismo, ¿os parece bien?

–¡Vale! –volvieron a decir a la vez.

–Allá vamos. Si el tablero de nuestro carcelero es 4 x 4, vamos a numerar sus casillas, son 16, del 0 al 15, comenzando por la que esté frente a nosotros a la derecha.

–¿Y si el carcelero mueve el tablero cuando salga el primer prisionero y antes de entrar el segundo? –preguntó Ven despavorido.

–No, no lo hará –lo tranquilizó ella –, el tablero está sobre una mesa muy, muy pesada, no se puede girar. Así que convenimos por donde empezamos a numerar nuestras casillas desde el 0 hasta el 15.

tablero_1

–Ahora, escribimos esos nombres en binario –les dijo –, ¿recordáis cómo?

–Sí –dijo el gafotas –, se trata de ir dividiendo por 2, sin decimales, mientras se pueda y quedarse con el último cociente y con los restos, desde abajo hacia arriba. Por ejemplo, si queremos escribir 13 en binario hacemos esto:

binario_0

–Muy bien, Sal –dijo Mati orgullosa –, veo que recuerdas muy bien lo que os conté.

–Yo también me acordaba, Mati –dijo Ven –, pero esto solo sirve para niños que sepan dividir…

–Bueno, a los que no saben, yo les enseño con billetes –respondió ella guiñando un ojo.

–¿Con billetes? ¿Cómo? –preguntó el pequeño.

–Les doy billetes de 1, 2, 4, 8, 16 euros, todos con una cantidad que sea una potencia de 2 y solo uno de cada clase.

billetes

–A continuación, les digo –continuó Mati –que compren, por ejemplo, algo que cueste 27 y que me escriban en esta tabla cuántos billetes de cada tipo han usado:

tabla_0

–Pues… para pagar 27 euros –dijo Ven –necesita uno de 16, otro de 8, uno de 2 y otro de 1.

–Eso es –afirmó ella –. Lo ponemos en la tabla:

tabla_1

–Y ya tenemos que 27 se escribe en binario 11011 –concluyó la pelirroja.

–¡Qué chulo, Mati! –dijo Sal –Así pueden aprender binario desde muy pequeños.

–Efectivamente –dijo ella –, y se lo pasan bomba.

–Sigue con lo de los prisioneros, por favor, Mati –le pidió ansioso Ven.

–Es verdad, sigamos. Lo que hacemos a continuación es escribir los números de nuestro tablero en binario, ahora que ya sabemos hacerlo perfectamente:

tablero_BIN

–Ahora, imaginemos que nuestro carcelero ha llamado a Sal y en su presencia elige como casilla mágica, por ejemplo, la 9. Es decir, la 1001. Esa es la información que Sal tiene que transmitirte a ti, Ven: 1001.

eleccion_1

–A continuación, el carcelero colocará las monedas como le apetezca sobre el tablero, por ejemplo así (he puesto las monedas que están cara arriba más grandes porque son las que vamos a contar):

eleccion_1_5

–¿Y ahora qué, Mati? ¿Qué hará Sal para que yo sepa que la casilla mágica es la 9 o la 1001? ¡Solo puede cambiar una moneda! –Ven estaba cada vez más nervioso.

–Espera, Ven –lo tranquilizó ella –. Ahora vamos a contar las caras que vemos en distintos grupos de este tablero. Empezamos contando las caras que están sobre aquellas casillas que tienen un 1 en su última cifra en binario, las que marcamos aquí: tablero_2_0

–Hay 5 caras en esas dos columnas, Mati –dijo el gafotas.

–Cuando haya un número impar de caras, lo contaremos como 1 y cuando haya un número par de caras, lo contamos como 0 –continuó ella –. Así que a esta tabla le corresponde un 1. Veamos cuántas caras hay en las casillas que tienen un 1 en la penúltima cifra de su expresión en binario, es decir, en estas columnas:

tablero_2_1

–¡Hay 3! –dijo Ven –Le ponemos otro 1.

–Eso es –confirmó ella –. Y ahora contamos cuántas caras hay en las casillas que tienen un 1 en su antepenúltima cifra de su expresión en binario, las que están en estas filas:

tablero_2_2

–Son 4 –dijo Sal –, le ponemos un 0, ¿no?

–Naturalmente –respondió Mati –. Y por último, contamos cuántas caras hay en las casillas que tienen un 1 en su expresión en binario en la 4 cifra contando desde el final, o sea, las de las 2 últimas filas:

tablero_2_3

–También hay 4 así que otro 0 –concluyó Ven.

