—¿Falta mucho, Mati? Estoy cansado…

Ven casi no puede andar después de pasar el día en el parque de atracciones.

—Yo no puedo más… —añadió Sal que casi ya no podía con sus gafitas, mientras agarraba a su loro al que habían decidido llamarle Fermat porque hablar, no había demostrado que pudiese hablar.

—Sólo hay que cruzar el puente y llegamos. ¡Ánimo, piratas!

—Es que este puente es tan largo…

—Ven tiene razón, Mati, es larguísimo.

Mati, viendo la moral de su tropa derribarse por momentos, le pregunta:

—¿Sabéis cómo se llama este puente?

—Barqueta —dijo Sal casi sin resuello.

—Parece un canasto.

—Sí, es verdad —dijo Mati sonriendo.

—A mí me gusta más el del Alamillo…

—¿Cuántos puentes hay en Sevilla, Mati?

—Uy, pues sólo sobre la dársena del Guadalquivir hay 9…

—Contando el del Quinto Centenario, ¿no?

—Bueno, ése está sobre el brazo vivo del río, y no está en la ciudad… Oye, por cierto, os voy a contar un acertijo sobre puentes y descansamos un rato.

Los pequeños, sin decir nada, se dejaron caer sentaditos en el suelo.

—Hace mucho tiempo, en el siglo XVIII, en una ciudad llamada, por entonces, Könisberg, pasaba un río, Pregel, que dividía a la ciudad en cuatro partes…

—¿Cómo puede ser eso, Mati? —interrumpió Sal mirando por encima de las gafotas.

—Pues porque tenía esta forma, a ver:

—En esos tiempos, alguien formuló la siguiente pregunta: «¿Es posible, comenzando en cualquier sitio de la ciudad de Könisberg, elegir un camino que nos permita pasar una única vez por cada uno de los siete puentes sobre el río Pregel?»

—¿Andando? —preguntó Ven despavorido.

Mati soltó una carcajada.

—Bueno, eso da igual, en bici, si quieres —le respondió la pelirroja.

—¿Existían las bicis? —quiso saber el gafotas.

—Pues no, porque el precursor de la bicicleta fue un señor inventor alemán, Karl von Drais, y eso fue ya en el siglo XIX —les contó —Pero bueno, como estáis cansaditos, lo pensaremos en bici. ¿Qué creéis? ¿Se puede?

Los niños se quedaron un rato pensando, garabateando el mapa de Könisberg que les había dado.

—Fijaos en una cosa, si ponemos un punto en cada una de las cuatro partes de la ciudad y una rayita uniendo los puntos, como si fueran los puentes…

…la pregunta sería si puedo dibujar esto:

sin levantar el lápiz y sin pasar dos veces por la misma rayita.

Finalmente, Sal sentenció:

—No, no se puede.

—¿Por qué?

—Porque no nos sale —respondió con cara de pícaro sabiendo que eso no era un prueba concluyente para Mati.

—Pues, muy bien, ésa es la respuesta pero no es la explicación. Fue Euler, un matemático muy famoso, el que demostró que, efectivamente, era imposible. Este tipo de dibujos, con puntos y líneas, se llaman grafos. Pues bien, Euler, que era más listo que la mar, demostró que un grafo se puede dibujar empezando en uno de los puntitos pasando por todas las líneas, sin repetir ninguna, sólo si, como mucho, hay dos puntos que tienen un número impar de líneas saliendo de ellos.

—Vamos a ver qué pasa con nuestro grafo. Contaremos cuántas líneas salen de cada punto.

—Todos son impares, Mati —dijo Ven con tristeza.

—Entonces, no se puede, porque no puede haber más de 2. ¿Y éste? ¿Se puede?

—Bueno, tampoco, porque tiene cuatro puntos con un número impar de líneas —aseguró, muy acertadamente Sal.

—Muy bien, Sal. En realidad, no hace falta contar las líneas que salen de cada punto, en el momento en que encuentras tres puntos con un número impar de ellas, ya has terminado.

—Otro, Mati, ¡otro! —pidió entusiasmado Ven

—A ver éste:

Los niños se pusieron manos a la obra a contar las líneas que salían de cada vértice, finalmente el pequeño gritó:

—¡Tampoco! ¡He encontrado ya tres puntos con 5!

—Muy bien, Ven. Ahora probemos, con otro, ¿se podrá dibujar sin levantar el lápiz y sin pintar ninguna rayita dos veces?

—¡Éste sí! —Sal estaba sonriendo satisfecho—; ¡todos son pares!

—Exacto. A ver si sois capaces de dibujarlo sin repetir líneas y sin levantar el lápiz.

Los dos hermanos se pusieron manos a la obra y tras algún que otro intento fallido, encontraron la forma de hacerlo como les había pedido su amiga Mati.

—Muy bien, piratas. Estoy orgullosa de vosotros. Otro más.

—Todos pares —dijo Ven muy orgulloso.

—Pues, nada, intentad hacerlo —Mati les guiñó un ojo.

—¿Ahora, Mati? Estoy muy cansado.

Mati acarició la carita de los dos pequeños mientras que reiniciaban el camino a casa.

FIN

El problema de los puentes de Könisberg es famoso por ser el origen de una rama de las matemáticas conocida como Teoría de Grafos. Efectivamente, fue Euler el matemático que lo resolvió y por eso, a los caminos que recorren todas las aristas (líneas) del grafo, sin repetir ninguna, se les llama caminos eulerianos.

Si queréis profundizar más en este problema os recomiendo esta entrada en Gaussianos.

Cuando se planteó el problema de los puentes, Könisberg formaba parte de Prusia Oriental. Actualmente la ciudad pertenece a Rusia y se llama Kaliningrado. De los 7 puentes originales, dos fueron destruidos durante la Segunda Guerra Mundial. Otros dos de los puentes, se derribaron y reemplazaron por otros más modernos en el mismo emplazamiento. Con lo que, actualmente, sólo quedan 5 puentes (de los originales) en la ciudad como se ven en la figura, marcados en amarillo.

Y la pregunta es: y con esos 5 puentes, ¿se puede hacer un recorrido comenzando y terminando en el mismo punto de la ciudad y pasando una y sólo una vez por cada puente?

—…200 gramos de azúcar, media docena de huevos…

—¿Docena? No, será decena.

—Aquí pone docena, Sal.

—Lee bien, Ven, que si no, no nos saldrán bien las magdalenas.

Mamá les había pedido a Sal y Ven que copiasen de una página web los ingredientes de la merienda que van a cocinar, y lo hacían con interés. Las magdalenas son su merienda favorita. Gauss estaba atento a la pantalla del ordenador, salivando cómo si ya oliera a comida.

—Pero si es que pone do-ce-na —insistió el pequeño leyendo con la naricilla casi rozando la pantalla del monitor.

—Qué extraño… en clase sólo usamos unidades, decenas, centenas…

—Bueno, Sal, es lo habitual si usamos nuestro sistema de numeración, en base 10 —Mati acababa de aparecer en escena.

—¡Hola Mati! ¿Quieres hacer magdalenas con nosotros esta tarde? —preguntó Ven con una gran sonrisa.

—Claro, me encantan, sobre todo, con aceite de oliva.

Sal saludó a Mati con un abrazo mientras seguía con la mirada perdida, pensando en algo hasta que, finalmente, preguntó:

—¿Y qué es una docena, Mati?

