—¿Habéis visto el xumet de Pepita?

¿Xumet? ¿Qué es xumet, Ula? —preguntó Ven.

Xumet es chupete, en catalán —contestó Ot —Lo hemos cogido para una misión de detectives muy importante, Ula, luego te lo devolveremos.

—No, lo quiero ahora, ¡Pepita está llorando!

—Cántale una canción, Ula, seguro que se calla, mientras los intrépidos detectives Ot y Ven descubren dónde he escondido el chumet —añadió Sal mientras acariciaba el pelo de la pequeña.

—No es chumet, es xumet, y ¡lo quiero ahora!

Ot y Ula habían venido a pasar unos días en casa de nuestros amigos Sal y Ven. Aquella tarde habían decidido jugar a los detectives. Sal escondería un objeto y dejaría pistas en clave que Ot y Ven deberían seguir para encontrarlo. Habían decidido esconder el chupete de Pepita, la muñeca de Ula porque así sería un caso de extrema necesidad descifrar las claves. Pero a ella, a Ula, no acababa de convencerle la idea. A Pepita tampoco. Ni a Gauss.

—Pero, Ula, estamos jugando y tu papel es el más importante —continuó diciendo Sal —Tienes que pedir a los detectives que encuentren pronto el chupete, con cara de mucha pena…

—Pero, bueno. Cuántos niños hay hoy en casa… ¡Qué bien! —era Mati quien acababa de llegar.

—¡Hola, Mati! —el pequeño Ven saltó de alegría al ver a la pelirroja —Son Ot y Ula, nuestros amigos de Barcelona.

Ula y Ot se acercaron a Mati con curiosidad, ya habían oído hablar de ella.

—¡Hola!—dijeron Ot y su hermanita al unísono.

—Hola, encantada. Hoy podremos jugar todos juntos, ¡qué bien! —dijo la gafotas.

—¿Sabes jugar a los detectives y a los mensajes secretos, Mati? —preguntó Ven poco convencido.

—Pues, claro, soy matemática, ¿recuerdas? —contestó Mati mientras le guiñaba un ojo.

—Y eso, ¿qué tiene que ver? —la curiosidad de Sal ya se había despertado.

—Pues, tiene que ver, en tanto y en cuanto, los métodos de codificación de mensajes están hechos con matemáticas, Sal.

—¡Por fa, por fa, por fa! ¿Nos enseñas? —Ven suplicaba con su naricilla arrugada.

—Claro que sí, con mucho gusto —contestó la pelirroja con una graciosa reverencia.

—¡Cómo mola! —el pequeño Ot daba saltitos de emoción.

Los tres niños se sentaron en el suelo, mientras que Ula y Gauss decidieron buscar el chupete sin ayuda de códigos ni historias. Mati comenzó a hablar:

—Existen muchas técnicas para codificar mensajes, pero, sin duda, la más simple y conocida es la del código de César.

—Yo tengo un amigo que se llama así —dijo Ot con alegría.

—¿Cómo se llama tu amigo? ¿Código? —respondió Ven con su cara más pillina.

—Callaos ya, que Mati está explicando —protestó Sal mirando por encima de sus gafitas.

—Veréis, se trata de deslizar las letras en el abecedario un número fijo de posiciones —continuó Mati.

—¡Yo me sé el abecedario! —intervino Ot —A, b, c, d…

—Sí, sí, Ot, vamos a escuchar a Mati —dijo Sal —¿Qué significa deslizar las letras, Mati?

—Vamos a verlo en la pizarra. Escribimos el alfabeto, ¿me lo vais diciendo?

Los niños fueron cantando las letras del abecedario mientras Mati lo escribía en la pizarra.

—Ahora, elegid un número del 1 al 26.

—¡π! —Ven no pudo contener la tentación.

—¡Ven! —el gafotas saltó enseguida —¡Un número natural!

—¡Seis! —contestó alegremente Ot, ajeno a la discusión entre los dos hermanos.

—Muy bien, vamos a desplazar el abecedario 6 casillas a la derecha —dijo Mati.

—Y las seis letras del final, que se han salido de la fila, las colocamos al principio. Pues bien, cambiaremos cada letra de arriba en el mensaje que queremos cifrar, por la que le corresponde en la tabla de abajo. Pintamos unas flechitas para que nos sirvan de guía.

—¿Qué mensaje queréis que cifremos?

Los tres niños se quedaron pensando unos segundos hasta que Ven se decidió:

—Gauss es el perro más listo de todos los perros.

—Eso, eso —corroboró Ot.

—Estupendo, es un mensaje muy bueno y una gran verdad —Mati les guiñó un ojo. Gauss hinchó su pecho.

—Pues bien, chicos, vamos a ir cambiando letra a letra de este mensaje. Empezamos con la G, que si miramos las flechitas vemos que se transforma en la A.

—La siguiente letra que tenemos que cambiar es la A, ¿por cuál la cambiamos?

—¡Por la U! —respondió Sal inmediatamente.

—Es el turno de la U —dijo la pelirroja.

—¡Se cambia por la O! —dijo Ven entusiasmado.

Y así, y poco a poco, los 3 niños fueron ayudando a Mati a cambiar todas las letras del mensaje original por las correspondientes en la tabla de abajo, según las flechitas amarillas.

Finalmente, consiguieron cifrarlo.

—¡Toma, toma, toma! ¡Eso no lo puede leer nadie! —el pequeño Ven miraba la pizarra con los ojos desorbitados.

—De eso se trata, ¿no? De que no se entienda —contestó la gafotas.

—¿Y cómo sabrán Ot y Ven descifrarlo, Mati? —preguntó Sal preocupado.

—Porque tú les habrás dicho, sin que nadie se entere, que está cifrado con el código de César y el 6. Ellos cambiarán las letras al revés, usando las flechitas en sentido contrario, y lo descubrirán.

—¿Veis? —siguió explicando Mati —Si miramos ahora las flechas en sentido contrario, la A la cambiamos por la G, la U por la A… y descifraríamos el mensaje.

—Y si no saben el número, nunca podrían descifrarlo, ¿es eso? —insistió el gafotas.

—No, eso no es así. Si alguien encuentra el mensaje y sabe que se ha cifrado con el código de César, basta con que pruebe todas las posibilidades, hay sólo 26, para descifrarlo.

—¡Ala! Eso son más de 17 mensajes secretos posibles

—Aunque eso sí, hay estrategias más inteligentes que ésa, queréis que os enseñe una.

—¡Sí! —gritaron los 3 al unísono. Ula y Gauss, que buscaban el chupete en la mochila de Ven, dieron un respingo. Después siguieron a lo suyo con caras detectivescas.

—Si yo os pongo este mensaje:

—Y vosotros sospecháis que se ha cifrado con el código de César, aunque no sepáis cuántas casillas hemos desplazado el abecedario, podríais intentar descifrarlo, como os he dicho antes, deslizando primero una casilla, luego dos, tres… y así hasta 26, ¿verdad?

Los tres amiguitos cabecearon fuertemente asintiendo.

—Pero sería largo y tedioso, aunque seguro que acabaríais descubriendo el mensaje secreto. Vamos a intentar hacerlo con alguna estrategia más inteligente. Para ello vamos a contar cuántas veces aparece cada letra en el mensaje secreto y lo escribimos en una tabla.

Mati invitó con una sonrisa a los tres niños a contar las letras, mientras que Sal rellenaba la tabla.

—¡Gana la B que está 4 veces! —dijo el pequeño Ven.

—Bueno, este mensaje que os he puesto es un poco corto, cuanto más largo sea el mensaje, mejor funciona esta estrategia, pero servirá. A continuación, vamos a ver en una tabla de frecuencias relativas cuáles son las letras más usadas en español.

—¡Toma! En Mates estamos estudiando ahora las frecuencias —interrumpió Sal con entusiasmo.

—¿Cuáles son las letras que más se usan en español? —preguntó Mati.

—Pues, la A y la E, ¿no? —dijo el gafotas.

—Muy bien, pues como en el mensaje secreto la que más ha aparecido es la B, que apareció 4 veces, podríamos sospechar que esa B es o una A o una E.

—Yo diría que es una A… —dijo Ot con ojos de detective.

—Sí, yo también… —Ven se acariciaba la barbilla en actitud reflexiva.

—Vamos a ver si es la A, ¿vale? —propuso la pelirroja —Si así fuera, la tabla de correspondencias entre letras sería ésta, ponemos la B debajo de la A y completamos según el orden del abecedario.

—Ahora escribimos nuestro mensaje cifrado y deshacemos el cambio, usando las flechas en sentido contrario. Así, la primera letra, la Q la cambio por la P, la segunda, la B, la cambio por la A, la K por la J, la D por la C, la M por la L

—¿¿Qué pone ahí, Mati?? —preguntó Ven con la cara arrugada como una pasa.

—Nada, absolutamente nada, Ven. Nos hemos equivocado. La B no está sustituyendo a la A.

—¡Lo sabía! —afirmó Sal —Siempre sospeché que la B sustituía a la E

Los otros dos niños lo miraron con un poquito de rabia.

—Vamos a ver qué pasa si ponemos la B debajo de la E y completamos el abecedario. Escribimos de nuevo el mensaje secreto y empezamos a sustituir las letras de éste, usando las flechas en sentido contrario. La Q será la T, la B será la E, la K será la N, la D será la G, la M será la O

—¡Toma, toma, toma! ¡Tengo! ¡Ahora sí! —el pequeño Ven abrazó a Ot con tanto ímpetu que éste arrancó a toser. Ula cayó sentada en el suelo con el susto, suerte que pilló a Gauss debajo.

—Sí, Ven —dijo la gafotas cuando la situación se normalizó —Parece que estamos en el buen camino. Vamos a terminarlo.

Sal, Ven y Ot fueron recitando una a una las letras que correspondían a cada una de las del mensaje cifrado hasta que terminaron de descifrarlo.

—¡Tengo ganas de comer fresas! —leyó Sal con alegría.

—¡Cómo mola! —Ot estaba alucinando también.

—Exacto —concluyó Mati —Sé que han venido vuestros abuelos y os han traído fresas, ¿a qué sí?

—¡Sí, sí, sí! —respondió Ven —¡Vamos a merendar fresas!

—Pero, Mati, este código es muy fácil de descrifrar…—protestó el gafotas.

—Ya os dije que era el más simple, era el que usaba Julio César para comunicarse con sus generales. Pero otro día, te contaré algunos más elaborados, ¿vale? Ahora me muero por probar esas fresas…

En ese momento, desde un rincón del salón, una vocecita gritó:

Mireu, ja ho he trobat! Sóc la millor detectiu! (Mirad, ¡lo encontré! ¡Soy la mejor detective)

FIN

Pues sí, como ya os contó Óscar Alarcia en el editorial de la semana pasada, hemos ganado el premio al Mejor Blog de 2011 en los Premios 20Blogs

Sal, Ven, Gauss y yo misma, estamos muy, muy emocionados con este galardón y no sólo por lo que el premio significa sino por el inmenso cariño recibido en forma de felicitaciones que viene a completar nuestro mejor tesoro, el de vuestros comentarios en este rincón de Pequeño Libro de Notas

Y, por lo que nos han contado, Raquel y Clara también estaban bastante emocionadas…

Gracias a todos los que seguís nuestras mateaventuras, muchísimas gracias, porque sois los que nos llenáis de energía e ilusión para seguir apareciendo por aquí cada quince días.

Sal, Ven y Mati

¡Guauuu, guau, guaaaauuu, guaau, guaguaguau!

Gauss

—Déjame mirar a mí un poco, Sal.

—Espera que estoy buscando Orion.

—¿Cuál es Orion?

—La que parece un gigante.

—Yo no veo ningún gigante, Sal —aceptó Ven con tristeza mientras miraba con sus ojitos arrugados al cielo.

—Bueno, exactamente, no es un gigante, no creas. Mira, te la dibujo para que veas cómo es, la vi en nuestro libro de astronomía.

—¡Toma, toma, toma! ¡Se parece a Deoxys!

—¡Es verdad, Ven! Además Deoxys es un Pokemon legendario de los más poderosos y Orion era un gigante.

—¿Un gigante que vive en el cielo?

—Ven, es una leyenda, cosas de la mitología, ya sabes. No existen los gigantes, ni en el cielo, ni en la Tierra ni en Urano —dijo Sal sonriendo.

—¿Y por qué las estrellas dibujan un gigante en el cielo?

—Bueno, bueno… —Mati acababa de entrar — Las estrellas no dibujan nada en el cielo, ¿eh?. Somos nosotros, los humanos, los que tratamos de identificar formas en ellas.

—¡Hola Mati! —saludó el pequeño a la pelirroja.

—¿Cómo están mis astrónomos favoritos?

—¿Qué significan las constelaciones, Mati? —preguntó el gafotas.

—Bueno, no significan nada, aunque se han usado para orientarse desde hace mucho tiempo. Pero no es más que una muestra de la necesidad humana de encontrar patrones en el caos.

Los dos niños la miraron muy serios. Mati continuó.

—Lo que digo es que son figuras imaginarias creadas con la mente, agrupando a estrellas brillantes.

—¿Cuántas constelaciones hay , Mati?

—Ochenta y ocho, según la Unión Astronómica Internacional.

—¡Ala! —Ven estaba sorprendido.

—¿Y para qué quieren encontrar formas en las estrellas los hombres, Mati? —siguió preguntando Sal.

—Pues porque al hombre, desde siempre, le ha gustado dar nombre y clasificar las cosas. ¿Sabéis? Dos matemáticos muy famosos, Ramsey y Erdös, sostenían que el desorden completo es imposible.

—Porque no han visto mi cajón de los cromos… —dijo Ven con una sonrisa pícara.

Mati sonrió, Sal siguió pensando.