–Eso es –continuó la gafotas –. Lo que hemos hecho es codificar con un número las posiciones de las caras y las cruces que nuestro carcelero ha colocado, a su antojo, sobre nuestro tablero. Esta distribución de monedas será para nosotros la 0011 (las ponemos en este orden):

codigo_1

–¿Y ahora qué? –preguntó Ven con ansias.

–Relájate, Ven –siguió la pelirroja –. Ya sabemos que cada distribución de caras y cruces sobre el tablero se puede codificar con un número en binario. Si Sal quiere que tú sepas que la casilla mágica es la 1001, la 9, lo que hará es conseguir que la distribución de caras y cruces sobre el tablero sea tal que su codificación en binario sea 1001.

–¿¿Moviendo solo una moneda?? Vamos, Mati, es imposible.

–Deja a Mati que termine, Ven, así no avanzamos.

El pequeño arrugó la boca con resignación. Gauss no hizo nada, yo creo que estaba tan nervioso como el Pelanas.

–Ya veréis, chicos –continuó ella –, es un idea brillante. Vamos a usar para ello un operador lógico, el operador de disyunción exclusiva, que se conoce como XOR.

–Buf, ni idea… –protestó el pequeño.

–¡Ven! –le regañó el gafotas.

–El operador XOR es un operador que considera que la suma de dos hechos es verdadera solo si lo es una de ellas. Es decir, si una es falsa y la otra es verdadera. Pero si las dos son o verdaderas o falsas, el operador concluye que la suma de las 2 es falsa. Lo vemos en esta tablita donde la V significa verdadero y la F significa falso:

XOR_1

–Pues, bien –continuó Mati–, vamos a aplicar este operador a los 0 y a los 1, como si el 1 fuera la V y el 0 fuese la F:

XOR_2

–Lo que haremos a continuación, chicos, es ‘sumar’ con este criterio el número de la casilla mágica que eligió el carcelero (la 1001) y el número de la distribución de caras (el 0011), así:

XOR_3

–¿¿Y ahora?? –Ven no pudo estar más tiempo callado.

–Ahora ya está, Ven –respondió Mati –, esa es la moneda a la que Sal le tiene que dar la vuelta: a la moneda que está en la casilla 1010.

–Que es la casilla número 10 –añadió el gafotas que ya lo estaba intuyendo.

–Efectivamente, Sal –corroboró la pelirroja –, esa es la moneda que hay que cambiar.

–¿Y qué pasa si Sal cambia esa, Mati?

–Vamos a verlo, ¿te apetece?

–¡Claro!

–¿Qué tenemos en la casilla 1010 antes de que Sal haga nada?

–¡Cruz! –gritó el pequeño.

XOR_4

–Sal la volteará y en esa posición habrá una cara –dijo Mati.

XOR_5

–Ahora vamos a calcular el código de esta distribución de caras y cruces como hemos hecho antes: contando las caras que hay en las casillas coloreadas y escribiendo 0 si hay un número par o 1 si hay un número impar de caras:

final

–¡Toma, toma, toma! –gritó Ven entusiasmado –¡Es el número de la casilla mágica! ¡Cómo mola!

–¡Es fantástico, Mati! –dijo Sal con los ojos abiertos como platos mientras sus gafotas resbalaban a la punta de su naricilla.

Gauss ladró con entusiasmo. No sabemos sí porque lo había entendido todo o porque ya había terminado la explicación de Mati y podrían salir de paseo. Mati les guiñó un ojo con esa sonrisa que siempre le sale cuando ve a sus amiguitos emocionados con lo que les cuenta.

–¿Qué? ¿Salimos a dar un paseo?

–No, no –dijo Ven — Vamos a probarlo con el tablero completo del ajedrez. ¿Cómo sería si elijo la casilla 57?

–Bueno –dijo Mati –, hay que empezar por escribir 57 en binario por ejemplo rellenando esta tabla:

tabla32

–Pero mejor se lo dejamos propuesto a nuestros amigos –añadió la gafotas –y nos vamos a dar un paseo que creo que Gauss se está enfadando un poco.

Mati_naukas_5_c

FIN

Espero que os guste este nuevo reto o acertijo. A mí me encantó cuando lo descubrí aquí. Se acercan días de vacaciones y reuniones familiares, ingredientes perfectos para que sorprendas a todos con este reto del escape imposible.