—Una docena son doce unidades.

—Y media docena, ¡son 6 huevos! —sentenció Ven con su habitual entusiasmo.

—Exacto, pequeño.

—¿Y para qué se inventaron las docenas si tenemos las decenas? —siguió preguntando el gafotas, con su curiosidad habitual.

—Bueno —comenzó diciendo la gafotas —el 12 es mejor para repartir que el 10, sobre todo si son ¡huevos!

—¿Por qué, Mati? —quiso saber Ven

—Pues porque el 12 tiene más divisores que el 10, se puede dividir por 2, por 3, por 4 y por 6. Y eso es cómodo cuando se trata de huevos, o de meses, por ejemplo. El año tiene 12 meses y se divide en bimestres, trimestres, cuatrimestres o semestres.

—Pero el 10 también se puede dividir por 4, Mati, y tienes 2,5 —contestó Sal

—Claro, pero lo difícil es poner en la receta 2,5 huevos crudos, ¿no?

—Toma, claro —pensó el pequeño en voz alta.

Sal seguía intentando rebatir los argumentos a favor de las docenas, Gauss se había dormido.

—Mira, Sal —continuó la pelirroja —Vamos a ver qué números son los mejores para repartir huevos, ¿vale? Fíjate en la tabla.

—El 6 es el primero que nos permite dividir en grupos de 2 formas diferentes (con 2 o 3 huevos), el primero que nos permite dividir en 4 formas diferentes es el 12 (2, 3, 4 ó 6 huevos), la docena; el primero que nos permite dividir de 6 formas diferentes es el 24 (2, 3, 4, 6, 8 ó 12 huevos), dos docenas; y ya hasta el 36, tres docenas, no encontramos 7 formas distintas de hacerlo.

—Alucinante… —observó Sal

—Por esta razón, se han usado las docenas como unidad de medida durante mucho tiempo, se sabía el precio de la docena, por ejemplo, y a partir se calculaba el precio de las cantidades más pequeñas, y aún se siguen usando para los huevos, los lápices…

—También el día se divide en 24 horas, ¡2 docenas! —dijo el gafotas

—¡Toma, toma, toma! —se alegró Ven —¡qué chulada! Por eso los dados sólo tienen hasta el 6, ¿no?

—No, cielo, eso es porque el cubo tiene 6 caras —contestó sonriendo Mati —, pero el 6 tiene más cosas curiosas. Es el primer número que se puede conseguir como producto de sus divisores propios, el 2 y el 3. Y también es el único número que es suma y producto de tres números consecutivos, 1+2+3=6 y 1 × 2 × 3 =6

—Y 6 son los años que tengo —afirmó Ven con una sonrisa de satisfacción.

—Al menos, hasta la semana que viene —dijo Mati

—Eso, eso, ¿vendrás a mi fiesta?

—Claro, y te voy a enseñar un acertijo para jugar con tus amigos en la merienda. Imagina que tienes una moneda…

—¿De cuánto? —inquirió Ven

—No sé, de un euro, por ejemplo.

—¡Tengo muchas en la hucha!

—Bien, eso está bien. ¿Cúantas monedas de un euro puedes poner alrededor de la primera, de forma que todas la toquen?

Ven se quedó serio, Gauss se sentó a pensar, Sal salió en busca de la hucha. Con las monedas en la mesa, se pusieron a probar.

—Tienen que ser todas iguales, ¿eh? —recordó la pelirroja a los dos hermanos.

—¿Cinco? -preguntó el gafotas

—No, siete, si las aprietas… —corrigió el pequeño

—No vale montar unas encima de otras, ¿eh? —dijo Mati

—Entonces, ¡seis!

—Muy bien, Ven, seis monedas.

—¿Y si la moneda fuese más grande, Mati?

—Da igual, Sal, cualquier círculo, del radio que sea, puede ser rodeado, como máximo, con 6 círculos del mismo radio, de forma que todos lo toquen.

—¿Lo habéis probado con todos? —preguntó Ven con una sonrisa pícara

—No, pero se puede demostrar. Este problema se conoce con el nombre de los círculos osculatrices…

Ante la mirada de los chicos con las caritas arrugadas, les explicó:

—Osculatriz es una palabra que proviene de ósculo, que significa beso.

—¡Vaya palabreja!

—Bueno, Ven, si quieres les llamamos círculos besucones, ¿vale? Pues, con monedas iguales, cualquier moneda puede rodearse, como máximo, de otras seis que la besan.

—Con bolas (esferas) del mismo tamaño, sin embargo, una bola puede ser besada hasta con ¡12 bolas besuconas!

—¡Wala! —se asombró Ven

—Otra vez el 12… —masculló Sal, muy, muy serio y concentrado.

—Bueno, ahora me tengo que ir, os dejo con vuestra receta, ¿me dáis un beso?

—¡Te damos 6!

FIN

Ahora os voy a proponer dos acertijos clásicos que están relacionados con este capítulo.

El primero de ellos, se cree que de origen ruso , es el siguiente:

_Dos amigas se encuentran después de muchos años sin verse, tras la efusión de los saludos iniciales, una de ellas pregunta a la otra:

—¿Cuántos hijos tienes?

—Tres

—¿De qué edades?

—Pues mira, si multiplicas las 3 edades te sale 36 y si las sumas tienes la fecha de hoy.

La otra amiga se queda pensando y dice:

—Me falta algún dato, ¿no?

—Ah, perdona, tiene razón, la pequeña juega muy bien al fútbol._

¿Cuántos años tienen sus hijos?

—————

El otro acertijo es parecido problema al de las monedas besuconas, con círculos, pero ahora dentro de una caja. Imagínate que tienes en un cajoncito 48 monedas idénticas, como en la figura.

La pregunta, ¿puedes poner alguna moneda más?

Ah, y sobre el problema de las esferas besuconas, os recomiendo esta entrada en Gaussianos.

Hasta pronto.

Mati

SOLUCIONES A LOS ACERTIJOS

«—Personas refinadas y sofisticadas como nosotros no deben ensuciar sus labios con obscenidades.» —dijo Patricio a su amigo Bob, y se quedó tan pancho

Sal y Ven se deshacían en carcajadas, cosa que nada tenía que ver con lo que había dicho la estrella de mar, sino más bien con el hecho de que éste era el personaje favorito de los dos en la serie de Bob Esponja.

—Uf, ¡qué antipático es Calamardo! —se quejó con tristeza Ven.

—Es verdad, menos mal que Bob siempre trata a Patricio con cariño —le respondió su hermano.

— Por cierto, Sal, ¿todas las estrellas de mar tienen cinco puntas, una para la cabeza, dos para los brazos y dos para las piernas, como Patricio?

— Ven, es un dibujo animado…

—Ya lo sé —respondió Ven molesto —sólo quería saber si todas las estrellas de mar tienen 5 puntas.

—No todas, la mayoría sí, pero algunas no. —era Mati quien hablaba

—¿Hay estrellas de más de 5 puntas, Mati? —preguntó el gafotas

—Sí, por ejemplo, las de la familia Solaster dawsoni

—Pues a mí me gustan más las estrellas de 5 puntas, como Patricio —sentenció el pequeño, mientras el gafotas se mostraba ilusionado.

—Bueno, a mí también, Ven —continuó la pelirroja —Las estrellas de cinco puntas, son muy importantes para los matemáticos.