—Según estos dos matemáticos, cualquier estructura por muy desordenada y caótica que nos parezca, esconde alguna forma más pequeña, ordenada.

—No entiendo, Mati —dijo Sal, muy serio.

—Por ejemplo, pensad en el cielo estrellado —continuó la gafotas —¿cuántas estrellas necesitáis agrupar para encontrar un cuadrilátero, un polígono con cuatro lados?

Mati les mostró una pizarra llena de estrellitas. Los niños se quedaron mirando y dibujaron dos cuadriláteros, uno cada uno.

—¡Qué fácil, Mati! Siempre que elijas 4 estrellas, puedes dibujar un cuadrilátero —dijo el pequeño Ven con orgullo.

—Efectivamente, Ven. Pero me gusta mucho los cuadriláteros que habéis dibujado, porque me sirven para modificar un poco la pregunta. Fijaos en vuestras constelaciones de 4 estrellas, vamos a colorear el interior del cuadrilátero.

—El cuadrilátero azul es un convexo, mientras que el verde no lo es —dijo Mati.

—¿Con beso? ¿Qué es eso? ¿Enamorado? —preguntó Ven muy sorprendido, Gauss se quedó esperando la respuesta de la pelirroja.

—No, cielo, convexo, todo junto, con v y con x.

—¿Qué es convexo, Mati? —quiso saber Sal.

—Un polígono es convexo si al elegir dos puntos cualesquiera dentro de él, se puede pintar el segmento que los une, sin que éste, el segmento, se salga del polígono. Fijaos en vuestros polígonos, en el azul, cualquier pareja de puntos se une dentro del área azul, mientras que en el verde, puedo escoger dos puntos que no se pueden unir por dentro del área del polígono.

—Ah, claro. Entonces el azul es convexo y el verde, no —concluyó Ven.

—Muy bien, ahora la pregunta es la siguiente, ¿cuántas estrellas debemos seleccionar en el cielo para asegurar que usando líneas rectas uniéndolas por parejas, podemos dibujar un cuadrilátero convexo? Ya no vale la respuesta de 4, porque las 4 estrellas de la constelación verde no sirven para dibujar un cuadrilátero convexo…

Los niños se quedaron pensando…

—No sé, Mati, pueden estar tan desordenadas las estrellas… —aceptó Sal con resignación.

—Para simplificar la pregunta, vamos a suponer que nunca hay más de 2 estrellas en la misma recta, o sea, que en la recta que une dos estrellas, no hay nunca otra estrella diferente, ¿vale?

—¡Ni idea! —bufó Ven, mientras Sal seguía mirando la pizarra estrellada y Gauss simulaba hacer lo mismo.

—Pues, sólo 5, con 5 siempre sale —anunció Mati.

—¿Estén como estén las estrellas, Mati? —preguntó Sal mientras sus gafotas resbalaban por su naricilla.

—Estén como estén, Sal. Vamos a verlo en la pizarra.

Los niños y Gauss se sentaron enseguida en el suelo.

— Imaginaos que en vez de estrellas, son 5 puntos en un papel, y que en cada punto, colocamos una puntilla. Ahora, soltamos una goma elástica alrededor de los puntos, y nos fijamos en la forma que adopta esa goma alrededor de las puntillas. ¿Qué forma adoptará esa gomilla?

—¡Un pentágono! —gritó Ven con su entusiasmo habitual.

—O un cuadrilátero con una puntilla en el centro…—dijo, pensativo, Sal.

—¿Alguna otra posibilidad, chicos?

—¡Sí! Un triángulo con dos puntillas dentro —terminó de decir el pequeño Ven.

— Efectivamente, muchachos. Sólo hay tres posibilidades: o un triángulo, un cuadrilátero convexo, o un pentágono, también convexo.

—¡¿Por qué sabes que serán convexos?! —Sal preguntó con pasión.

—Pues, porque lo que estamos haciendo con la goma es dibujar la envolvente convexa de los 5 puntos, y siempre sale convexa. Creedme —Mati les guiñó un ojo.

Mati dibujó en su pizarra las tres posibilidades:

—Pues bien, en cualquiera de estas 3 circunstancias, es posible dibujar un cuadrilátero convexo. En el caso en el que la gomilla adopte la forma de un triángulo, basta con tomar los dos puntos internos al triángulo y dibujar la recta que pasa por ellos (la que está azul en el dibujo). Ahora, miramos en qué lado de la recta azul han quedado dos vértices del triángulo, en el otro lado, sólo quedará uno. Ya está, con esos dos vértices del triángulo y los dos puntos interiores, ya tenemos un cuadrilátero convexo.

—¡Qué chulada, Mati! —el pequeño Ven estaba entusiasmado.

—Sí, Mati, es increíble —apostilló el gafotas con una sonrisa.

—Pues este resultado de combinatoria, tiene además una historia muy bonita asociada.

—¿Nos la cuentas?

—¡Claro! Este problema lo resolvieron Esther Klein y George Szekeres, dos matemáticos húngaros, que a partir de este trabajo, se enamoraron y se casaron. Por eso, Paul Erdös le llamó El Problema del Final Feliz. Y así se le conoce.

—¡Oh, qué bonito es el amor! —Ven formó un corazón con sus bracitos por encima de su cabeza.

Gauss suspiró. Sal siguió pensando.

—Entonces, Mati, ¿con 6 puntos siempre sale un pentágono? —le preguntó de gafotas a gafotas.

—No, para asegurar un pentágono convexo necesitamos 9 puntos.

—¿Seguro? —siguió preguntando Sal mirando por encima de sus gafas.

—Seguro, Sal. La demostración de ese hecho es un pelín complicada, pero, mira, un ejemplo de 8 puntos sin ningún pentágono convexo.

—¿Y para un hexágono convexo, Mati? —preguntó Ven excitado.

—Para asegurar un hexágono convexo, se necesitan 17 puntos. Y esto lo probó Szekeres con otro colega, probando, con ayuda de ordenadores, ¡todas las posibles configuraciones de 17 puntos!

—Wow… —el gafotas estaba asombrado y contento.

—Pues sí, este pequeñito problema, el del Final Feliz, y sus consecuencias, es uno de los primeros dentro de la teoría de Ramsey, el amigo de Erdös que no creía en el desorden absoluto — Mati les guiñó un ojo — Ah, por cierto, os voy a contar un problema de Ramsey muy sencillito, el problema de la fiesta.

—¡Mola! —dijo Ven, mientras achuchaba a Gauss.

—Supongamos que en una fiesta, 6 personas son asignadas a sentarse en una mesa. Esas personas, entre ellas, o bien no se han visto nunca, o bien se han visto alguna vez. Pues, Ramsey asegura que en esa situación, o hay tres personas que se han visto mutuamente antes (cada persona de las 3 ha visto antes a las otras 2) o hay tres personas que no se habían visto nunca entre ellos.

—¿Siempre, Mati? —preguntó Sal.

—Siempre, Sal ¿Queréis que os lo demuestre?

—¡Sí! —gritaron al unísono los dos hermanos.

—Pues para ello necesitaremos colorear un grafo, ¿os suena?

—¿Claro! Como en el Teorema de los 4 colores —Ven respondió con alegría.

—Exacto, sólo que hoy vamos a colorear las aristas que unen los vértices usando sólo 2 colores. Vamos a dibujar un grafo con 6 vértices, cada uno representa a uno de los invitados a la mesa. Pues bien, si dos invitados se han visto alguna vez, la arista que los une será amarilla, y si no se han visto nunca, será verde, ¿vale? Un ejemplo sería éste, pero el número de configuraciones posibles es 32768 y no queremos dibujarlas todas…

—Pues, bien, chicos. Ya veréis. Elegimos un invitado al azar, por ejemplo, el 1. Del vértice 1 saldrán 5 aristas, una por cada uno de los 5 restantes invitados, que estarán coloreadas con amarillo o verde. Pues bien, o tiene por lo menos 3 amarillas, o por lo menos 3 verdes, porque si no, no sumarían 5 entre los dos colores.

—¿Cómo?

—Sí, Ven, si tiene como máximo 2 verdes y 2 amarillas, no tendría 5, es imposible.

—¡Toma, claro, qué tontería! —Ven se rascó el pelo.

—Esa tontería se conoce como el principio del palomar

—¿¿Principio del palomar?? —preguntó el pequeño con la nariz arrugada.

—Sí, imagina que las aristas que salen del vértice son palomas y que tenemos que guardarlas en 2 cajas, una amarilla y otra verde. En ese caso, seguro que en una de las cajas hay 3 palomas —Mati sonrió al pequeño.

—Supongamos que, por ejemplo, en el vértice 1, hay cuatro verdes, o sea que el invitado 1, no ha visto a ninguna de esas cuatro personas nunca antes de la fiesta. Sólo necesitamos fijarnos en 3 de esos 4 invitados unidos con verde al 1 para resolver el problema.

—En nuestro ejemplo, hemos elegido a 2, 4 y 6 como vecinos verdes, desconocidos, del 1. Si alguna de las aristas 2-4, 4-6 o 6-2 es verde, hemos terminado. Porque tendríamos un triángulo formado por aristas verdes o, lo que es lo mismo, tres personas que no se habían visto mutuamente antes de las fiesta.

—Pero si ninguna de esas 3 aristas es verde, es porque las tres son amarillas…

—¡Y tenemos un triángulo amarillo, o sea, 3 personas que se conocían mutuamente antes de la fiesta! —Sal saltó de alegría mientras contaba su conclusión. Ven lo abrazó.

—¡Efectivamente! ¡Muy bien, chicos!

—Bueno, lo ha resuelto, Sal, pero yo también estoy contento —respondió el pequeño.

—¡Qué problemas tan bonitos, Mati! ¡Y qué fáciles! —el gafotas seguía alucinando,

—Bueno, bueno…Los problemas de Ramsey no son, ni mucho menos, fáciles. De hecho, el propio Erdös decía que algunos de ellos eran tan complicados que en el caso hipotético de que tuviésemos que resolverlos para evitar un ataque de alienígenas, sería mejor tratar de defenderse del ataque.

—Mati, no existen los alienígenas…—regañó cariñosamente Ven.

—Ya, cielo, era la forma que tenía Erdös para mostrar la complejidad de estos problemas.

—¡Cuéntanos otro, Mati, pro favor! —pidió Sal.

—A ver, otro de fiestas y grafos, pero no de Ramsey, mucho más fácil. Se celebra una merienda de hermanos a la que acuden 4 parejas de hermanitos. Al llegar a la merienda, se saludan unos a otros con un abrazo. Al final, Sal le pregunta a los otros 7 asistentes a la reunión a cuánta gente ha saludado y recibe 7 respuestas distintas. La pregunta es: ¿ a cuánta gente ha saludado Ven?

Los niños se pusieron a pensar muy concentrados. Gauss parecía también muy pensativo.

—A ver, chicos, para empezar, ¿cuáles fueron las 7 respuestas posibles?

— 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 —contestó rápidamente Sal.

—No, nadie saluda a 7 personas, Sal —respondió la pelirroja —Como máximo a 6, los que no venían con él, pero no a su hermano y a sí mismo, claro.

—Entonces… 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 —añadió el pequeño Ven.

—Muy bien. Vamos a dibujar un grafo con 8 vértices, Sal y los otros siete invitados. A cada uno de estos 7 le ponemos junto al vértice un númerito que indica a cuánta gente ha saludado. A ver si descubrimos quién es Ven. Si empezamos con el vértice que ha saludado a 6 personas, el del número 6, lo unimos con todos los que el saludó, uno de ellos será Sal, porque al 0 no lo saluda nadie.

—Pobre 0… —dijo Ven.

—¿Sabéis por qué el vértice 6 no ha saludado a 0? —preguntó Mati.

—Porque es su hermano y venía con él —afirmó el gafotas con satisfacción.

—Exacto, ya sabemos que el hermano de 6 es 0. Ponemos una arista verde que los una, para recordarlo. Nos fijamos ahora en el vértice 5, que ha saludado a 5 personas, una de ellas Sal, porque al 1 no lo puede saludar nadie más, si no, no tendría un 1.

—El vértice 5 no ha saludado ni a 0 ni a 1, pero sólo uno de ellos es su hermano…

—Es 1, Mati, porque 0 es hermano de 6 —interrumpió Ven a la gafotas.

—Muy bien, Ven, los unimos con una arista verde. A continuación, miramos el vértice 4, a ver si descubrimos cuál es su hermano…

Los niños dibujaron en la pizarra las dos aristas que le faltaban al vértice 4 para alcanzar ese valor.

—¡Toma, claro! Tiene que ser el 2, porque es el único que no es hermano de nadie al que no ha saludado —el pequeñajo estaba alucinando.

—Muy bien, Ven —dijo su hermano orgulloso.

—Por lo tanto…

—¡Yo he saludado a 3 personas! ¡Toma, toma, toma!

—Pues sí, el vértice 3 es Ven, que ha saludado a 3 personas —concluyó Mati.

—¡Qué guay, Mati!

—Bueno, ¿queréis que busquemos alguna constelación especial mirando a las estrellas que hace una noche preciosa?

—Sí, una con 16 estrellas, como la suma de mi edad y la de Sal.

—Eso, la llamaremos constelación Hermanos, ¿vale, Ven?

Mientras Sal y Ven decidían el nombre de su constelación de 16 estrellas, Gauss se deslizó hasta el jardín…

FIN

—¡Ya lo tengo, yo seré Woody! ¡Hay una serpiente en mi bota!

— No, Ven, yo seré el vaquero, ¡ése es mi sombrero de vaquero! Me lo compraron papá y mamá en Almería.

—No, es mío, yo también fui al lejano oeste de Almería.

—Sí, pero te compraste aquellas plumas de jefe indio. Mira en el baúl, seguro que están ahí.

—¡No quiero! Yo lo he cogido primero.