Hasta pronto.

Mati.


14 Comentarios

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Samuel C RSamuel C R

Clara Grima nunca falla. Ha sido súper interesante leer este post y será muy divertido enseñárselo a los demás. Sobre todo a los más peques. Todos queremos una Mayo en nuestras vidas. Por suerte, colabora en Naukas.

@SamuelCRguez

Emilio MolinaEmilio Molina

¡Chulísimo! Me alegra volver a ver movimiento en el Matiuniverso. Mención especial al delicioso trabajo de Raquel. ¡Me encanta ese Gauss macarra!

UnSeñorUnSeñor

Me parece muy bien todo esto de verdad lo digo, pero tengo muchas dudas sobre si un porcentaje alto de chavales entendería esto, bueno ya no digo entendería porque la lógica está ahí, quizá me refiera al nivel de atención que requiere este juego, a mí se me ha hecho largo y tedioso y los gráficos poco sintéticos de las monedas y tablero no han ayudado a concentrarme, dicho esto está claro que la plasticidad de mi cerebro no es la misma que la de un niño y que estoy viciado por las vicisitudes de un adulto.

Aún así y viendo a la mayoría de chavales hoy día, no creo que tengan el nivel de atención para llegar hasta el final. Realmente me gustaría que fuese comprobado en una clase actual.

Y como última reflexión si esto lo hubiese explicado en su día un profesor en mi clase, juro que lo habrían pillado 5 de 40 niños máximo, concretamente los que no se hubieran aburrido a los dos minutos. Supongo que eso diferencia a los matemáticos del resto.

Clara Grima

Muchas gracias por el comentario. La idea de este blog no es, solamente, que un chico se siente a leerlo y lo entienda- Se trata, más bien, de que pueda ser entendido por profesores o tutores de los más pequeños y se lo puedan explicar. En cualquier caso, yo voy a explicarlo en una clase de 3º de ESO y le contaré el resultado. Francamente, si un niño se aburre a los 2 minutos de que le estén costando este reto es que no se lo están contando bien 😉

MaxMax

Donde estaba esto cuando estudiaba el sistema binario para programadores…hacen falta profes con mejores recursos explicativos.
Lo habría entendido mejor.
Muy bueno

Ramón CorominasRamón Corominas

“Aquel de vosotros que esté conmigo en ese momento, tendrá que cambiar la posición de una de las monedas, una y solo una”

Bueno, Ven, ya ves que con un poco de paciencia puedes salir del paso y frustrar los planes del malvado carcelero; aunque no sé si te has dado cuenta de que, con las prisas, ha descuidado mucho su precisión en el uso del lenguaje…

Vamos, que te basta con coger la moneda de la casilla mágica y apartarla a un ladito del tablero para señalarle a tu compi cuál es la casilla mágica. Menos mal que dijo “cambiar de posición” y no “darle la vuelta”, porque si no sí que habría sido más trabajoso el tema. 😉

LluisLluis

Me ha encantado. Parece imposible de solucionar. Personalmente, ni en toda la eternidad hubiera encontrado la solución. Cuando mis hijos sean mas grandes se lo voy enseñar. Lo que no entiendo es cuando aplicamos el operador XOR. Que hace exactamente?

Hugo Cesar Chilcon MontalvoHugo Cesar Chilcon Montalvo

Me pareció realmente interesante, y muy didáctico, creo que la esencia de esta historia esta en la facilidad y la sutileza con que manejan los conceptos matemáticos y los gráficos verdaderamente adorables y comprensibles; realmente fue agradable ir leyendo párrafo tras párrafo e ir armando el rompecabezas en mi cabeza y recordando alguna que otra cosa de mi matemática de la época escolar. Gracias

Txema M.Txema M.

Lamento muchísimo no haber conocido antes de jubilarme el truquillo de los billetes, pues fui maestro de primaria. Es el mismo sistema que se utiliza para realizar las pesadas, con la diferencia de que algunas de las pesas aparecen repetidas. No sería nada malo que fueran todas potencias de 2, la utilidad sería la misma y los conocimientos se interrelacionarían.
Muy interesante.

JoséJosé

Maravilloso, me ha encantado, y muy bien ambientado. Muchísimas gracias, lo pondré en práctica 😉

SalvadorSalvador

Muy interesante. Si tenéis a chavales a cargo, os recomiendo también la paradoja llamada monty hall. Saludos

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