—¿Por qué? —preguntaron los dos hermanos al unísono.

—Os cuento, la estrella de cinco puntas, llamada Pentagrama…

—El pentagrama son 5 líneas para escribir música, Mati —interrumpió Ven mosqueado —nos lo explicaron en clase.

—También, también se llama pentagrama, es cierto. Pero en geometría, un pentagrama es una estrella de 5 puntas como ésta:

—También se le llama Estrella Pitagórica, porque Pitágoras y sus discípulos la usaban como símbolo de su escuela. ¿Seríais capaces de dibujarla de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel?

Sal y Ven se pusieron manos a la obra. Fue el pequeño, Ven, el que antes lo consiguió y lo explicó con entusiasmo.

—Mira, así —y dibujó en su cuaderno

—¿Veis? Hay que dibujar 5 líneas, tiene 5 puntas y sin las puntas, nos queda un pentágono, que es un polígono con 5 vértices.

— Una estrella con muchos 5, la estrella de los aprobados raspones — bromeó Mati y les guiñó un ojo —pero aparte del 5, el pentagrama esconde otro número más famoso e importante: el número de oro, que se escribe con la letra griega φ (o en mayúsculas Φ) (que se lee fi)

—Otra letra griega, como π —señaló Sal con una sonrisa de oreja a oreja

—¡Ajajá! —dijo Ven con mirada de pillín —Ya lo entiendo todo. Seguro que como π servía para medir los círculos, el número de oro sirve para medir las estrellas de 5 puntas. ¡Soy un crack!

Mati se rio y Sal miró a su hermano arrugando la nariz para subirse las gafotas.

—No, no exactamente. El número de oro, φ es un número irracional como π, pero se encontró midiendo segmentos de rectas. Os lo explico con un dibujo, veréis.

—En este dibujo, se cumple que

—Pero, ¿cuánto vale? —pregunta Ven que no entendía muy bien la sección aúrea.

Mati escribió en su pizarra

— Yo lo que no sé es qué tiene que ver φ con la estrella pitagórica… —masculló el gafotas.

—Ah, sí, es verdad. Os lo cuento ¿Qué queda si quitamos las 5 puntas?

—¡Un pentágono! —gritó Ven

—Pues en ese pentágono, observad

—Pero el número de oro está escondido en más sitios del pentagrama

—Entonces —Mati escribió

—¡Cómo mola Mati! —alucinaba Ven

—Y ese número de oro, ¿está sólo en el pentagrama? —preguntó Sal

—No, está en muchas figuras. Otra de la más conocidas es el rectángulo de oro, que es un rectángulo con la propiedad de que si divides el lado largo por el lado corto, te sale el número de oro.

Por ejemplo, las tarjetas de crédito son rectángulos de oro.

Se usa mucho, desde hace mucho tiempo en arquitectura, por ejemplo, está por todas partes en el Partenón de Atenas…

…en la catedral Notre Dame de París…

…en el cuadro de la Gioconda de Leonardo DaVinci…

—Mirad, —siguió la gafotas —si queréis saber si un rectángulo es de oro, pedid una tarjeta de crédito prestada, y alejaos hasta que consigáis tapar el rectángulo con la tarjeta, alejándola con el brazo.

Pero no sólo en las matemáticas y en la arquitectura, sino que lo que más sorprende de este número de oro es que lo podemos encontrar en la Naturaleza: en el número de pétalos de las flores,en las espirales de una piña, el cociente entre vuestra altura y la altura de vuestro ombligo, o el de la distancia del hombro a los dedos y la distancia de los codos a los dedos. ¿Sabéis que es el ADN?

—No sé explicarlo muy bien —dijo Sal —pero es dónde está escrito de qué color son nuestros ojos y esas cosas, ¿no?

—Más o menos -contestó ella —Pues cada molécula de ADN es un rectángulo mágico, que mide 34 angstroms de largo por 21 angtroms de ancho.

—¿Un ans..qué? -preguntó Ven con la carita arrugada como una pasa

—Un angstrom, es una medida muy, muy pequeñita. Fíjate, Ven, en un centímetro que es esto —Mati separó las yemas de su pulgar y su índice aproximadamente un centímetro —hay 100 millones de angstroms.

—¡Toma, toma, toma! —el pequeño de la casa no daba crédito —Tiene que ser superdifícil escribir tan pequeñito…

—Bueno, Ven, no es exactamente así —le sonrió y le alborotó el cabello.

—¿Y por qué, Mati? ¿Por qué está en todas partes el número de oro? —interrumpió impaciente Sal.

—Porque las Matemáticas están en todas partes, cielo —sentenció la pelirroja con una sonrisa. Gauss ladró de contento, o eso creyeron nuestros amigos.

—Entonces, Mati, el pentagrama musical, ¿lo inventó Pitágoras con sus amigos? —quiso saber Sal

—No, para nada, el pentagrama musical, las 5 líneas paralelas que se usan hoy en día para escribir la música no se impuso hasta el siglo XVI. Antes de eso, desde el siglo X se usaron primero una línea roja que señalaba FA, luego añadieron una amarilla para DO, y después, un señor italiano llamado Guido D´Arezzo…

—¡Guido! ¡Como el amigo de Rayo McQueen! —gritó Ven asustando a Gauss.

— Sí, claro, pues eso, Guido D´Arezzo añadío 2 líneas mas, creando el tetragrama. En fin, que Pitágoras para esa época ya no estaba.

Sal esbozó una sonrisa pícara y Ven, apostilló, muy, muy serio:

—Pues vaya si es importante Patricio…

FIN

Bueno, no sé si Patricio es tan importante, el que sí que lo es, es el número φ. Hay infinidad de enlaces en la red para seguir averiguando cosas de este número ‘mágico’. Por ejemplo, éste en el blog de Alberto Piedrabuena; éste de Ignacio A. Langarita Felipe o éste de nuestros amigos de Sangakoo. Lo que sí os recomiendo es que si podéis, veáis la película Donald en el país de las Matemáticas, entre otras muchas cosas, explica muy bien el número de oro como veis en este vídeo:

Este otro vídeo también lo explica muy bien y con muchos ejemplos:

Y aquí podéis aprender a hacer estrellas con papel para hacer bonitos regalos

Bueno, pues os dejo, me voy a buscar estrellas al mar. Hasta pronto

Mati

—Pues vaya.

—¿Qué te pasa, Ven? —le preguntó su padre.

—Que con sólo 4 colores… no puedo colorear los árboles, no hay marrón —contestó el pequeño enfadado.

Él y Sal acababan de recibir sus notas en el colegio y como premio a su esfuerzo, sus padres les invitaron a su restaurante italiano favorito. Como siempre, les habían dado unos mantelitos de papel con pasatiempos y una cajita de 4 colores.

—Mezcla el rojo con el verde, Ven —le aconsejó Sal a su hermano.

—Ya, pero es que estos lápices no se mezclan muy bien.

—¿Y si los mojas con saliva? —siguió proponiendo el gafotas.

—¡Puag! ¡Qué asco!

—Pues pinta el tronco en azul, como si fuera un Picasso de la época azul —intervino Mamá con un guiño

—¡Mamá! ¡No hay árboles azules! —protestó Ven

—Pero bueno, ¿qué le pasa a mi futbolista favorito?