—Oh, mira el sombrero de gran mago, Ven. Ése te quedará mejor, porque tú eres un gran mago, el mejor mago de todos los tiempos.

El pequeño Ven sonríe con orgullo ante la adulación de su hermano, pero instantáneamente, se cala aún más el sombrero de vaquero y mira con recelo al gafotas. Están buscando disfraces para el carnaval en su caja de disfraces, mientras Gauss, su mascota, empieza a mosquearse ante la inminente discusión.

—¡Que no, Sal! ¡Que quiero ser Woody, ya está! —y cambiando la voz con aspecto chulesco continúa — ¡Alguien ha envenenado el abrevadero!

—Pero Woody no es más que un juguete, Ven. Sin embargo, un gran mago es mucho más especial, puede conseguir lo que quiera.

—Pues tú serás el gran mago —respondió Ven con sonrisa pícara.

—Pero… bueno, ¿qué les pasa a mis chicos?

Era Mati quien acababa de entrar en la habitación y, como siempre, Gauss se acercó a ella moviendo alegremente la cola.

—¡Hola, Mati! —dijeron los dos hermanos al unísono.

—¿Eligiendo disfraces para el carnaval, chicos?

—Sí, pero Sal me quiere quitar el sombrero de vaquero —dijo Ven mientras se aferraba a las alas del mismo.

—No es cierto, Ven, ese sombrero es mío.

—No, todo lo que tenemos es de todos, somos una familia, ¿recuerdas? Y yo lo he cogido antes —concluyó el pequeño con su boquita torcida y los carrillos inflados.

—Pero, Sal, ese sombrero de mago es muy elegante…

—Es un sombrero de gran mago —se apresuró a decir Ven recalcando lo de ‘gran’.

—Oye, pues me acabo de acordar de unos acertijos sobre sombreros muy, muy divertidos. Son con sombreros de mago, bueno, de gran mago, blancos y negros. ¿Queréis que os los cuente?

Sal se colocó el sombrero de ma… de gran mago y se sentó en el suelo con una sonrisa expectante. Ven se colocó a su lado, con ganas de escuchar a Mati.

—Entiendo que eso es un sí —dijo la pelirroja y les guiñó un ojo — Imaginaos que estáis en una fiesta de cumpleaños con unos amiguitos, con 6 amiguitos…

—Qué pocos, Mati —protestó el presunto vaquero.

—¿Cuántos quieres que haya, Ven?

—¡15! —respondió sin pensar y con alegría.

—Pues, 15. En una fiesta hay 15 amigos y el papá del niño de la fiesta, les propone el siguiente juego.

Os colocaré a todos en fila, uno detrás de otro…

—¡Fila india, forastera! —interrumpió el pequeño, con la boca de medio lado.

—Por favor, Ven, no interrumpas más a Mati —protestó el gafotas —Además, no sabes hablar bien como vaquero.

—Bueno, chicos, sigo. Tenemos a 15 niños en una fila india, de forma que cada niño, sólo puede ver a los que están delante de él en la fila, ¿no?. El papá les propone el siguiente reto:

Os voy a colocar un sombrero de gran mago a cada uno sin que veáis de qué color es. Los sombreros sólo serán de 2 colores: blancos o negros. A continuación, empezando por el último de la fila, empezaré a preguntar a cada uno de qué color cree que es el sombrero que lleva puesto. Por cada niño que acierte su color, os daré 3 caramelos. Al final tendréis que repartir los caramelos entre todos.

¿Se os ocurre cuántos pueden acertar y, por lo tanto, cuántos caramelos podrán conseguir?

—El último ve todos los sombreros que tiene delante, ¿no? —quiso saber Sal.

—Efectivamente —respondió ella.

—¿Cuántos sombreros hay de cada color? —siguió preguntando el gafotas.

—No se sabe.

—Entonces es imposible acertar, forastera —dijo Ven con una graciosa imitación de no se sabe muy bien qué.

—Bueno, pueden decir un color al azar… —contestó Mati.

—Ah, en ese caso —respondió alegremente Sal — ganaran la mitad de los caramelos.

—¡Pero si 15 no tiene mitad! —protestó el pequeño.

—Sí, 7’5 es la mitad…pero claro, no pueden acertar 7,5 chicos…—el gafotas estaba tratando de pensar en la solución.

—Bueno, como dice Sal, o eso entiendo yo, la probabilidad de acertar diciendo un color al azar, es de 1 entre 2, y eso es del 50 %. Pero ése es un valor esperado, pero puede ocurrir que nadie acierte…

—O que acierten todos y ¡toma, toma, toma! ¡Un montón de caramelos!

—O ninguno, Ven —agregó Sal con voz pensativa.

—Toma, es verdad, pobres…

—El caso es que —continuó Mati —respondiendo al azar, sin ninguna estrategia previa, es posible que se queden sin caramelos. Sin embargo, si planean alguna señal mientras el padre va a buscar los sombreros, hay una forma de que acierten, seguro 7 de ellos, puede que más.

—¿Cómo, Mati? —preguntaron los dos a la vez.

—Acuerdan entre ellos, que los que ocupen posiciones impares en la fila, dirá el color del que tiene justo delante, que ocupará una posición par. Así, los pares acertarán todos, son 7, y puede que alguno de los impares también, si tiene el mismo color de sombrero que el que tiene delante.

—¡Guay! —el pequeño no se pudo contener.

—Vamos a verlo con un ejemplo —dijo Mati y dibujó 15 monigotes en su pizarra con sombreros blancos y negros según le iban diciendo Sal y Ven. Gauss también ladró intentando elegir, pero nadie lo entendió.

— El primero en hablar es el último de la fila, posición 15, impar, y dice el color del que está delante. En este caso ha acertado, le ponemos una palomita.

—¡Bien! —dijo Ven con vehemencia.

—El siguiente, el de la posición 14, par, dice lo que ha dicho el anterior, y siempre acierta.

—¡Dos palomitas! —dijo Sal sonriendo.

—¡Seis caramelos! —agregó el pequeño Ven. Gauss se relamió.

—Ahora le toca al número 13, impar, y dice el color del que tiene delante, pero no acierta. No hay palomita.

—Ni caramelos —dijo Ven con penita.

—Pero el número 12, par, dice lo que dijo el anterior y acierta. Le ponemos palomita.

Los dos hermanos sonrieron. Gauss también.

—Os toca, a ver si sabéis marcar con palomitas los que acertarán usando esta estrategia.

Sal y Ven se pusieron manos a la obra y pintaron esto en la pizarra:

—Mati, no sale ¿Qué tiene que decir el primero? —preguntó Sal.

—Ah, claro. El primero lo que quiera, pero yo creo que ya lleváis muchos caramelos… que diga “blanco”

—¡Toma, toma, toma! ¡30 caramelos! ¡Cómo mola! —Ven estaba entusiasmado.

—En este caso, sí. Pero lo que podemos asegurar es que, como mínimo, serán 21 caramelos, 7 aciertos. Pero es imposible que todos fallen, como en el caso en el que se hace sin estrategia previa.

—Es fantástico —afirmó el gafotas.

—Pero hay una estrategia mejor… —dijo con tono intrigante la pelirroja.

—¿¿Sí?? ¿¿Cómo?? —dijeron los dos hermanitos. Gauss se deshacía en saliva.

—Mientras que el padre va a buscar los sombreros, ellos deciden que el que empieza a hablar, que es el último de la fila y ve todos los sombreros de sus amigos, contará los sombreros negros. Si hay un número par de sombreros negros, dirá “negro” y si el número de sombreros negros que ve es impar, dirá “blanco”.

—¿Y si no acierta, Mati?

—Es el único que puede fallar, con un 50 % de probabilidad.

—¿Cómo?

—Imaginemos que cuenta los sombreros negros delante de él y dice “negro”, podrá acertar o no, pero el siguiente en hablar sabe que hay un número par de sombreros negros. Cuenta cuántos sombreros negros siguen quedando delante de él, si es par dice “blanco” y acierta; si es impar, es porque su sombrero es negro, dice “negro” y acierta.

—¡Wow! ¡Maravilloso! —dijo Sal.

—No lo entiendo —aceptó el pequeño vaquero con resignación.

—Vamos a a verlo en un diagrama, Ven. Si el primero dice “negro”, el segundo sabe que hay un número par de negros, contándolo a él. Mira a los que están delante suya, si sigue habiendo un número par, dice “blanco” y acierta, porque si el suyo fuera negro, quedaría un número impar de éstos delante de él. Supongamos que ha dicho “negro”, en ese caso, el siguiente en hablar, el niño en la posición 13, sabe que ahora hay un número impar de sombreros negros, contándose él, porque había par y el 14 era negro. Cuenta cuántos sombreros negros quedan delante de él, y si hay un número par, dice “negro” y acierta, porque si el suyo fuera blanco, seguiría quedando un número impar de negros delante de él. Y así, sucesivamente, cada niño sólo debe memorizar la paridad del número de sombreros negros que van quedando antes de él. Si cuando llega a él, cambia de paridad (de par a impar, o al revés), su sombrero es negro. Si no, es blanco.

—¡Toma! ¿Y todos aciertan? —preguntó Ven con los ojos como platos.

—Bueno, el primero puede fallar —puntualizó su hermano.

—Exacto —dijo Mati —pero 14 acertarán seguro, y eso son 42 caramelos.

Al pobre Gauss casi le da un soponcio de la emoción.

—¿Cuántos para cada uno, Mati?

—Bueno, 12 de ellos tendrán 3 caramelos, y 3 sólo 2.

—Pobres…—dijo Ven.

—Seguro que hay algún niño poco goloso que no le importa recibir un caramelo menos —dijo la gafotas con un guiño.

—Es alucinante, Mati —dijo Sal.

—Pues sí, y es un ejemplo más de que la unión hace la fuerza y de que hay que colaborar para conseguir el bien de la comunidad —sentenció Mati.

—Es verdad —dijo Ven muy contento —como en el fútbol.

—Claro, cielo. ¿Os apetece otro acertijo?

—¡Sí! —contestaron los dos niños.

—¡Guauss! —dijo Gauss.

— Tenemos 5 sombreros de gran mago: 3 negros y 2 blancos. Y tres niños.

—¡Sal, Gauss y yo!

—Perfecto —dijo Mati sonriendo — Los ponemos en fila y le colocamos un sombrero a cada uno, al azar. Le preguntamos al último de la fila, Gauss,que ve los otros 2 sombreros, de qué color es su sombrero. Y contesta “guaguaguauau” que significa “no lo sé”. Le preguntamos al siguiente, Ven, y responde “no lo sé”. En ese momento, el primero de la fila, Sal, exclama “¡Ya sé de qué color es mi sombrero!” La pregunta es: ¿de qué color es el sombrero de Sal?

Sal y Ven se quedan pensando un rato, al cabo del cuál el gafotas exclama:

—¡Negro!

—¡Muy bien! —dijo con orgullo Mati.

—¿Por qué? —preguntó Ven.

—Porque si Gauss no sabía de qué color era su sombrero, es porque estaba viendo algún sombrero negro en las cabezas de Sal y Ven, si los dos que él ve son blancos, como sólo había 2 de éstos, hubiera deducido que su sombrero era negro. Entonces, Ven, que es el segundo en hablar, sabe que Gauss ha visto un sombrero negro, si el de Sal es blanco, Ven hubiera dicho que el suyo era negro. Pero ha dicho que no lo sabe, entonces es porque el sombrero que lleva Sal es negro.

—¡Toma, toma, toma! —gritó Ven mientras abrazaba a Sal y lo besaba con auténtica admiración.

Mati reía contenta y orgullosa de sus amiguitos.

—El último acertijo de sombreros, ¿queréis, chicos?

—¡Sí!

—Ahora tenemos 6 sombreros de gran mago, 3 negros y 3 blancos, y nuestros 3 protagonistas. Le ponemos los sombreros al azar, pero ahora cada niño puede ver el sombrero de los otros 2. Se les pregunta de qué color es el sombrero que llevan y si aciertan, al menos, 2 de ellos, ganarán un premio. Ahora les dejamos pasar, es decir, si no están seguros, pueden decir “no lo sé”. Antes de que les pongan los sombreros, pueden hablar entre ellos y preparar una estrategia para ganar. Como en el problema de los 15 sombreros, ¿vale? ¿Cómo pueden asegurar ganar el juego?

Sal y Ven se pusieron a pensar muy concentrados. Gauss aprovechó para echarse una siesta.

—Ni idea, Mati —aceptó Sal después de unos minutos.

—Ni yo —remató el pequeño.

—Pues, fijaos. Antes de empezar, ellos acuerdan que el primero que hable, por ejemplo, Ven, si ve que Sal y Gauss llevan los sombreros del mismo color, dirá el contrario. Puede que Ven falle, pero Sal y Gauss acertarán y habrán ganado.

—¡Toooomaaaa! —exclamó Ven con los ojos como platos.

—Si Ven ve que Gauss y Sal llevan sombreros de distinto color, dirá “no lo sé”. En ese caso, tanto Sal como Ven, saben que llevan uno el color contrario del otro, y también acertarán y los 3 habrán ganado.

—¡Claro, Mati! ¡Es genial! —al gafotas le dio un poco de rabia no haberse dado cuenta, pero estaba radiante de felicidad con la solución que le acababa de contar Mati.

—Y otra vez, Mati, hay que trabajar en equipo para ganar —dijo Ven

—Exacto, pequeño. Se consiguen más cosas cuando nos ayudamos unos a otros.

—Toma, Sal, el sombrero de vaquero, que a ti te hace más ilusión y siempre me estás ayudando.

—No, Ven, quédatelo. Muchas gracias, yo me disfrazaré de bombero, que también me gusta mucho —dijo Sal buscando en la caja — Por cierto, ¿has cogido tú el casco de bombero?