—Hola, Mati —la saludaron todos

—¿Te quedarás a comer con nosotros? —preguntó Sal con una amplia sonrisa

—Pues claro, he oído que habéis sacado buenas notas y no me quería perder la fiesta.

Mati se sentó en la mesa, entre los dos hermanitos y se volvió hacia el pequeño:

—¿Quieres que te cuente una historia sobre 4 colores? Os propongo un reto.

Mati entregó a cada niño un mapa de España sin colorear.

—Tenéis que colorear cada provincia de un color, pero, ¡ojo!, si dos provincias comparten frontera, tienen que usar distintos colores, ¿vale? Ya veréis que con 4 colores es posible.

Ven y Sal se pusieron cada uno manos a la obra en su mapa, Mati y los papás charlaban sobre cosas de mayores.

—Ven, está haciéndolo mal —dijo Sal al ver el coloreado de su hermano

—¿Por qué? —preguntó Ven un poco mosqueado.

—Porque has pintado Cádiz y Huelva del mismo color.

—No se tocan.

—Un poco sí, ¿no ves?

—Bueno, bueno —intervino Mamá —consideremos que no se tocan porque en medio está el río Guadalquivir, ¿vale?

Ven siguió dibujando compulsivamente mientras Sal miraba atentamente el dibujo de su hermano, entre otras cosas, porque al gafotas lo de colorear, no le molaba mucho.

—Entonces —dijo —no se necesitan los 4 colores, Mati, sólo 3, ¿no?

—No, fíjate en Cuenca, por ejemplo,

Mati coloreó de azul la provincia de Cuenca en su mapa

—Si empezamos a colorear alternando 2 colores las provincias a su alrededor…

…necesitamos un cuarto color para colorear Guadalajara, la pintamos de amarillo.

—Y eso nos ocurrirá cada vez que una provincia esté rodeada por un número impar de provincias —concluyó la pelirroja

—¡Toma, toma, toma! —se emocionó Ven —¡Qué chulo, qué chulo!

—¿Barcelona también? —inquirió Sal

—No, Barcelona no está rodeada de provincias, está el Mediterráneo al este.

—Es verdad…

Al cabo de unos minutos, entre los 5, consiguieron colorear la península, con las islas era demasiado fácil, podían ser todas del mismo color.

—¿Veis? Y con sólo 4 colores.

Sal se quedó muy serio pensando y finalmente preguntó:

—¿Y no hay ningún mapa que necesite más de 4 colores?

—No, ya se demostró que no, eso se llama el Teorema de los 4 colores: “Cualquier mapa puede colorearse usando, como mucho , 4 colores”

Esta vez fue Ven quien preguntó:

—¿Los habéis probado todos?

—No, desde luego que no, pero se demostró que era imposible. Y. ¿sabéis qué?, que fue el primer teorema de la historia de las Matemáticas que se demostró usando ordenadores, muchos ordenadores.

Sal seguía pensando y no acababa de creer la historia, Mati le propuso:

—Trata de dibujar un mapa que necesite 5 colores para ser coloreado.

Los dos hermanos se pusieron a hacer extraños dibujos, pero no consiguieron nada.

—Os contaré una anécdota. En 1975, un matemático muy famoso, Martin Gardner, el día de los inocentes en su país, anunció, de broma, que había encontrado un mapa que necesitaba 5 colores, éste

Pero un año más tarde, después de 125 años de espera, Appel y Haken demostraron el Teorema de los 4 colores y, por lo tanto, que ese dibujo también se podía colorear con 4 colores.

—¿Cómo? —preguntó Ven

—¡Ah, eso os lo dejo para jugar estas vacaciones con vuestro primo Elio! Ahora a comer, chicos, que ya está aquí la comida.

Todos comían y charlaban, bueno, no, Ven de vez en cuando pintaba algún rectángulo del dibujo de Gardner.

—Por cierto, hablando de colores —dijo Mati —estoy pensando en comprarme unas gafas moradas…

FIN

Pues sí, el famoso Teorema de los 4 colores, establece que:

Dado cualquier mapa geográfico con regiones contiguas, éste puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no queden regiones adyacentes (es decir, regiones que compartan una porción de la frontera) con el mismo color.

Es uno de los teoremas más famosos dentro de lo que se conoce como Teoría de Grafos, no sólo por su aplicación al coloreado de mapas, sino porque fue el primer teorema que se demostró usando ordenadores y que, por lo tanto, sirvió una gran polémica al respecto.

Se podría hablar mucho de este tema, muchísimo. Pero estamos de vacaciones, así que simplemente os dejaré algunos juegos para disfrutar este verano.

En este enlace, tenéis varios dibujos para colorear usando, como máximo, 4 colores. Pincha sobre cada región a colorear, para cambiar de color, pincha de nuevo, así hasta que esté del color deseado. Sólo hay cuatro opciones, claro.

En este otro enlace, puedes descargarte dos juegos diferentes de mesa con los que retar a tus padres, tíos, abuelos, vecinos, hermanos mayores… la descripción está en inglés, pero si necesitas ayuda, puedes preguntar a Clara. A Sal y Ven les han encantado.

En este otro, jugarás contra el ordenador. En cada momento, en la parte superior del tablero de juego, uno de los colores aparece resaltado, ése es el que toca usar. Coloreas tú, y entonces lo hará el ordenador, después miras qué color te toca (el que esté resaltado arriba) y eliges la región que quieres colorear, con las reglas de no colorear regiones vecinas del mismo color… y así, sucesivamente.

Otro juego de lógica, muy, muy divertido también.

Por último, os reto a que coloreéis con 4 colores el dibujo que Gardner presentó el día de los inocentes diciendo que era imposible colorearlo con 4 colores.

Nuestra amiga Clara me ha prometido que en su blog contará un poco más de la historia de este teorema, os propondrá más juegos y os dará la solución del dibujo de Gardner, para aquellos ‘cobardicas’ que no quieren conseguirlo sin ayuda.

Hasta la próxima.
MATI

—Pero, Ven, si sólo tienes que restar… —Ah, claro, qué fácil, ¿no? ¿Y cómo resto 20-70? ¿Eh? A ver… —respondió enfadado Ven y siguió remedando a Sal —Si sólo tienes que restar, si sólo tienes que restar, nananananah…

Sal se quedó un rato pensando, muy serio, mirando, sin ver, los ojos de Gauss. Éste, ante la posibilidad de que fuese requerida su colaboración, se dio media vuelta y se acostó en el suelo.

—Pues… tendremos que pensar otra forma de hacer los combates, Ven, ésta no vale.

—¿Qué es lo que no vale? Y sobre todo, ¿de qué combates estáis hablando?

Sí, Mati acababa de entrar en la habitación. Al pequeño, Ven, se le encendieron los ojillos y esbozó una luminosa sonrisa de alivio.

—Hola Mati —saludó Sal con su gesto serio de estar intentando resolver un enigma.

—Estamos inventando una olimpiada Pokemon pero no nos sale bien —explicó Ven.

—¿Olimpiada? Eso suena mucho mejor que combate —respondió ella.

—Bueno, es que para ganar medallas hay que combatir contra otros Pokemon y ganarles —admitió el pequeño —pero sin pegarse, sólo con las cartas y usando los números de vidas que quitan en cada ataque.

—A ver, ¿y cuál es el problema?