Mientras los niños se disponen a buscar el casco, en un rincón de la habitación…

FIN

Los acertijos que les he propuesto a Sal, Ven y Gauss esta semana, son bastante conocidos desde siempre. En algún sentido, recuerdan al de 11 para la gloria propuesto por Juan Mata y que ya contamos aquí. De hecho, una de las estrategias, igual que en el caso del desafío de Mata, ha aparecido en El País como otro de sus desafíos matemáticos

Si os gustan estos juegos de ingenio, no os despistéis mucho, porque otro día os traeré más.

Hasta pronto.

MATI

—¿Recuerdas cuando Gauss llegó a casa, Sal? —preguntó el pequeño Ven con los ojos brillantes.

—No lo podría olvidar, fue el día más feliz de mi vida —contestó el gafotas sonriendo —y aparte de todo, es que hoy sólo hace 2 años.

—Yo recuerdo que ese día cenamos pizza.

—Sí, es verdad, recuerdo el olor a pizza en la casa mientras Gaussito estaba en aquella camita.

Mientras los dos hermanos hablan y acarician a su mascota, éste cierra los ojos con deleite.

—Pero Gauss es muy listo y ha aprendido un montón de cosas, y con sólo dos años, ¿a qué sí, Sal?

—Pero en los perros, Ven, cada año es como 7 de los humanos, así que Gauss hoy cumple 14 años.

—¡Toma, toma, toma! ¡Ya es un moderno, como los chicos del instituto! —Ven alborotó el pelo de su perro.

—Bueno, bueno…—Mati acababa de entrar —eso es un poco leyenda urbana, ¿eh?

—¡Hola, Mati! Hoy es el cumple de Gauss —Ven corrió a abrazar a su amiga, Gauss se quedó esperando el achuchón de ésta, haciéndose el interesante.

—¡Hola, Sal! —saludó la gafotas.

—Hola…entonces. ¿no es verdad que cada año de un perro son 7 años humanos? —preguntó con cara seria.

—Eso es lo que se dice habitualmente, pero ya se ha aceptado que un perro de 2 años es equivalente, aproximadamente, a una persona de 24.

—¡Uala! ¡Qué mayor eres, Gauss! —Ven cada vez estaba más sorprendido.

—Pues mejor, así será más listo —dijo Sal sonriendo finalmente.

—Claro que sí, además, con ese nombre que lleva…tiene que ser listo a la fuerza —Mati les guiñó un ojo —¿Sabéis por quién lleva su nombre, verdad?

—¡Sí, sí! ¡Por Gauss, el príncipe de la matemáticas! —respondió el pequeño con alegría.

—Efectivamente, uno de los matemáticos más importantes de la historia, Johann Carl Friedrich Gauss, conocido como el príncipe de las matemáticas, efectivamente.

— Pero no era príncipe, ¿verdad, Mati? —quiso saber Sal.

—Pues no, todo lo contrario, nació en el seno de una familia muy,muy humilde. Ni siquiera anotaron el la fecha del día en que nació…

—Pobre Gauss… — Ven abrazó con fuerza a su mascota, con demasiada según los gustos de éste, al parecer.

—Pues sí, Ven, su madre sólo recordaba que había nacido un miércoles, ocho días antes de una fiesta cristiana, que celebran 40 días después de la Pascua.

—¿Y no celebraba su cumpleaños, Mati? —preguntó Sal con pena.

—No, no creo, pero no porque no supiera la fecha, porque para averiguarla ¡diseñó un método para calcular la fecha de la Pascua de cualquier año, pasado y futuro!

—¡Qué crack! —los ojos de Ven brillaban de entusiasmo, Gauss hinchaba el pecho.

—Pues sí, las biografías sobre Gauss coinciden en que era un niño prodigio. Muchas de ellas cuentan que cuando tenía unos 7 años sorprendió a su maestro encontrando la fórmula para calcular la suma de los primeros 100 números naturales.

—¡Los que sirven para contar! —exclamó Ven.

—¿Cómo, Mati? —preguntó el gafotas.

—Pues según la versión más extendida de la historia, el maestro de Gauss les pidió a todos sus alumnos que sumaran desde el 1 hasta el 100, para que estuviesen un rato entretenidos. Todos se pusieron a sumar, pero Gauss se dio cuenta de que el primero más el último sumaban 101.

—Pero es más, si quitamos el primero y el último, que ya los hemos sumado, y volvemos a sumar el nuevo primero con el nuevo último…

—¡Toma! —Ven no se pudo aguantar —También 101.

—Los quitamos —continuó Mati —y sumamos el primero y el último que tenemos ahora y …

—¡Qué curioso, Mati! —Sal sonreía con entusiasmo.

—Repetimos una vez más…—a Mati le encantaba ver cómo los ojos de los 2 pequeños se abrían cada vez más. Hasta el propio Gauss parecía concentrado en las pizarras de Mati.

—¡Toma, toma, toma! —el pequeño Ven estaba alucinando.

—Pues Gauss, el matemático, no nuestro perrito, se dio cuenta de que eso ocurriría 50 veces, porque tenía 100 número que emparejaba de 2 en 2. Y que, por lo tanto, la suma total se calculaba multiplicando 101 por 50.

—¡Maravilloso, Mati! —el gafotas estaba realmente sorprendido.

—Pues sí, Sal —contestó Mati —Gauss resolvió el ejercicio en un periquete gracias a su truco. Pero no sólo sirve en este caso, vamos a observar bien las cuentas que hizo:

— 101 es el resultado de sumar el primer y el último número de la lista…

—Y el de los dálmatas —puntualizó Ven con una sonrisa.

— Claro, también. Y por otra parte, 50 es la mitad de los números que hay la lista. Pues sí, siempre se obtiene la suma de una lista de números naturales consecutivos como el multiplicando el número de números que hay en la lista por la suma del primero más el último y dividiendo el resultado por 2.

—¡Mati, es chulísimo! ¡Gauss, te quiero! —Ven abrazaba a su mascota con alegría y entusiasmo, tratando de canalizar su euforia.

—Hay un problema, Mati…—dijo Sal un poco serio. Ven se puso firme.

—¿Cuál, cielo?

—¿Y si hay un número impar de números en la lista? No sé, por ejemplo… 35.

— Vamos a verlo

—Ah, claro, si el último es impar, como le sumas el primero que es 1, ya es par y se puede dividir por 2 —concluyó satisfecho el gafotas.

—Pues sí, pero esta fórmula no sirve sólo para la suma de números naturales consecutivos comenzando en el 1. En realidad, sirve para calcular la suma de cualquier progresión aritmética.

Las caras de los dos hermanos se arrugó en su familiar mezcla de sorpresa y curiosidad.

—¿Queréis saber qué es un progresión aritmética?

—¡Claro! —contestaron a la vez.

—Se trata de dar un lista o sucesión de números, empezando por el que queráis y calculando los siguientes sumándole o restándole cada vez, la misma cantidad. A ver, si empezamos e 1 y sumamos 2 cada vez, tendremos la lista de números impares, ¿no? Pues también podemos usar está fórmula para calcular, por ejemplo, la suma de los 7 primeros números impares.

—¡Toma, toma, toma! —de nuevo Ven estaba entusiamado —¿Y podemos sumar también los números de la sucesión de Fibonacci?

—No, cielo, la sucesión de Fibonacci no es una progresión aritmética, cada término se obtiene sumando los dos anteriores, y en la aritmética, siempre es el anterior más un número siempre fijo, por ejemplo 2 en el caso de los impares.

—Pero en la de Fibonacci, para obtener el 8 sumamos al anterior 3, y para el siguiente, sumamos 5, ¿recordáis?

—Sí, es verdad, lo de los conejos —aceptó el pequeño de los hermanos —¿Me puedo inventar una progresión, Mati?

—Por favor.

—Empiezo en 4 y le sumo 5 cada vez, o sea, 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34 y 39, ¿no?

Ven escribió en la pizarra de Mati:

—Pues bien, chicos, ¿os atrevéis con la suma de esos 8 números usando la fórmula?

—¡Claro! —contestó Sal animado y se pusieron a calcular en la pizarra.

—¡Bien, muy bien! —la pelirroja sonreía con orgullo y los besó. El príncipe de las matemáticas se acercó oportuno a recibir algún achuchón.

—¡La llamaré la Sucesión de Ven! —afirmó con pomposidad el pequeño.

—¿Y si en vez de sumar un número cada vez, lo multiplicamos, Mati? Por ejemplo, si empezamos en 1 y multiplicamos por 2. ¿También sale? ¿O sólo es cuando sumamos? —preguntó con interés Sal.

Mati adoptó una pose cómica de persona seria y contestó:

—Me alegra que me hagas esa pregunta. En ese caso se llaman sucesiones o progresiones geométricas. Os contaré una historia.

Los niños se sentaron enseguida, Gauss se acurrucó junto a ellos y la gafotas empezó a contarles.

—Lo que os voy a contar es una fábula sobre el origen del juego del ajedrez que además sé que os encanta.

—Sí, pero Ven… a veces hace trampas. El otro día le comí el rey y decía que había ganado él —refunfuñó Sal.

—¡Toma, claro! Porque mi rey llevaba dentro una bomba terrible que el que se lo comía, moría —dijo el pequeño con vehemencia.

—Bueno, bueno, eso no es así, Ven y lo sabes. ¿Queréis conocer la fábula?

—¡Sí! —gritaron al unísono.

—Pues veréis, he oído varias versiones de la misma, como suele ocurrir con estas cosas, os contaré la que yo me sé.

Hace muchísimos años, existía un rey en la India que era bastante desalmado y egoísta. No pensaba en nadie que no fuese él mismo. Uno de los sabios que vivían en la corte, diseñó un juego para el monarca, lo llamó chaturanga, con 64 casillas y en el que el Rey, aunque sí era la pieza más importante del tablero, dependía del resto de las piezas para ganar la batalla. Dicen que el Rey entendió el mensaje y a partir de entonces fue más generoso y complaciente con todos sus súbditos. También dicen que adoraba jugar al chaturanga (el origen del ajedrez) y que quiso compensar al sabio que lo había diseñado. Éste, el sabio, le pidió que pusiera un grano de arroz en la primera casilla del tablero. 2 en la siguiente. El doble, o sea, 4 en la siguiente, para poner después 8 en la próxima, y así, multiplicando por 2 el número de granos en cada casilla, hasta llegar a la última. El rey miró con condescendencia al humilde sabio y sonrió pensando que no era tan sabio como parecía, puesto que lo que había pedido como recompensa era muy poca cosa para un Rey como él. Nadie volvió a saber nunca más de aquel monarca, pero dicen que enloqueció cuando descubrió que no podía pagarle al sabio.

—¡Qué morro! ¿Por qué no podía pagarle? —preguntó el pequeño indignado,

—Vamos a hacer cuentas. En la primera casilla, 1. En la segunda, 2. En la tercera, 4, es decir 22 . En la cuarta, 8, 23 . Y así, sucesivamente…

—Pero Mati, son granos de arroz, no kilos, seguro que sí podía pagarle.

—¿Tú crees, Sal? ¿Sabes cuántos granos de arroz debía poner el rey en la última casilla, por ejemplo?

—Sí, 263.

—Efectivamente, Sal, pero es que 263 son 9223372036854775808 granos de arroz.

Que con un cálculo aproximado, suponiendo que 100 granos de arroz pesan 30 gramos, serían ¡276600 millones de toneladas de arroz! La producción mundial de arroz de la temporada 2009-2010 fue menos de 675 millones de toneladas.

—¡TOMA, TOMA, TOMA! —los ojitos de Ven no podían abrirse más.

Sal seguía paralizado ante la magnitud de 263, sin pestañear. Mati siguió contándoles:

—Para que os hagáis una idea, si es posible, de esta magnitud, imaginaos que ponemos 263 monedas de un euro una encima de otra, formando una columna de monedas. Pues es columna tendría más de 37 billones de kilómetros, más de 4 años luz de longitud.

—¿Llegaría hasta la Luna, Mati? —preguntó el gafotas casi voz en su cuerpo.

—Saldría de nuestro Sistema Solar y llegaría casi a la estrella conocida más cercana al Sol, la Próxima Centauri.

Sal, Ven y Gauss se quedaron estupefactos tratando de digerir la información de la pelirroja. En el caso de Gauss, puede que se tratase un poco de teatro, la verdad. Mati continuó:

—Y hablando de la Luna y de Gauss, ¿sabéis que Gauss tiene un cráter en la Luna?

—¡¿Cómo?!

—Lo que oís. Uno de los cráteres de la Luna, de más de 170 kilómetros de diámetro, se llama Gauss en honor al príncipe de las Matemáticas.

—Pues sí que es importante nuestro perrito… —dijo Sal con una sonrisa amplia y luminosa.

—Se está haciendo el interesante… —contestó Ven pícaramente.

FIN

Pues sí, Gauss, la mascota de Sal y Ven, se llama así en honor a uno de los matemáticos más famosos de la historia, Carl Friedrich Gaus. Aunque si le preguntas a Sal y Ven te dirán que se llama así porque así es como se presenta: “¡Gauss, gauss, gauss!” 😉

Y sí, es cierto que Gauss diseñó un algoritmo para el cálculo de la fecha de la Pascua. sobre esto, sobre cómo calcular la fecha de la Pascua cristiana, os dejo esta entrada de Tito Eliatron Dixit.

En este episodio de nuestras mateaventuras hemos hablado de progresiones aritméticas y un poc también, sobre las progresiones geométricas. Os dejo unos enlaces por si queréis aprender más.

En cuanto a la fábula del ajedrez y el arroz, no se ha calculado cuántos granos de arroz tenía que pagar el rey al sabio, sólo cuántos granos había en la casilla 64. Para conocer el cálculo completo y la estimación en toneladas de arroz, os dejo este enlace

Otras curiosidades sobre las potencias de 2 han sido publicadas en Microsiervos, una de ellas sobre fideos y la otra, sobre cómo doblar un papel (en cada doblez que hacemos, el número de hojas a doblar es una potencia de 2: primero una hoja, después 2, después 4, 8,…y claro, cada vez más difícil, puesto que el grosor del papel a doblar en el siguiente paso aumenta muy rápido).

Y aunque no son potencias de 2, sino de 10, no os perdáis esta video que nos muestra cómo cambia nuestro pusto de vista cuando vamos añadiendo o eliminando ceros a nuestro punto de vista.

Hasta pronto.

MATI

—¿Quién era Houston?

—Houston no era nadie, era la ciudad desde donde controlaban la misión.

—¿Y por qué el comandante dijo “Vale, Houston, por aquí hemos tenido un problema”?

—No fue el comandante, fue el piloto del módulo de comando, lo dice aquí —contestó Sal a su hermanito —Yo que sé, porque los astronautas hablan así, supongo.

—Pues, ¿sabes qué, Sal? Seguro que alguien pensó que falló el alunizaje porque era el 13, despegó a las 13:13 horas y se averió el día 13 de Abril, ¿no? Los que piensan que el 13 da mala suerte. —concluyó el pequeño sonriendo pícaramente.

—Eso es una superstición, Ven, nos lo explicó Mati, ¿recuerdas? Las supersticiones son mentiras.

—Efectivamente, chicos —la gafotas acaba de aparecer en el salón — Eso de que el 13 es un número que da mala suerte es una superstición bastante boba, sobre todo para dos niños tan científicos como vosotros —Mati les guiñó un ojo.

—¡Hola, Mati! Mira que libro tan bonito de Astronomía nos han regalado —dijo Ven mientras se acercaba a ella.

—Estábamos leyendo sobre el fracaso del Apolo 13 —dijo Sal.

—Bueno, fracaso exitoso, ¿no? —contestó la pelirroja —Consiguieron volver a la Tierra a pesar de las dificultades, y eso es lo más importante.

—Pues sí, es verdad.

—Y no sólo en las misiones espaciales, también en la vida. Si descubres que tu meta es inalcanzable para ti, hay que saber volver a la Tierra sano, salvo y orgulloso por haberlo intentado.

Los dos pequeños se quedaron muy pensativos mirando a Mati que acababa de pontificar, Gauss retorció el hocico mostrando su conformidad a la pelirroja.

—Pero, bueno, dejadme que os diga —continuó Mati — que el 13 no sólo no da mala suerte, ningún número la da, sino que además es uno de los afortunados que aparecen en la sucesión de Fibonacci, ¡es un suertudo!

—¿De quién? —dijeron los dos hermanos a la vez, incluso Gauss pareció fruncir el hocico al escuchar ese nombre.

—Fibonacci —repitió Mati — Aunque su verdadero nombre era Leonardo de Pisa, Fibonacci fue un matemático italiano muy famoso y brillante que, entre otras cosas, descubrió la sucesión de Fibonacci. ¿Queréis que os cuente la historia?

—¡¡Sí!! —dijeron Sal y Ven.

—¡Guauss! —dijo el perrito.

—Fibonacci planteó el siguiente pasatiempo: Vamos a criar conejos. Cada conejo tarda un mes en llegar a su edad fértil. Cada pareja de conejos en edad fértil puede parir a una pareja de conejitos cada mes. Si comenzamos con una pareja de conejos bebés (les falta un mes para ser fértiles), ¿cuántas parejas de conejos tendremos al cabo de un año?

—¡Un montón! —respondió Ven con alegría.

—Ni idea. —respondió con resignación el gafotas.

—Vamos a calcularlo, poco a poco. Después del primer mes, seguiremos teniendo sólo una pareja de conejos, pero ya fértiles, porque habrá pasado el tiempo necesario para su maduración.

—Mirad, le ponemos una etiqueta con un número 1 para identificarlos. Al cabo de otro mes, ya habrán parido una parejita de conejitos, que etiquetamos con un número 2, ¿veis?

—¿Qué pasará al cabo de un mes? —preguntó Mati a los niños.

—¿Que tendrán una parejita nueva cada una de las 2 parejas? —dijo Ven.

—No, sólo la pareja 1 podrá tener conejitos, la pareja 2 estará creciendo hasta llegar a la edad fértil. Pues bien, a la nueva pareja de hijitos de la pareja 1, les ponemos la etiqueta 3.

—¡Claro, Mati! —dijo Ven con alegría —Ya tenemos 3 parejas de conejos.

—Exacto —dijo Mati —¿Y al cabo de un mes?

—Pues que las parejas 1 y 2 tendrán hijitos y la pareja 3, habrá crecido —contestó Sal muy orgulloso.

—Efectivamente —dijo ella —Y tendríamos 5 parejas, a los nuevos hijos de 1 y 2 los etiquetaremos con 4 y 5.

—¡Toma, toma, toma! —gritó Ven con entusiasmo — ¡Y al siguiente mes, las 3 parejas marrones tendrán tres parejitas más y tendremos 8 parejitas! ¡Cómo mola!

—¡Bravo, pequeño! —dijo Mati orgullosa. Gauss parecía un poco celoso de la atención recibida por éste — A las 3 nuevas parejitas, nacidas de 1, 2 y 3, las etiquetamos con 6, 7 y 8, así:

—¡Ya lo tengo! —dijo el gafotas — Y al siguiente mes serán 13, porque hay 5 parejitas de conejos marrones que podrán tener conejitos, 5 más 8, es 13.

—¡Perfecto, Sal! Esa es la idea. Cada mes que pasa, tendremos que sumar tantas parejitas de bebés nuevas como parejas marrones tengamos, y ¿cuántas parejas marrones tenemos? Exactamente el número total de parejas que teníamos el mes anterior, porque de ésas algunas eran marrones y seguirán siéndolo, y otras eran azules y han crecido hasta ser marrones (fértlies) para poder tener hijos en el mes siguiente.

—¡Así que el siguiente mes serían 21! ¡13+8! ¡Qué fácil! —dedujo Ven con vehemencia.

—¡Eso es! —Mati acarició al pequeño, mientras Gauss se iba enfadando cada vez un poco más con las muestras de cariño de ella a Ven.

—Cada término de la sucesión de Fibonacci se calcula sumando los dos anteriores.

—¿Y qué tiene de especial esta sucesión de números, Mati? Es muy sencilla, ¿no? —quiso saber el gafotas.

—Pues mucho, Sal, porque no sólo aparece en la solución del pasatiempo de los conejos, sino que los números que aparecen en ella se pueden encontrar en la naturaleza en infinidad de ocasiones. Por ejemplo en el número de ramas de los árboles, el número de hojas en un tallo, los frutos de una piña…

—Los conejos…—interrumpió Ven.

—Bueno, el ciclo de crecimiento y reproducción de un conejo no es exactamente como lo planteó Fibonacci, pero bueno, sí en el árbol genealógico de las abejas. De hecho, os acordáis de cuando os hablé del número de oro, φ?

—Sí, el del pentagrama —contestó rápido Sal.

—Pues fijaros qué ocurre si en la sucesión de Fibonacci dividimos cada número por el anterior:

—¿Veis que todos los resultados empiezan a aparecerse mucho? Pues si siguiéramos haciéndolo muchos, muchos términos más, nos iríamos acercando cada vez más al valor de φ, el número de oro. Que, por cierto, ya sabéis que está presente en el arte y en la naturaleza.

—¡Toma, toma, toma! —Ven no pudo reprimirse y abrazar a Mati fuertemente. Gauss bufó, no le van mucho esas efusiones si no lo incluyen a él.

—Pues veréis, no sólo en la naturaleza, la sucesión de Fibonacci también aparece en muchas construcciones matemáticas, nacidas de la mente humana. Vamos a ver una de ellas, conocida como el Fractal de Fibonacci. A mí me encanta.

Los enanos se sentaron expectantes, sin reconocer ninguno de los dos que no tenían ni idea de qué era un fractal.

—Vamos a partir de un triángulo rectángulo, con un ángulo recto, isósceles, con dos lados iguales. A ese triángulo, vamos a ir borrándole trocitos, con el método que os voy a proponer.

—Trazamos la altura desde el ángulo recto en este triángulo. Obtenemos dos triángulos iguales. En uno de ellos, hacemos lo mismo. Tendremos dos mitades de ése triángulo más pequeño. Pues bien, borramos una de ellas.

— Ahora, de los triángulos que nos quedan (en naranja) elegimos el de mayor área, lo pintamos, por ejemplo, de verde.

—Repetimos la operación sobre el triángulo verde: primero la altura desde el ángulo recto, luego en una de las dos mitades y borramos uno de los triángulos pequeñitos.

—¿Me seguís?

—Sí, Mati —dijeron los dos embobados.

—Ahora elegimos, los triángulos de más área, que ahora son 2, los pintamos en verde también.

—Sobre esos triángulos verdes, ya sabéis, pintamos la altura desde el ángulo recto, luego en una de las mitades y borramos uno de los dos triangulitos.

—¿Cuántos triángulos tienen ahora mayor área?

Los niños se quedaron mirando hasta que finalmente Ven gritó:

—¡Tres!

—Uy — dramatizó Mati — Empezamos con 1, luego 1, después 2, ahora 3… Vamos a pintar los 3 grandes en verde y le volvemos a robar un trocito con el mismo método y fijaos cuántos triángulos con el mayor área tenemos en el siguiente paso de la construcción.

—¡5! —gritó Sal saltando de alegría —¡Otra vez, Fibonacci!

Mati sonrió orgullosa y siguió con su explicación.

—Al robar de nuevo un trocito a los 5 triángulos verdes cómo os he contado, nos quedan unos nuevos triángulos más grandes que serán en total…

—¡¡8!! —Gauss ladró asustado por el grito de los hermanitos.

—Y si repetimos en los 8 verdes el robo del trocito, ¿cuántos triángulos de mayor área tendremos?

—¡¡¡13!!! —Gauss esta vez ladró a la vez, tal vez porque sabía la respuesta.

—¡Toma, toma, toma! —Ven daba vueltas como celebrando un gol.

—¡Otra más, por favor, Mati! ¡Ahora toca 21! —Sal estaba alucinando.

—Ahí la lleváis —la pelirroja les guiñó un ojo.

—¡Es maravilloso, Mati! —los ojos de Sal y Ven brillaban como nunca.

—Vamos a ver cómo queda, pintando sólo los triángulos que nos quedan, eliminando las líneas que sobran.

—¡Oh! —Ven estaba extasiado —Lo voy a poner en el corcho de mi clase y le diré a todos que es el Fractal de Fibonacci.

—Podríamos repetir este proceso indefinidamente, hasta el infinito, y seguiríamos encontrando la sucesión de Fibonacci —concluyó Mati con los ojos tan brillantes como sus dos amigos.

—Mati, es chulísiimo… —el gafotas estaba extasiado.

—Espera, espera, aún hay más. Vamos a colorear los trozos que le hemos robado, usando el mismo color cuando los triángulos borrados tienen el mismo área, a ver qué pasa…¿cuántos hay del mismo color?

Los niños miraron y contaron entusiasmados los huecos del mismo color, descubriendo, de nuevo, a los números de Fibonacci.

—Es alucinante, Mati, tengo hasta ganas de llorar de la emoción…—Ven, con su vehemencia habitual, acariciaba los triángulos de colores mientras los contaba.

—Pues mirad, chicos. Se ve que a Gauss los fractales le abren el apetito…

FIN

La sucesión de Fibonacci es una de las más conocidas de la historia de las Matemáticas y podéis encontrar mucha información y curiosidades sobre ella. Si tenéis curiosidad, os recomiendo esta entrada de Sangakoo que es muy didáctica y bonita.

En cuanto al Fractal de Fibonacci construido con proyecciones ortogonales, es también conocido como el Racimo de Grossman puesto que fue George W. Grossman el que lo describió en 1997. Si queréis ver el artículo en el que lo describe y publicado por Jounal of Mathematics and the Arts, lo podéis ver aquí, aunque igual, es un pelín complicado…

¡Feliz año nuevo 2012 a todos!

¡Uy, 2012! Si sumáis las cifras, 2+0+1+2=5, 5 es otro suertudo por estar en la sucesión de Fibonacci… 😉

MATI

—Pobrecito…

—¿Qué te pasa,Ven?

—Este Papá Noel está cojito, como el soldadito de plomo —el pequeño miraba con penita el adorno roto.

—No lo pongas, entonces.

—¿Cómo lo voy a dejar solito en la caja? ¿No te da pena?

—Es verdad… ¿Lo ponemos de adorno en nuestro cuarto?

—No, él querrá estar con sus amigos, hombre.

—Ah, claro. Lo ponemos junto a este trineo, por si tiene que ir a algún sitio —Sal sonrió con alegría.

—¡Buena idea! —contestó convencido el pequeño.

Mamá les había pedido que colgasen los adornos en el árbol mientras ella trataba de desenredar las guirnaldas de luces y ellos lo hacían no sin hacer un comentario sobre cada uno éstos.

—¡Mira, Sal, las uvas de la suerte!

—¿Son doce?

—No, sólo 9, pero no importa, son las uvas de la suerte, por eso están con los adornos de navidad.

—Si no son 12, no son las de la suerte, tiene que haber una por campanada —contestó el gafotas mientras intentaba colgar al Papá Noel junto al trineo.

—Bueno, bueno, eso de que tienen ser 12 para que den suerte… —Mati apareció en el salón.

—¡Hola, Mati! —dijeron los dos hermanos al unísono. Gauss movió la cola en señal de alegría.

—¡Hola, chicos! ¡Qué bonito está quedando el árbol este año!

—Gracias —contestó Sal con la mirada perdida en sus pensamientos —Entonces, ¿no son necesarias 12 uvas para tener suerte en el 2012?