—Pues, verás —empezó a explicar Sal —Primero pensamos que, en uno de los combates, si un Pokemon era atacado por Reshiram o por Zekrom, restaríamos las mitad de sus vidas, pero no sirve, ¡por culpa de los impares…! —refunfuñó

—¡Eso, eso! —apostilló vehemente Ven

—Bueno, pues nada de mitades —continuó el gafotas —lo haremos sólo restando vidas, que además es más fácil para Ven, ¿verdad?

Ven asintió muy convencido, con su ceñito fruncido.

<!—more—>—Pero entonces, va y nos sale 20-70, que no se pueden restar porque 20 es más pequeño que 70.

—Por Euclides…qué disgusto —dramatizó la pelirroja —¿y no será que necesitáis más números?

Sal levantó su ceja derecha con desconfianza, Ven guiñó un ojo y se rascó la barbilla.

—¿Qué quieres decir, Mati?

Gauss se volvió a girar para escuchar la explicación de Mati.

—A ver, sentaos, que os voy a contar la historia de los números.

Los dos hermanos se sentaron en la alfombra. Gauss se hizo hueco entre las piernecitas de sus dueños y se quedó frito, no tenía el cuerpo para historias.

Mati comenzó a hablar:

“Hace muchos, muchísimos años, pero muchísimos, muchísimos, los pastores no sabían contar. No sabían cuántas ovejas tenían cada uno, sólo si eran muchas o pocas, pero claro, el concepto de “mucho” y “poco” no era suficientemente concreto y daba lugar a ciertas dudas y sospechas entre distintos pastores. Afortunadamente, eran sumamente educados y nunca acusaron a sus vecinos de nada, porque, claro, como no sabían contar, no tenían pruebas de si les habían cogido una oveja o no.

Pero había una pastorcilla muy lista, pelirroja y con gafas rosa…”

—¡Eres tú, Mati! —dijo Ven muerto de risa

—No nos mientas, no existían las gafas, y menos de colores… —dijo Sal con su sonrisa pícara.

—Bueno, estoy contando yo la historia, ¿no? —le replicó ella con un guiño y continuó:

“Esta pastora decidió que tendrían que inventar algo para que no hubiera sospechas entre los vecinos, y empezaron a contar, dando lugar así a los números naturales: 1,2,3,4,5,6… todos los números que sirven para contar.

¡Qué felicidad inundó la aldea, ya todo el mundo sabía cuántas ovejas tenía, ya no se confundían comparando los “muchos” y los “pocos”! Se pasaban el día contando, contando…nada era comparable a aquel estado de plenitud.

Eso sí, si se moría una ovejita, o se perdía, o nacían nuevas ovejas, para saber cuántas ovejas quedaban, tenían que empezar a contar desde el principio, claro. Fue por eso por lo que la pastora gafotas definió un par de operaciones: la suma y la resta.

¡Oh! ¡Qué felices eran todos sumando, restando, a diestro y siniestro!

Nada podía enturbiar aquella alegría… ¿Nada? Dos de los pastorcillos del pueblo, hermanos, uno de ellos, gafotas…”

—¡Nosotros! —gritó Ven con entusiasmo, levantando los brazos y las piernas. Gauss se revolvió un poco enfadado y Sal sonreía un pelín ruborizado.

“…se pusieron a sumar y a restar como si no hubiese mañana, y de pronto, se acercaron con tristeza a la pastora pelirroja y le mostraron con cara de apenados lo siguiente

La pastora se dio cuenta de que necesitaban más números para poder hacer tooooodas las sumas y todas las restas de números naturales y crearon el conjunto de los números enteros, compuesto por todos los Naturales, más el cero y los negativos -1, -2, -3,…

Y les enseñó a sumar y a restar enteros, usando una regleta.

Sumar era andar hacia la derecha y restar era andar hacia la izquierda. Así para calcular

-5 + 2

hay que colocarse sobre el -5 y dar dos pasos a la derecha ( + 2)

Hemos llegado al -3, por lo tanto

-5 + 2 = -3

O si querían calcular -2 -3, había que colocarse en -2 y dar 3 pasos a la izquierda (-3)

Así

-2 – 3 = -5

Por lo tanto, 4-9 sería -5, que es donde llegaríamos después de dar 9 pasos a la izquierda empezando en el 4.

La felicidad volvió a la aldea, ya podían sumar y restar sin miedo a que le faltasen números, tenían los números Enteros.

Ocurrió entonces que un pastor muy, muy, muy anciano falleció y había que repartir sus 46784 ovejas entre sus 4 hijos y que la única forma que conocían para hacerlo era haciéndolo 1 a 1: una para ti, una para ti, una para ti y una para ti; una para ti, una para ti, una para ti y una para ti; … pero claro, era un poco pesado…

Fue este hecho el que inspiró a la pastora gafotas para definir dos nuevas operaciones: la multiplicación y la división. Así cada uno de los herederos recibió 11696 ovejas de su herencia.

¡Qué felices eran todos multiplicando, dividiendo…! Todo era alegría en la aldea, ¿todos? Todos no, los pastorcillos de que hablamos antes estaban muy serios mirando su tablilla. La gafotas se acercó y descubrió que habían escrito 7 / 3

Pues sí, seguían faltando números para poder seguir multiplicando y dividiendo sin parar, y nacieron así los números racionales, que eran los enteros más todos los posibles fracciones de enteros: 1/7, 5/9, 3/5…

La alegría y el alborozo inundó de nuevo nuestra aldea, todos podían sumar, restar, multiplicar y dividir sin miedo a que faltasen números. Todos adoraban aquel juego de las matemáticas. Tanto era así, que nuestra pastora gafotas pelirroja les enseñó a resolver problemas con la ayuda de algo nuevo y fascinante que llamaron ecuaciones:

X – 7 = 9, X2+ 1 = 5, X2– 4 = 12

¡Cómo les gustaba resolver ecuaciones! Desde muy lejos de la aldea se podía oír la algarabía que las Matemáticas habían traído al pueblo, sólo se oían risas, hasta que el pequeño de nuestros dos hemanos pastorcillos gritó:

“—¡Joooooo! ¡Otra vez faltan números!”

La pastora se acercó y comprobó que efectivamente, la ecuación que el gafotas le enseñó en su tablilla no se podía resolver con los números Racionales

Y así con la llegada de √2, se inauguraban los números Irracionales, que eran todos los que no se pudieran escribir como una fracción de números enteros.

Decidieron entonces que al conjunto formado por todos los Racionales y todos los Irracionales les llamarían números Reales, porque tarde o temprano, aparecería algún número ‘imaginario’, algo ‘complejo’.”

Sal y Ven estaban absortos en la historia de Mati, Gauss se desperezó en la alfombra y abrió los ojos de par en par por si le daba tiempo a escuchar algo. Mati continuó:

—Como el número que yo llevo en mi camiseta, que es Irracional, aunque no es la solución de ninguna ecuación.

—¿Ese dibujo de tu camiseta es un número? Parece una mesa, ¿no? —preguntó Sal.

—A mí me parece una portería… —dijo Ven.

—Bueno, en realidad es una letra griega, se llama Pi. Pero los matemáticos la usamos para designar a un número irracional, que se obtiene siempre que uno intenta medir un círculo —les explicó

—Pero ese π, ¿es muy grande? ¿cuánto vale? —preguntó Sal

—No, no, es pequeño. Entre 3 y 4, es 3 y un poquito más, aproximadamente…. 3.14159265358979….