—¡Toma, toma, toma! 12 uvas para tener suerte en el 2012, ¡pega mucho! —se emocionó el pequeño con la coincidencia.

—Pues no, en realidad, lo de tomar 12 uvas durante las campanadas del 31 de Diciembre sólo se hace en España y algunos países de Latinoamérica.

—¿Por qué, Mati? ¿En los demás países no hay uvas? —quiso saber el pequeño Ven.

—No, no es eso, claro que hay uvas, pero tienen otras tradiciones. Hay quien dice que la tradición de las 12 uvas en España se debe a que en 1909 en el Levante Español sobraron muchas uvas de la cosecha y que se las tomaron en Nochevieja iniciando esta tradición. Pero también los hay que dicen, que en aquella época y con los medios que tenían, era muy difícil que la uva llegara fresca hasta finales de Diciembre y sobre todo, era muy difícil que sobrara comida.

—¿Y quién tiene razón, Mati?

—Pues no lo sé, pero lo que está claro, es que es una costumbre muy sana —siguió Mati sonriendo — Tomar fruta siempre es bueno, pero no creo que dé suerte, ni buena ni mala, eso es una superstición y mis niños favoritos no creen en supersticiones, ¿verdad?

—Yo, no —respondió Ven con vehemencia.

—Además —dijo Sal con entusiasmo, con los ojos brillantes tras los cristales de sus gafas— si fueran de la suerte, se tomarían antes del sorteo de la lotería de Navidad, no después, ¿verdad, Mati?

—¡Ouch! —dramatizó un poco la pelirroja — ése es otro tema también, cuanto menos curioso: las creencias y supersticiones sobre la lotería.

—¿Por qué, Mati? ¿nunca toca la lotería? —preguntó Ven muy serio.

—No es eso, tocar, sí que toca. Ahora, eso sí, es muy, muy difícil. Pero hablaba de la creencia que tienen algunos mayores de que comprar la lotería en determinados sitios trae suerte, porque hay más posibilidades de que te toque…

—Sí —intervino Sal — ¿te acuerdas este verano cuando fuimos a hacer el descenso del Noguera Pallaresa en Lérida?

—¡Toma, claro! Me dio un yuyu…

—No, Ven, en el pueblo aquel había gente que compraba la lotería de Navidad ¡en verano! Porque decía que siempre tocaba.

—De eso no me acuerdo —reconoció el pequeño con tristeza.

—¿Queréis que os explique cómo calcular la probabilidad de que os toque la lotería? — preguntó Mati.

—¡Sí! —respondieron los dos.

—A ver, primero que nada, mediremos esa probabilidad dándole valores entre 0 y 1. Si es O, es que nunca ocurrirá y si es 1, es que ocurrirá seguro. Los demás valores, pues, cuanto más cerca estén de 1, más fácil es que ocurra.

Los pequeños escuchaban con atención a Mati. También Gauss.

—Para calcular la probabilidad de un suceso, por ejemplo, que te toque la lotería, entendiendo por ello que nos toque el ‘gordo’, sólo hay que dividir el número de casos favorables entre el número de casos posibles. En el caso de la lotería, los casos posibles son 100.000, que son todos los números que juegan, y los caso favorables, 1, el número de tu décimo.

Mati escribió en su pizarra

—¡Toma, toma, toma! ¡Casi cero! —dijo Ven con los ojos como platos

—Pues sí, Ven, ésa es la probabilidad de que toque el gordo con cualquier décimo, se compre donde se compre, de un 0’001 %.

—Entonces, ¿por qué la gente lo compraba allí y decía que en ese pueblo siempre tocaba? —quiso saber Sal

—Pues porque no hacen las cuentas, Sal —Mati le guiñó un ojo —Y no sólo allí, hay otras administraciones del país que también son famosas por dar muchos premios.

—Y es mentira, ¿no? —repuso el gafotas.

—No, no es mentira. A ver, la probabilidad de que la administración dé el premio depende de los números que venda. Cuanto más venda, más probabilidad tendrá, claro, y como son famosas, venden muchísimos. Pero cada décimo comprado, la probabilidad de que toque es la misma. Mirad, si una administración vendiese 2000 números distintos tendríamos

—Ya veis, un 2% de probabilidad. Ha subido un montón. Pero es que estas administraciones famosas, aunque no sé cuántos, deben manejar muchísimos números, casi todos y como facturan mucho, pueden vender muchos décimos con el mismo número. Así que dan el premio con mucha probabilidad, por eso, al año siguiente venden más… Y cada vez crece más la leyenda. Pero, cada número, cada décimo, se compre donde se compre, tiene la misma probabilidad de ganar.

—Pues no entiendo por qué pasa eso…— respondió Sal —porque las cuentas son tan fáciles que hasta yo las entiendo.

—Y yo, ¿eh? —se apresuró a decir Ven.

—Hay incluso personas que piensan que si juegan siempre el mismo número, por ejemplo de la ONCE, tienen más probabilidades de ganar, olvidando que la probabilidad es la misma en cada sorteo.

—¡Qué locos! —dijo Ven no muy convencido.

—Pues sí, pero se ve que cuando se trata de jugar a ganar dinero, a algunas personas se les olvidan las Matemáticas —Mati volvió a guiñarles un ojo —Es parecido a lo que ocurre con la falacia del jugador

—¿Qué eso Mati?

—Se trata de la creencia equivocada que tienen algunos jugadores de que lo ocurrido en jugadas o sorteos anteriores afecta a los futuros.

—No entiendo , Mati. —aceptó Sal.

—Imagina que tiramos una moneda equilibrada, sin trampas, ¿eh? ¿Cuál es la posibilidad de que salga cara?

Sal y Ven tomaron prestada la pizarra de su amiga para hacer las cuentas.

—¡Muy bien, chicos! —dijo Mati henchida de orgullo —Esto es más difícil, ¿qué salgan dos veces cara?

Los niños se quedaron muy serios y Mati escribió en su pizarra:

—Pues, bien, algunos jugadores piensan que si al lanzar la moneda salió 4 veces seguidas cara, en el siguiente lanzamiento, deben apostar por cruz.

—¿Y eso? —preguntó el pequeñajo.

—Porque piensan que la probabilidad de obtener 5 caras seguidas es (0,5)⁵5=0,03125, y es muy baja. Pero esa es la falacia, la probabilidad de que en el siguiente salga cara sigue siendo 0’5, porque no depende de lo que ha ocurrido anteriormente. Están confundiendo la probabilidad de que salgan 5 caras seguidas con la probabilidad de que en un lanzamiento salga cara.

—¡Qué locos! —dijo Ven mientras Sal lo miraba con cierto recelo.

—Ahora bien —continuó la gafotas —lo que no es tan descabellado es pensar que si sale tantas veces caras, posiblemente la moneda esté desequilibrada, y entonces hay que apostar cara, lo contrario de lo que indica la falacia del jugador.

—Y si quieres por ejemplo elegir campo en el fútbol y no estás seguro de que la moneda esté equilibrada, ¿cómo lo hacemos, Mati? —preguntó el pequeño Ven preocupado.

—Muy fácil, haciendo el sorteo a dos tiradas.

—¿Cómo? —preguntó casi gritando Sal sonriendo esperando la respuesta de Mati.

—La moneda será lanzada dos veces, y los jugadores elegirán sólo entre dos posibilidades: (cara, cruz) y (cruz,cara). Si las dos veces la moneda saca lo mismo, es decir (cara, cara) o (cruz, cruz), repetimos los dos lanzamientos. Pero los dos sucesos (cara, cruz) y (cruz, cara) tienen la misma probabilidad de salir. Nadie puede enfadarse.

—Bueno, el que pierda —dijo Sal con voz de pillín.

—¡Qué chulo, Mati! —dijo Ven — ¡Un sorteo justo con una moneda injusta!¡Toma, toma, toma!

—Y una última pregunta —anunció Mati —¿cuál es la probabilidad de que podamos jugar a la lotería cuando acabéis el árbol?

Los dos hermanitos giraron rápidamente la cabeza en la dirección en la gafotas.

—Oh, no, Gauss, ¡otra vez no!

FIN

Pues sí, es tiempo de lotería y de turrones, pero por muy alegres y dicharacheros que estemos esperando los regalitos, nunca hay que perder de vista las mates para no caer en supersticiones.

En estos días, han publicado también sobre este asunto de la lotería navideña en Gaussianos y en Microsiervos, dos entradas muy, muy interesantes que no os podéis perder.

¡Felices fiestas en nombre de Sal, Ven y mío! ¡Y de Gauss!

MATI

—Ven Messi corre por la banda…Sal Ronaldo no puede detenerlo….y ¡gol! ¡Golaaaaaazooooo de Veeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeen!

—¡No, no vale! ¡Es alta! El larguero era hasta aquí —Sal señalaba con su dedito la marca en la valla del jardín, de puntillas sobre sus botas de fútbol. Gauss se acurrucó en el suelo temiendo que le pidieran su opinión.

—¡Gol, gol, gol, golaaaaaaaaaazo de Ven! ¡Sí! —el pequeño seguía su celebración alrededor de la mascota.

—¡Que no vale, Ven, que es alta! Tramposo…

—¿Alquien quiere un trozo de pastel para merendar?

Mati acababa de aparecer en el jardín con una bandeja en la mano que despedía un delicioso aroma azucarado.

—Hola, Mati —el gafotas sonrió mientras seguía mirando de reojo a Ven que intentaba, sin éxito, que Gauss se uniese a su baile ritual de goleador.

—¡Hola, Mati! —gritó finalmente el pequeño —¿Has visto que golazo?

—¡Que no es gol, pesado!

—Bueno, chicos, vamos a merendar y lo discutimos, ¿vale? He preparado una tarta —concluyó la pelirroja.

—¡Qué tarta más graciosa, Mati! ¡Es π! —en la cara de Sal volvió a lucir su sonrisa.

—Sí, es π. ¿Te gusta, Ven?

—¡Toma! ¡Qué chula! Claro que me gusta. ¿Por qué la has hecho así?

—Bah, una tontería que se me ocurrió, como π en inglés suena como pastel, pensé voy a hacer un “π pie” para mis dos matemáticos favoritos.

—¿Tú no quieres, Mati? —preguntó el gafotas.

—Yo voy a tomar una manzana, que el primer pastel no me quedó muy bonito y me lo zampé —contestó Mati mientras les guiñaba un ojo —Además, os propongo un reto. ¿Cómo se divide este pastel, que no tiene simetrías, en dos trozos de forma que los dos quedéis satisfechos?

—Partiéndolo por la mitad, Mati —contestó Sal alegremente.

—¿Cómo calculas la mitad si no hay simetrías?

<!—more—>Sal se quedó muy serio mirando el pastel.

—Bueno —intervino Ven —Mientras Sal lo piensa, voy a seguir entrenando que yo, en realidad, quiero ser futbolista no matemático.

—¿Y por qué no las dos cosas, Ven? —preguntó Mati —El fútbol no está reñido con las matemáticas.

—Claro, Mati tiene razón, ¿recuerdas cuando nos enseñó a buscar el mejor ángulo para lanzar a portería?

— Ya, pero es que si quiero ser un gran futbolista, no voy a tener tiempo para estudiar muchas ‘mates’.

—¿Quién te contó eso, Ven? —preguntó Mati —¿Te suena el nombre de Juan Mata?

—Toma, claro —contestó el pequeño con autosuficiencia —es un jugador de la selección…

—Y del Chelsea —terminó la frase Sal.

—Pues, además de ser un buen futbolista, es un buen estudiante y le gustan mucho las matemáticas. Tanto que ha sido uno de los elegidos por la Real Sociedad Matemática Española para plantear un desafío matemático en El País, con motivo de la celebración del centenario de la misma…

Ante la cara arrugada de los niños, Mati terminó diciendo:

— Venga, os voy a contar el problema que propuso Mata…

—¡Toma, toma, toma! ‘Mata’ se parece a ‘Mati’ —soltó Ven con alegría.

—¡Mati, Mata y las matemáticas” —Sal guiñó un ojo a Mati.

—¿Os lo cuento?

—¡Sí! —gritaron al unísono los dos hermanos.

—A ver, vosotros dos vais a ser los porteros de dos equipos distintos de fútbol.

—¡Yo quiero ser delantero!

—Calla, Ven, deja a Mati, que es sólo un acertijo.

—Claro, Ven, Sal tiene razón. Pues bien, ahora tenemos 20 jugadores puestos en fila y vosotros, por turnos, deberéis elegir un futbolista cada uno, pero sólo de entre los dos que ocupan las esquinas. El único dato que conocemos de cada uno de los 20 futbolistas es el número de goles que marcó en la temporada anterior. Se trata de conseguir el equipo con más goles de la temporada anterior, ¿me explico?

—Más o menos… —contestó Ven

—Vamos a pensarlo con 8 jugadores, 4 para cada uno, que parece más fácil. Mirad chicos, así están colocados los jugadores, numerados del 1 al 8, el número de lacamiseta indica el número de goles que marcaron la temporada pasada.

—Empieza Ven, que es el más pequeño. ¿Cómo lo harías para que al final tus 4 jugadores sumen más goles que los 4 que elija Sal? ¿Cuál escogerías?

—Toma, el de la esquina con más goles, claro.

—O sea, que elegirías el 1

—¿Y tu, Sal, cuál escogerías?

—¡El 2, claro! Es el máximo goleador…

La cara de Ven se encogió un poco.

—Me pido el 8 —dijo rápidamente Ven

—Pues yo el 7 —respondió el gafotas

—¡Ajá, quiero el 6!

Con esa técnica, de elegir siempre la esquina de mayor valor, acabaron con el siguiente reparto. Los futbolistas de la izquierda eran del equipo de Ven, el primero que empezó a elegir.

—Buen, Ven, has perdido —dijo la gafotas —y eso que el que empieza en este juego, siempre tiene una estrategia ganadora…

—¿Cómo? —preguntó Ven cabizbajo.

— Vamos a sumar los goles de todos los futbolistas en posiciones pares.

— Son 54 —dijo alegremente Sal

—Y ahora los de los impares.

—Sale 44, Mati —apuntó Ven.

—Pues bien, la estrategia del primero, es elegir siempre un jugador en la posición par, dejando siempre en las esquinas jugadores de posición impar para el contrincante. Veréis, si Ven toma el jugador número 8…

—Sal sólo puede elegir entre el 1 y el 7, dos impares

—Dejando de nuevo a uno de los pares en una de las esquinas, y así hasta el final.

—¡He ganado, he ganado! —gritó Ven con los ojos cerrados y levantando las manos.

—¿Y si hay un número impar de jugadores, Mati? —preguntó Sal mirando de reojo al exaltado de su hermano.

—En ese caso, no habría estrategia ganadora.

—¡Oé, oé, oé! —Ven seguía su danza, a su aire.

—Bueno, ¿y sobre el pastel? ¿Cómo lo partimos para que nadie se enfade?

—Midiendo el área… —empezó a decir el gafotas.

—Pero eso es muy complicado para hacerlo en una fiesta, ¿no? —le respondió Mati.

—Entonces, ¿cómo? —Ven el futbolista matemático dejó de danzar.

—Pues muy fácil. Uno de los dos parte el pastel en 2 trozos y el otro elige primero. Así, no hay reclamación posible —la pelirroja les guiñó un ojo.

—Ah, ¡claro! —Sal no pudo contener el grito de admiración —¡qué buena idea!

—Pues ya sirve de poco…—dijo Ven con penita —Mirad a Gauss…

FIN

Pues sí, Juan Mata además de ser un buen futbolista es un apasionado de las matemáticas y fue elegido para proponer un desafío y aquí también podéis ver la solución. Como habéis visto, la estrategia que nos propone Juan Mata es una estrategia ganadora para el que empieza a jugar. Si queréis retar a algún amigo a jugar y ganarle, tendréis además que convencerlo de que os deje empezar. Para ello os propongo que elijáis así los números de las camisetas de vuestros futbolistas:

futbolistas

Así seguro que no quiere empezar vuestro amigo porque está obligado a elegir a un futbolista con muy pocos goles y te dirá “empieza tú” y ya has ganado :) Empieza por elegir el 1 y, a partir de hay, todos los impares.

En cuanto al problema de la tarta, cuando son 3 comensales, ya no es tan rápido. En esta entrada está la solución propuesta por el gran Adrián Paenza.

Hasta pronto.

MATI

—¡Hemos ganado el Pitágoras, hemos ganado el Pitágoras! —gritaba Ven con los ojos cerrados y sus brazos en alto.

—El Pitágoras no, Ven, el Bitácoras, Bi-tá-co-ras —Sal tampoco podía dejar de sonreír y saludar a todo el mundo que pasaba por la calle.

—¡Que no, que es el Pitágoras, como el de la estrella de 5 puntas! ¡Que Mati es matemática también! ¿A qué sí, Mati?

—Bueno, los dos tenéis razón. Soy matemática y hemos ganado el premio Bitácoras —dijo ella, también sonriendo como si no hubiese mañana.

—¿Y Bitácoras también era un matemático griego, Mati? —preguntó el pequeño.

—No, Ven, no. Una bitácora era el sitio de los barcos donde se guardaba la brújula para protegerla de las inclemencias del tiempo y de las perturbaciones que los hierros del navío pudieran producir sobre el campo magnético de la misma.

<!—more—>—¿¿¿Qué??? —respondió el pequeño, con la nariz arrugada.

— La ‘cajita’ que protegía a la brújula para que siempre apuntara al Norte… —Mati bajó un poco el volumen y concluyó —…magnético.

—¡Ah, magnéticos, como un juego que tenemos en casa para hacer construcciones!

—Más o menos. —concluyó la gafotas.

—¿Y qué tiene que ver eso con los premios Bitácoras, Mati? ¿Por el magnetismo? ¿Por navegar en la red?

—No, no. Es que el cuaderno de navegación, a veces, se guardaba dentro de la bitácoras para protegerlo de la lluvia, el sol, el viento…y se conocía como cuaderno de bitácoras. Actualmente, cuando se habla de bitácoras en internet, estamos hablando de un blog, que es una especie de cuaderno…

—Aaaaaah… —dijeron los dos hermanos al unísono.

—Ha sido tan emocionante, Mati… —el pequeño Ven andaba a saltitos.

— Y ¿cuántos miembros del jurado nos han votado a nosotros? —preguntó Sal

—No lo sé, cielo.

— Pero, ¿cómo votan? ¿Dando puntuaciones del 1 a 10 como en el cole? ¿O diciendo cuál es su favorito?

—Tampoco lo sé. Pero déjame que planteemos un pequeño problema sobre una votación.

—¡Sí! —gritaron el gafotas y su hermano pequeño.

—Imaginemos que en la final de un concurso tenemos tres candidatos. Por ejemplo, en la categoría de lindeza, estáis vosotros dos y Gauss.

—¡Gana Gauss, seguro! —Sal acarició a su mascota

—Puede ser. Pero imaginemos que le piden a los miembros del jurado, 11, como en los Bitácoras, que ordenen a los candidatos según sus preferencias y que obtenemos el siguiente resultado.

Un miembro del jurado entrega esta papeleta

Otros 4 miembros del jurado ésta otra

También 4 de ellos la tarjeta

Y 2 de ellos, ésta

Vamos a representarlo en una tabla para verlo mejor. Si elegimos como ganador al que más gente prefiere en primer lugar, éste sería Gauss, con 5 votos, pero seguido de muy cerca por Ven, con 4 votos.

Gauss sonrió pícaramente mientras sus dueños lo miraban con ‘pelusilla’.

—Como no hay mayoría absoluta, es decir, Gauss no es el mejor para más de la mitad del jurado, porque hay 6 personas que no piensan que Gauss es el más lindo, haremos una segunda vuelta eligiendo sólo entre los dos que más gente elige en primer lugar, esto es, sin contar a Sal. Eso se hace en muchas países para elegir a su presidente.

El gafotas arrugó la carilla.

—Sal, es sólo una simulación, cielo. Pues bien —continuó Mati —si, en función de las preferencias del jurado, elegimos sólo entre Gauss y Ven, ganaría Ven con 6 votos, sobre los 5 de Gauss.

Ven sacó la lengua a su mascota con ironía.

—Ahora bien, alguien puede protestar por esto. ¿Por qué elegir entre Gauss y Ven si Gauss está en última posición en la papeleta de 6 de los miembros del jurado? Es el que más veces ‘pierde’ de los 3. Votaremos entre Sal y Ven, y en ese caso, ganaría Sal con 6 votos, mientras que Ven se quedaría con 5.

—¡Qué lío, Mati! —Ven estaba mareado.

—Pues sí, depende a los criterios que quieras atender, hay un ganador diferente. Esto ya lo explicó Arrow en su Teorema de la Imposibilidad. Si hay 3 o más opciones, es imposible diseñar un sistema de votación que cumpla todos esos criterios.

—¿Y si se vota dando puntos? — siguió preguntando Sal.

—En ese caso, también estás ordenando tus preferencias, ¿no?

—Ah, claro.

—Pues sí que es difícil ser jurado, Mati…—apostilló Ven con cara de preocupación.

—Pues sí, Ven, de este tipo de situaciones ya se dio cuenta un señor del siglo XVIII, Nicolas de Condorcet. Es decir, que aunque las preferencias de cada votante es transitiva, el resultado final, puede no serlo.

—¡Transitiva! Eso lo hemos estudiado en la clase de matemáticas. —gritó Sal.

—¿Qué es eso? —preguntó el más pequeño cabizbajo.

—A ver, pensemos en 3 dados, Ven —empezó a decir Mati —Los lanzamos los tres a la vez. Si el primero saca más puntos que el segundo, y el segundo saca más puntos que el tercero, ¿quién ha sacado más puntos el primero o el tercero?

—¡Toma, Mati, el primero!

—Eso es un propiedad transitiva, ¿ves? Si A es mayor que B y B es mayor que C, entonces A es mayor que C.

—Claro, Sal es mayor que yo y yo soy mayor que Elio, entonces Sal es mayor que Elio.

—Exacto. Esto me recuerda a un juego con dados con el que podéis sorprender a papá y mamá, el de los dados no transitivos.

—¿Dados no transitivos? Imposible, Mati. —dijo Sal con la mirada de sospecha.

—A ver, vamos a construir con cartulina, tijeras y pegamento, 3 dados cada uno con la siguiente numeración en sus caras

—Están mal, Mati —dijo Ven con cara seria.

—No, no están mal, son diferentes —la pelirroja guiñó un ojo — Vamos a proponer el siguiente juego a nuestro adversario. Le diremos que elija un dado, el que quiera. Nosotros elegiremos otro, después, y ganará el que más veces haya ganado después de 10 lanzamientos, ¿vale? Si dicen que estos dados están ‘mal’, le diremos que, bueno, que todas las caras suman 21 en los tres dados y que por lo tanto, la media de la puntuación de cada tirada es 21/6 en todos y que todos tienen las mismas posibilidades de ganar. Si el contrincante no lo piensa mucho, pensará que es verdad.

—¿No lo es, Mati? —preguntó el gafotas con cara de pillo.

—No, no lo es. Si usamos el rojo y el azul, vamos a ver qué cuantas veces gana el rojo y cuántas el azul.

—Ahora, con el rojo y el verde.

—Y por último, el azul con el verde

—O sea que tenemos

—Así, una vez que el contrincante haya elegido su dado, nosotros elegimos en función de esto que sabemos y que no le diremos —y les sonrió con una sonrisa un pelín descarada.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola, Mati! —Ven tenía los ojos abiertos de par en par.

—Me recuerda al juego de piedra-papel-tijera —continuó el gafotas —La piedra gana a la tijera, la tijera gana al papel y el papel gana a la piedra.

—Muy bien, Sal. Ése es otro ejemplo de no transitividad.

—¿Nos vamos ya? Quiero contarle a todos mis amigos que ¡nos han puesto un 10!

FIN

—¡¡Y que cumplas muuuuuuchos más!! ¡¡Bieeeeeeen!! —Todos los amiguitos de Sal, cantaban con alegría para felicitarlo por su noveno cumpleaños, pero sobre todo Ven y Elio.

—¡Ya tienes casi 10 años, Sal! —Elio miraba a su primo con admiración, como a un ídolo.

—Bueno, bueno, Elio, me falta un año completo.

—Pero 9 es casi 10, eso sí —dijo Ven orgulloso de su hermano, con una sonrisa de oreja a oreja mientras acariciaba el nuevo balón de fútbol que le habían regalado a Sal.

—Si tuviera 9’9999999999…. años, entonces si que tendría casi 10, ¿eh chicos? —repuso el gafotas con una sonrisa.

—Pero para que tengas 9’9999999999….con infinitos nueves, falta exactamente un año, porque 9’9999999… con infinitos nueves, que se dice 9’9 periodo, es exactamente 10. ¡Feliz cumpleaños, Sal!

Era Mati la que acababa de entrar en el salón para no perderse la tarta de galletas y chocolate habitual en los cumpleaños de la familia.

—¡Hola Mati! —Ven soltó el balón y se abrazó la pelirroja, Gauss movió la cola con alegría y se unió al abrazo.

—¿Me habéis guardado un poco de tarta?

—Claro, Mati —Sal se acercó a ella, feliz, pero ya con la mirada de sospecha —No puede ser, Mati, 9’99999999999… no es 10, le falta un poco, ¿verdad?

—No, no le falta nada. En nuestro sistema de numeración, el decimal, 9’99999….. es 10, es otra forma de escribirlo, simplemente. Como 0’9999999999999… es 1.

—No te creo, Mati… ¿Es una broma?

—No, cielo, no es una broma.

Ven y Elio miran con los ojos como platos a Mati esperando la magia de la pelirroja. En ese momento, ella saca su pizarra.

—Vamos a verlo, chicos. Para ello, primero dividimos 1 entre 9.

—Ya tenemos que 1/9=0’1111…

—Ahora si multiplicamos por 9, tenemos:

—¡Toma, toma, toma! —el pequeño Ven alucinaba y saltaba abrazado a Elio.

—En realidad, son sólo 2 formas distintas de nombrar al mismo número —remató la gafotas.

—Es increíble, Mati, me gusta tener 9 años, ¡me gusta el 9! —Sal estaba emocionado y deseando llegar al cole para contárselo a sus compañeros.

—Pues te voy a regalar otro truco del 9 para que se lo enseñes a tus amiguitos. Se llama la prueba del 9 y sirve para saber si hemos hecho bien, por ejemplo, una multiplicación. Pero antes necesitamos saber qué es la raíz digital de un número.

—¿Cómo la raíz cuadrada? —preguntó Ven al que le sonaba de algo.

—No, mucho más fácil, Ven. Para calcular la raíz digital de un número, sólo hay que sumar sus cifras. Si el resultado tiene más de una cifra, lo volvemos a sumar. Y así hasta que nos quede una sola cifra. Vamos a hacer un ejemplo.

—Pues, muy bien —continuó Mati— si tenemos una multiplicación, por ejemplo… A ver, ¿quién me dice una?

—9654 × 48 —se apresuró a decir Ven con cara de pillín.

—Estupendo, ¿la haces, Sal?

El gafotas se puso con empeño en la pizarra, y al cabo de un rato, con su hermano y su primo admirando su tarea, tenía en la pizarra

—Muy bien, pues ahora pintamos una equis y ponemos en la parte de arriba de la equis la raíz digital del factor de arriba y en la parte de abajo, la raíz digital del factor de abajo, así

—A continuación, multiplicamos los dos números que están en la equis, calculamos su raíz digital de nuevo y lo colocamos a la derecha.