—¿Y cómo inventaron π?

— Cuando se dieron cuenta de que en todos los círculos, la longitud de la circunferencia que los rodea, medía el doble de su radio por un número especial (π), sea cual fuera la circunferencia.

—¿Y cómo puedes estar segura de que no es racional? ¿Has probado con todas las fracciones? —siguió indagando nuestro gafotas

—No, pero está demostrado, cuando seas mayor te lo enseñaré, no es fácil entender esa demostración para ti, todavía.

El pequeño Ven que había estado muy callado desde que Mati acabó su historia, de pronto, lleno de alegría exclamó:

—¡Toma, toma, toma! Por eso se llaman PI-ZZAS, porque son redondas, y como π está en todos los círculos…¡qué chulada!

Mati le alborotó el cabello al pequeño:

—Pudiera ser… —le dijo guiñando un ojo.

Sal seguía absorto en sus pensamientos, buscando la fracción con números enteros que como resultado diera π, él era así de desconfiado con las cosas que no podía demostrar.

—Bueno, chicos, me tengo que ir —anunció Mati

—Adios, Mati —dijo Sal al tiempo que la abrazaba

—Adios, te daré π besitos —le dijo el pequeño.

Ven le dio tres besos enormes y un beso pequeñito, pequeñito, pequeñito.

FIN

Pues, efectivamente, como le decía a Sal, demostrar que π no se puede poner como una fracción y por eso es irracional, no es nada fácil de entender si no has estudiado muchas matemáticas, pero si tenéis mucha curiosidad os dejo este enlace.

Sin embargo, demostrar que √ 2 no es racional, no es tan complicado, os dejo este enlace de un amigo mío matemático.

Por último, siento deciros que con los números Reales tampoco nos podemos dar por satisfechos, porque aún con ellos hay ecuaciones que no sabemos resolver como:

X2+ 1 = 0

que plantea la necesidad de ampliar el campo numérico introduciendo los números complejos.

Pero de esos, ya hablaremos otro día.

Espero que hayáis sacado muy buenas notas y podáis disfrutar de un verano divertido.

Hasta pronto.

MATI.

—¡Pásamela, Elio! —No puedo. Ven me la quiere quitar. —Nunca podrás esquivar a Lionel Ven…¡soy un megaclack!

Mientras Sal, Ven y Elio (su primito) disputan en la arena de la playa su particular partido del siglo de esta semana, Gauss los observa con el ceño fruncido, como si de un entrenador jugándose la copa más grande y brillante de la historia del fútbol se tratase.

—¡Gol, gol, gol, gooooooooolazo! -grita Ven mientras corre lateralmente moviendo alternativamente sus manitas, arriba y abajo, con las yemas de los dedos de cada mano juntas.

Gauss se rasca con la pata, ¿tiene dudas?

—¡¡No es gol, Ven!! ¡¡Ha sido poste!! ¿Ves que has tirado la chancla de papá?

Y es que nuestros futbolistas usan las chanclas de sus padres para delimitar las porterías en la arena. Pero Ven seguía celebrando su tanto, ahora andando como Krabby, uno de sus Pokemon favoritos.

—Y además, mira dónde está el balón, lejísimo… —dijo Elio con voz preocupada.

Efectivamente, el balón, tras el potente lanzamiento de Ven Messi, había llegado a los pies de la torreta del vigilante de la playa, que no, no era el del coche fantástico. Cuando los tres primos llegaron junto a la pelota, el más pequeño de ellos, Elio, con los ojos como platos, exclamó:

—¡Wala! ¡Qué alto! Debe ser muy valiente para subir ahí.

—¡Bah! No es tan alto —contestó Ven—. La Giralda es más alta y yo he subido hasta arriba –remató con aire presumido.

—Hombre, claro, Ven, la Giralda mide 90 metros y esto… no sé, pero menos de 20 metros, seguro. -dijo el gafotas que por un momento había olvidado el falso gol de Ven y trataba de adivinar cuánto podía medir aquella torre.

—¿Le pedimos la cinta métrica al abuelo? -propuso Elio -Es muy larga, muy larga.

—Sí, claro, Elio —protestó Ven—, y ¿cómo subimos a medirla? ¿con un gorrocóptero? Ya te digo…

—No, pero podemos subir por las escaleras y dejar caer hacia abajo la cinta —dijo Elio.

—A mí me da yuyu subir —intervino Sal—. Además, estoy seguro de que nos iban a regañar…

Los tres estaban absortos mirando hacia arriba de la torre del vigilante.

—¿Qué buscáis, pequeños? —preguntó una voz conocida a sus espaldas.

—¡Hola Mati! —dijeron los tres a la vez.

Gauss se había acercado, le encantaba Mati y le gustaba escuchar lo que contaba.

—Mati, ¿cuánto crees que mide la torre del vigilante?

—Uy, yo soy malísima para ese tipo de estimaciones, pero si tenéis curiosidad lo podemos calcular.

—¿Tienes una cinta métrica? —preguntó Elio con una sonrisa de oreja a oreja.

—Sí, tengo cinta métrica.

—¿Y tienes gorrocópteros como Doraemon? —preguntó Ven—, ¿o tendremos que subir las escaleras?

—No, no tengo gorroc… ésos, eso no existe, sólo en nuestra fantasía, pero sí tengo Trigonometría.

—¿Trigo qué? —se extrañó Sal.

—Nuestra mamá no puede comer trigo —se apresuró a decir Ven, con cierto aire tristón—, sólo toma lasaña el día de mi cumpleaños, porque es mi comida favorita.

—Vaya… Pues sí, trigonometría es una palabra un poco rara, tenéis razón. Pero significa, más o menos, medir triángulos y se utiliza para muchas cosas.

—¡Para medir triángulos de las pizzas!

—Claro que sí, Elio, para los triángulos de las pizzas y para saber cuánto mide de alto esa torre del vigilante de la playa.

—Pero esta torre no es un triángulo, Mati…

—Ya lo sé, Sal, ¿queréis que os explique cómo se puede calcular la altura?

—¡Sí! —dijeron los 3 primos a la vez.

—A ver, a ver… Queridos ayudantes, necesito un palito pequeño o algo similar…

—Un momento —dijo Ven y salió corriendo hacía donde estaban su familia. Volvió enseguida con el bastón de clavar la sombrilla en la arena.

—¡Genial! —dijo la pelirroja—. Ahora lo clavaremos en la arena, muy derechito, para que forme un ángulo recto con el suelo.

—Ya estamos con los angulitos… —resopló Ven.

—Pero en este caso es muy fácil, Ven. Un ángulo recto es el que forman el larguero y el poste en una esquina de la portería:

—Ah, vale —asintió sonriendo Ven a la explicación de Mati —¡como el córner!

—Ya está —dijo contento e ilusionado Elio que había ayudado a Sal a clavar el bastón en la arena, con mucha formalidad y profesionalidad.

—Vamos a medir la altura del bastón clavado en la arena.

Les dio una cinta métrica a los chicos que se pusieron con mucho interés a hacer su tarea.

—Un metro —dijo al fin Sal.

—Ahora, tenéis que medir la sombra del bastón.

—150 centímetros, Mati.

—Pues ya sólo nos falta medir la sombra de la torre -les indicó Mati.