—Pues bien, la raíz digital de nuestro resultado, 463392, debe ser 9, porque si no, está mal hecha la operación.

—¡Soy un crack! —exclamó Sal al ver que la raíz digital de su producto coincidía con la raíz del producto de las raíces digitales —¡Oé, oé, oé…!

Ven y Elio se unieron a la fiesta y los tres bailaban en círculos alrededor de Gauss que empezaba a marearse.

—Efectivamente, tu resultado está bien, pero, ¿y si hubieras escrito 643392, sólo intercambiando las 2 primeras cifras?

Sal dejó de bailar, los otros dos siguieron un poco más.

—Pues que la raíz digital del resultado también sería 9 y sin embargo, la cuenta está mal hecha…—contestó el gafotas perdiendo poco a poco el entusiasmo y bajando progresivamente la voz.

—Sí, la prueba del 9 sólo es definitiva para afirmar que te has equivocado. Pero puede dar falsos positivos.

—Entonces, ¿por qué se usa, Mati?

—Bueno, principalmente, porque la probabilidad de obtener un falso positivo es relativamente baja, es decir, que casi siempre acierta.

En ese momento, Ven dejó de bailar y exclamó:

—¡Toma, además 9 son los planetas de nuestro sistema solar!

—No, son 8 y lo sabes, Ven, Plutón no es un planeta —le contestó su hermano con cierto aire de cansancio.

—Para mí, sí es un planeta, es mi favorito y tengo un planetario chulísimo que tiene a Plutón.

El pequeño siempre se enojaba con este asunto.

—Pero porque es antiguo, Ven, los nuevos no lo traen.

—Sal tiene razón, Plutón ya no es un planeta, desde 2006…

—¡El año que yo nací! —interrumpió Elio.

—Exacto, Elio, en 2006, cambiaron la definición de planeta y Plutón pasó a ser un planeta enano.

—No me importa, a mí me gusta, y es un planeta —la carita de Ven se ensombreció de tristeza.

—A mí también me gusta, Ven —siguió Mati —pero como Plutón hay más objetos similares, incluso más grandes, como Eris. Además, su órbita, la de Plutón, es diferente a la de los otro ocho planetas, no es circular y está más inclinada…

—A mí tampoco me importa —bufó Elio con cara de enfadado —Es el más pequeñito y no lo podemos dejar solito…

—Pero no está solito, chicos, tiene, al menos, cuatro lunas que lo acompañan, ¡más que la Tierra! En cualquier caso, chicos, no nos pongamos tristes, que es el cumpleaños de Sal. Por cierto, mira lo que hay por aquí…

Mati sacó una bolsa de colores y se la entregó a Sal que la abrió con alegría y sacó ¡otro balón de fútbol!

—¡Ya te han regalado dos balones, Sal! —dijo Ven con alegría.

—¡Me encanta! —dijo el gafotas —A éste le llamaremos “Plutón” y será nuestro balón de la suerte. Vamos a probarlo.

FIN

Pues sí, la prueba del 9 sirve para detectar si nos hemos equivocado al hacer una multiplicación. Para que la multiplicación esté bien, el producto de las raíces digitales de los factores debe coincidir con la raíz digital del producto

Pero también se puede usar, de forma similar, para comprobar sumas, sabiendo que la suma de las raíces digitales de los sumandos debe coincidir con la raíz digital de la suma

O, si se quiere, para la división, como vemos en el siguiente ejemplo

Pero no hay que confiar si el resultado es positivo, porque al alterar el orden de dos de las cifras del resultado de cualquiera de estas operaciones, la raíz digital de dicho resultado. En cualquier caso, como la probabilidad de que nos hayamos equivocado exactamente en dos números cambiados de sitio, en la mayoría de los casos funciona. Eso sí, si la prueba dice que lo hemos hecho mal, seguro que lo hemos hecho mal.

En latín, a esta prueba se le llamaba Abjectio novenaria y ya era conocida por el obispo Hipólito en el siglo III y usada en el XII por matemáticos hindúes. En cuanto a los falsos positivos, ni siquiera Richard Buckminster Fuller se dio cuenta cuando la usaba, ¡y eso que Fuller era un señor muy listo que fue muy famoso gracias a la tensegridad!

En todo caso estas pruebas se basan en que si

p x q = s entonces p(mod 9) x q (mod 9)= s(mod 9)sabiendo que p (mod 9) es el resto de dividir p por 9Por tanto si la segunda igualdad no se da, podemos afirmar que la primera también es falsa. Sin embargo, si se da la segunda igualdad no podemos afirmar con un 100% de garantía que la cuenta esté bien realizada.

Entonces surge la pregunta ¿por qué módulo 9?

Es evidente que para este tipo de comprobación necesitamos un número que verifique dos condiciones:

1. El cambio de cualquier dígito del número ha de influir sobre la divisibilidad: esto por ejemplo no ocurre con el 2 o el 5 (en los que la divisibilidad de un número sólo depende del último dígito), ni con el 4 (la divisibilidad depende de los dos últimos dígitos), ni con el 8.

2. Debe ser fácil de comprobar la divisibilidad por dicho número.

Estas dos condiciones nos limitan al 3, 6 y 9, pero la prueba tal y como la hemos descrito es la más adecuada porque para obtener un falso positivo hay que equivocarse en más de un dígito.

Si queréis profundizar más sobre cómo Plutón dejó de ser un planeta para ser un plutoide, os dejo este enlace y un vídeo muy divertido sobre el caso Plutón.

Hasta pronto.

Mati

—¿Vamos al jardín a jugar con Gauss? —propuso Sal a su hermano mientras trataba de convencer a su mascota de que se levantara de su camita.

—Hace frío.

—No hace frío —replicó el gafotas mientras se acercaba a la estación meteorológica del salón —Hace 18º fuera, eso no es frío.

—¡Anda que no! Hace la mitad de calor que en verano que hace 36º o más…

—¡Pero el doble que en invierno que hace 9º o menos!

—Bueno, bueno, eso no es exactamente así, caballeros…

—¡Hola, Mati! —saludaron los dos hermanitos con alegría. Gauss se acercó a buscar el achuchón de la pelirroja.

—Hola chicos. Dos cosas. Uno: no hace tanto frío, podemos salir al jardín. Dos: 36º no es el doble de calor de 18º, ni 18º el doble de 9.

—¿Cómo? —protestó Sal —18 × 2 es 36, Mati…

—Si, pero no es necesariamente el doble de temperatura, depende de la escala elegida para medirla.

Sal, Ven y Gauss se quedaron muy serios mirando a la gafotas que continuó:

—Nosotros medimos la temperatura usando grados Celsius, o centígrados, como se les llamó tras la Revolución Francesa, que impuso el sistema métrico decimal. Pero en Estados Unidos y en algún que otro país de América Central, la temperatura se mide en grados Fahrenheit.

—Entonces, en Estados Unidos, ¿no usan los termómetros como nosotros cuando están resfriaditos?

—Naturalmente, pero miden los grados con otra escala, se llama escala Fahrenheit, en honor al físico que la diseñó que tenía ese apellido.

—Supongo que Fahrenheit era estadounidense, ¿no, Mati?

—Pues no, Daniel Gabriel Fahrenheit era alemán, nacido en la ciudad alemana Danzig, que actualmente se llama Gdansk y está en Polonia.

—Y si era alemán, ¿por qué en España no la usamos? ¿Por qué el otro era español?

—¿Quién? ¿Celsius? No, tampoco, era sueco. Propuso una escala para medir la temperatura, después que Fahrenheit por cierto, que iba de 100º a 0º, 100ºC para la temperatura en que se congelaba el agua a nivel del mar y 0ºC para la temperatura en que hierve el agua al mismo nivel.

—¡Al revés, Mati! —dijo Ven con sonrisa pícara

—No, así, en serio. Cuanto más calor hacía, menos temperatura marcaba. Más tarde, otro sueco, Carlos Linneo, fue el que le dio la vuelta al termómetro y lo dejó como lo conocemos ahora: 0ºC temperatura de congelación del agua y 100ºC para la ebullición de la misma.

—Qué curioso…y para Fahrenheit, la temperatura no iba a de 0 a 100.

—Bueno, para Fahrenheit, el 0ºF estaba en el punto de congelación de agua con hielo y cloruro de amonio que no es el mismo punto dónde lo puso Celsius, sino una temperatura mucho más baja aún.

—¡Ay, que lío, Mati!

—Entonces, si nos ponemos malitos en Nueva York, no entenderemos los termómetros —continuó Sal preocupado.

—No, hombre —os enseñaré a transformarlo, ya veréis qué fácil. El agua se congela a 0º C y hierve a 100º C, lo que indica una diferencia de 100º. El agua se congela a 32ºF y hierve a 212º F, lo que indica una diferencia de 180º. Por lo tanto cada grado en la escala Fahrenheit es igual a 100/180 o 5/9 grados en la escala Celsius.

Si tenemos la temperatura en grados centígrados o Celsius, la tenemos que multiplicar por 9, el resultado lo dividimos por 5 y a lo que salga, le sumamos 32. Vamos a transformar en grados Fahrenheit 9, 18 y 36 grados Celsius.

— ¿Veis? Cuando hace 36ºC no es el doble de temperatura de cuando hace 18ºC, porque 96,8ºF no es el doble de 64,4ºF. Luego, depende de la escala con que se mida

—Y si en Estados Unidos hace 36ºF, ¿cuántos grados Celsius serían?

—Vamos a calcularlo

—¿2,2 grados? ¡Qué frío, Mati! —dijo Ven acurrucándose junto a la pelirroja.

—Sí, bastante frío, la verdad. Y, ¿sabéis qué? Cuando Fahrenheit diseñó su escala, se midió su temperatura corporal y tenía 100ºF, ¿qué os parece?

Sal y Ven se pusieron a hacer sus cuentas en la pizarra de Mati y concluyeron:

—37,777ºC, Mati —dijo el gafotas.

—Casi malito…—añadió Ven con cara tristona —Mamá dice que con 38ºC ya estamos malitos…

—Sí, efectivamente, estaba un poco destemplado, pero no le pasó, nada, Ven, no te preocupes —tranquilizó al pequeño —Pues, ¿sabéis qué?, además de estas dos escalas, la Celsius y la Fahrenheit, existe otra escala, la de Kelvin, que es la que usan principalmente en investigación, que se representan con K, sin cerito, y que no se llaman grados, por ejemplo 36 K, se dice 36 kelvins y son -237,15 ºC —dijo Mati mientras les guiñaba un ojo —Un poco más de frío, ¿no?

Los dos hermanos la miraban con los ojos redondos como platos y hasta Gauss parecía temblar de frío.

—Bueno, frioleros, ¿veis como 8 no es siempre el doble de 4? ¿Que depende de la escala con que estemos midiendo?

—Bueno, si hablamos de temperaturas…

—O de terremotos —contestó Mati.

—¡¿Cómo?! —Ven tenía ahora frío y miedo —no me gustan los terremotos.

—Ni a ti ni nadie, creo, cielo. Pero con los terremotos pasa lo mismo, un terremoto de magnitud 8 (en la escala Richter) no es el doble de un terremoto de magnitud 4 en la misma escala, sino que es 10000 veces más grande.

—¡Toma, toma, toma! —dijo el pequeño mientras desencajaba la mandíbula y el gafotas desviaba la mirada hacia algún punto en su mente.

—¿Por qué? —terminó preguntando Sal.

—Pues porque la escala Richter es una escala logarítmica, en base 10, y cada grado que sube es como si multiplicáramos por 10. Un terremoto de grado 5, es 10 veces mayor que uno de grado 4, uno de grado 6 es 100 veces mayor que el de 4, uno de grado 7, 1000 veces y el de grado 8 será 10000 veces mayor.

—¡Qué complicado, Mati! —protestó Ven —¿por qué lo hacen así?

—Bueno, Ven, en general, las escalas logarítmicas son muy útiles cuando los valores que vamos a tomar pueden variar mucho y se usan mucho en procedimientos científicos. De hecho, la escala Richter sólo se usa en California, fuera de allí se llama escala de magnitud del momento. O sea, que la magnitud de los terremotos de la isla de El Hierro, se están midiendo con esta última escala, que es también un escala logarítmica como la de Richter.

—Bueno, creo que me voy al jardín. Sí, no hace tanto frío, nada de frío… —dijo Ven tomando en brazos a Gauss y saliendo del salón.

Mati y Sal se miraron, sonrieron, entendieron el mensaje y salieron tras él.

FIN

Pues sí, hay distintas escalas para medir la temperatura, y las tres más conocidas son la de Celsius, la de Fahrenheit y la de Kelvin.

Y en cuanto a terremotos, la más conocida es la escala de Richter, aunque los sismólogos no utilizan esa escala, sino la escala sismológica de magnitud del momento. De hecho, la de Richter sólo se usa en la falla de San Andrés, en California, con la medida realizada por un sismógrafo en particular y tiene un valor máximo en 6,8. Al modificarla para medir magnitud local en otras zonas, dejó de llamarse así. Sin embargo, la gente la conoce como escala de Richter porque los periodistas se empeñan en añadir ‘de Richter’ cuando se habla de magnitud local. Lo tenéis muy bien explicado en esta entrada de Microsiervos.

En este episodio de nuestras Mateaventuras, además de informar sobre estas escalas, lo que pretendíamos es llamar un poco la atención sobre otras afirmaciones que también leemos a veces en la prensa, por ejemplo, que nos ‘explican’ que un terremoto de intensidad 9 es el doble de intenso de uno de 4,5 y esas cosas, cuando no es así.

Y parafraseando un dicho español popular “Nada es verdad ni mentira, todo depende de la escala con que se mida”.

Hasta pronto

Mati