Desarrollaron la cinta métrica pero sólo tenía 3 metros.

—No podremos medirla… —se lamentó Elio.

—Sí, basta con poner una marca en la arena y volver a medir, ¿no?

—¡Claro, Ven! —contestó Sal mirando a su hermano pequeño con admiración y sintiéndose él mismo orgulloso de todo lo que había enseñado ya.

Pues la sombra medía tanto como 5 cintas métricas.

—5×3=15 —concluyó Ven.

—15 metros, Mati —dijo Elio.

—Como hemos medido las sombras a la misma hora, podemos considerar que los rayos del sol sobre el bastón y la torre forman el mismo ángulo.

—Esto significa que estos dos triángulos son semejantes, porque tienen iguales todos los ángulos.

—Uno no lo sabemos, el de la sombra con el rayo… —dijo con un poco de recelo Sal

—Y no hace falta, porque los ángulos de un triángulo siempre suman lo mismo, 180º. Los dos tienen un ángulo recto con el suelo, el del sol es igual, por lo tanto el otro también debe ser el mismo.

—Entonces, por ser semejantes tenemos:

y por eso

—¡Wow! ¡Cómo mola, cómo mola! —decía Ven llevándose la mano derecha a la frente en señal de asombro absoluto.

Elio seguía con la boca abierta y Sal seguía con el ceño fruncido pensando algo, hasta que finalmente preguntó a su amiga:

—Entonces, si sabes cuánto mide de alto también podrías calcular hasta dónde llegaría la sombra de la torre, ¿no?

—Claro que sí, mira:

—¡Qué chulo es todo esto, Mati! Me encanta.

—Ya te dije que los triángulos eran muy “apañaos”, a mí me encantan.

—Y con 3 esquinitas de nada… —seguía asombrado nuestro gafotas.

—¿Podemos dejar un poco los triángulos y seguir con el partido? —preguntó Ven que se sentía engrandecido con el tanto obtenido antes de toda esta trigonometría.

—Claro que sí, cielo —dijo Mati—, pero que sepas que en el fútbol también se usan los triángulos.

—No estoy seguro —contestó Ven con los labios en horizontal.

—¿Los jugadores no triangulan?

—¡Toma! ¡Es verdad!

—Además, si quieres, te enseño un truco para encontrar el mejor punto para lanzar a la portería desde la banda.

—¿En serio?

—Claro, mira a estas posiciones, 1, 2 y 3, en la banda y dime cuál es la mejor para lanzar a la portería.

Después de mirar con detenimiento los gráficos, Ven eligió la 1.

—¿Por qué ésa, cielo?

—Porque está más cerca.

—Pero tiene menos ángulo para disparar entre los palos, mira:

—Ah, entonces… la 2 —dijo Ven victorioso.

—Efectivamente, para conseguir mayor amplitud de ángulo de lanzamiento, tienes que ponerte de tal forma que el círculo que pasa por tu posición y los dos postes sea tangente a la banda, sólo toque en un punto, el de tu posición. Es decir, de todos los posibles círculos que pasan por los dos postes, elegir el único que toque a la banda en un sólo punto y colocarte ahí. Fíjate en el siguiente dibujo:

Ven se quedó muy serio pensando durante unos minutos, con la mirada perdida hacia arriba y hacia la izquierda…

—Mati, no creo que los futbolistas lo hagan así, ¿eh? -dijo prudentemente para no molestar a su amiga.

—Puede que no, cielo, pero deberían —le contestó ella con una sonrisa y un guiño.

—Ven, vamos a jugar ya, ¿no? —suplicó Elio.

Los 3 niños salieron corriendo mientras ella los miraba desde lejos sonriendo. En ese momento bajó el vigilante, llegaba su relevo, e invitó a Mati a una limonada a cambio de que le explicara lo que le estaba explicando a los niños.

—¡¡¿¿Pero qué estás haciendo Ven??!! ¡¡Saca ya!! —gritó Sal impaciente.

—Espera, espeeeeeeera… que tengo que dibujar mentalmente un círculo…

FIN

Pues efectivamente, la trigonometría y los triángulos tienen un montón de aplicaciones, ésta es sólo una de ellas, pero os iré contando muchas más, poco a poco.

Lo de medir la torre usando el bastón de la sombrilla no lo he descubierto yo, ¿eh?. Cuenta una leyenda (relatada por Plutarco) que Thales de Mileto (un señor muy listo de la antigua Grecia, aunque actualmente Mileto está en territorio de Turquía) en un viaje a Egipto, visitó las pirámides y admirado ante tan grandiosos monumentos quiso saber su altura. Y lo hizo como lo hemos hecho nosotros, estableciendo así el primer Teorema de Thales.

En cuanto el “truco” del saque de banda… se trata solamente de una consecuencia del Segundo Teorema de Thales que nos permite asegurar que dada una circunferencia (que llamaremos C) y una cuerda (segmento uniendo dos puntos cualesquiera de la misma), en la figura AB, en cualquiera de los dos semiplanos que define la recta que contiene a esa cuerda, los puntos interiores a C (por ejemplo P4 ) ‘ven’ a AB con mayor ángulo que cualquier punto sobre C (por ejemplo P1 y P2), y a su vez, cualquier punto sobre C la ve con mayor ángulo que cualquier punto exterior, por ejemplo P3.

Es más, todos los puntos sobre C, como P1 y P2, ven la cuerda AB con el mismo ángulo y dicho ángulo es recto si y solamente si, la cuerda AB coincide con un diámetro, esto es, si la cuerda AB pasa por el centro de C.

Y si no lo habéis entendido, os dejo este “vídeo”:http://www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY que os lo explica muy bien.

Hasta pronto.

Mati

El título de esta entrega de Mati está inspirado en el título del cuento de Jèrôme Ruillier, “Por cuatro esquinitas de nada“:http://www.youtube.com/watch?v=OVf1GhKDtW8, uno de los cuentos favoritos de mis hijos y también mío (a pesar de que no salgan triángulos), una maravillosa, elegante y ‘geométrica’ llamada a la tolerancia con los que son diferentes a nosotros.

Clara

―Ya, ya, lo tengo.

―¿Sí? ¡Dime, dime!

―Y tus besos nos gustan más que comer tortellinis -respondió Ven. ―No se dice tortellinis, ya te lo he explicado, tortellini es plural. ―Ah, es verdad, mejor, sin ‘s’ queda mejor. ―Pero tortellini ya lo usamos el año pasado- se quejó un poco abatido Sal, mientras subía sus gafotas arrugando la nariz. ―Jo, es verdad… ¿Le hacemos un dibujo con flores? ¿Con muchas flores? Le encantan las flores.

Gauss miraba atentamente con sus ojitos marrones a sus dos amiguitos, pareciera que tratara de ayudarlos en su empeño. Sal alargó su mano y le acarició el lomo.

―Pero ¿qué les pasa a estos chicos? ―Hola, Mati ―dijo Sal sin levantar la vista de Gauss. ―Hola, Mati ―dijo Ven―. No nos sale el poema de la abuela. ―¿Estáis haciendo un poema? ―Sí ―siguió contando el pequeño―, esta tarde vamos al cumple de la abuela y queríamos hacerle un poema, como el año pasado… ―Le gustó tanto ―continuó Sal― que hasta lloró de la alegría. ―No me extraña, sois dos nietos muy lindos ¿Y qué os pasa este año? ―Que no encontramos nada que rime con Trini ―se quejó Sal. ―Bueno, sí, tortellinis, tortellini ―rectificó hábilmente Ven―, pero ya lo usamos el año pasado.

―Dejadme pensar… ―dijo la pelirroja con aire teatral―… Ya está, ya lo tengo. ―¿El qué? ―dijeron al unísono Sal y Ven. ―Os enseñaré un truco de magia y esta tarde, en la merienda, le hacéis una actuación de magia a vuestra abuela Trini como regalo de cumpleaños. ―¡Mola, mola! ―gritaron los dos. ―¿Cuántos años cumple la abuela? ―60 ―respondieron al unísono. ―Muy bien ―continuó ella―. Pensad un número del 1 al 60, entre vosotros, pero no me lo digáis.

<!—more—>Sal y Ven se abrazaron por el cuello, ocultando sus caritas de Mati y cuchichearon hasta acordar cuál sería el número elegido. Eligieron el 42 por ser el número de su casa.

―Ya ―dijeron.

Mati entonces les dio estas seis tarjetas repletas de números:

tarjetas

―Tomad. Revisad en cuáles de estas tarjetas está vuestro número y las colocáis hacia arriba. Poned boca abajo las tarjetas que no tengan vuestro número.

Los dos niños revisaron con curiosidad cada tarjeta, mirando de cuando en cuando a Mati por el rabillo del ojo, para asegurarse de que no estaba haciendo trampas. Al final de la revisión, habían dejado boca arriba estas tarjetas:

-Dejadme pensar un rato… que vosotros sois dos y muy listos… -Mati creaba expectación mientras miraba las tres tarjetas.

―¿Podría ser el…42? –dijo al cabo de unos segundos

Los dos pequeños se quedaron sin palabras, Gauss ladró (aún no se sabe muy bien por qué, igual pasó una mosca en ese preciso instante)

―Mati, ¡eres mágica de verdad! ―balbuceó Sal. ―¿Nos puedes conseguir un autógrafo de Messi? ―Ven estaba hasta pálido. ―Bueno, bueno, no es exactamente magia, son matemáticas, la Magia del 2, os contaré el truco y no, me temo que no tengo el poder de conseguir lo de Messi.

Mati puso las tres tarjetas elegidas por ellos en la mesa y fue señalando una a una.

―Fijaos en las cuatro esquinas de esta tarjeta ―les pidió.

―¿Cuál es el más pequeño de los cuatro números de las esquinas? ―les preguntó. ―El 2 ―contestaron. ―¿Y en esta otra?

―El 8 es el más pequeño ―dijo Ven, con cierto aire ufano. ―Muy bien, el 8, que es 2×2×2, ó 23 que se dice, 2 elevado a 3 ―continuó Mati―, ya tenemos 2 y 8 que suman 10. ¿Y en la última de las tres? ¿Cuál es el número más pequeño de las esquinas?

―El 32 ―dijeron ambos. ―32 que es 2×2×2×2×2, ó 25 que se dice, 2 elevado a 5. Teníamos 10 más 32, ya está 42, el número que habíais pensado los 2. ―¡Toma! ¡Cómo mola, Mati! ―Ven seguía alucinando con el truco y Sal seguía aún un poco reticente.

―Otra vez, Mati, por favor ―pidió nuestro gafotas. ―¿Lo has pensado ya? ―Sí. ―Elige las tarjetas que lo tienen.

Después de la revisión, Sal dijo que no estaba en ninguna.

―Eso no puede ser, cariño. ¿Qué número pensaste? ―El 100, para ver si funciona siempre o sólo con los años de la abuela. ―No, para poder elegir números hasta el 100 necesitamos 1 tarjeta más. ―Jo, no entiendo nada, Mati ―se quejó Sal. ―Con estas tarjetas sólo podemos hacerlo hasta 63. Hemos hecho las tarjetas del 1, 2, 4, 8, 16 y 32, (es decir, del 20, 21, 22, 23, 24 y 25 ), que sumadas todas llegan hasta el 63. Para hacer número mayores que 63, necesitaríamos la tarjeta del 64 (26) donde pondríamos los números correspondientes entre 64 y 127. ―Mati, es un lío… ¿Cuáles son los números correspondientes? ―suplicó nuestro gafotas.

Mati sacó su pizarra y les anunció que les iba a explicar las matemáticas que había dentro de esta magia.

―¿Nos lo cuentas, porfi? ―Mirad, elegid un número cualquiera. ―Ya ―dijo Ven. ―¿Cuál es? ―preguntó la pelirroja. ―Ja, no te lo diré, adivínalo ―dijo muy digno Ven. ―Pero si es para explicarte en qué tarjetas está y por qué. ―Ah, entonces, vale, el 43. ―Vamos a dividir por 2, ¿cuánto nos da? ―21, pero sobra 1 ―respondió rápido Sal. ―Volvemos a dividir por 2 ―pidió Mati. ―10 y sobra 1 ―dijo Sal. ―Dividimos de nuevo y… ―5 y te sobra 0 ―dijo Ven, orgulloso ―Seguimos dividiendo por 2 … ―2 y sobra 1. ―Y dividimos por 2 y tenemos… ―1 y sobra 0 ―respondieron los 2.

Mati había estado escribiendo en su pizarra y tenía esto:

―Ahora ―les dijo― nos fijaremos en el último resultado, 1, y en lo que nos ha ido sobrando, los restos, fijaos…

―Y ―siguió explicando Mati― los escribimos de abajo a arriba, así 43 será representado por 101011. Ahora fijaos, lo ponemos en esta tabla:

Mati continuó diciendo:

―Eso significa que 43 aparecerá en las tarjetas que tengan un 1 en su correspondiente casilla, es decir, el 43 estará en la tarjeta del 32, del 8, del 2 y del 1, que suman, exactamente 43.

―¡Yo quiero hacerlo!¡Por favor, Mati, por favor! ―dijo Sal, arrugando su naricilla como hacía con mamá para convencerla―. ¡Con el 25!

Mati le cedió la tiza y él escribió:

―Así que 25 será… ―pensaba Sal― 11001.

Sal se dispuso a ponerlo en una tabla como Mati pero bufó:

―Lo sabía, Mati, no funciona ¡Sólo tengo 5 números y son 6 tarjetas!

―Ah, se me olvidó contaros, si salen menos de 6, le ponéis tantos ceros delante como sean necesarios. ―Entonces el 25 es ¿011001? ―Muy bien, Sal, ¿en qué tarjetas estará?

El niño hizo su tabla:

―En la del 16, la del 8 y la del 1, ¡cómo mola! ¡16+8+1 es 25!

―Ey, yo quiero ―pidió Ven

―Venga, le animó Mati

Le dio su tiza y Ven escribió:

―Así que 13 sale 1101… ―mascullaba Ven―. Le pongo 2 ceros delante para tener 6 números… ¡001101! Hago la tabla

Con una sonrisa de oreja a oreja, Ven hizo su tabla:

―¡¡Toma, toma, toma!! En la del 8, la del 4 y la del 1, 8+4+1 es ¡13!

Mati disfrutaba viéndolos sonreír y haciendo cuentas y tablas en la pizarra, les dio un beso suave en el pelo a cada uno y desapareció sin que nadie, excepto Gauss, se diera cuenta. Ya volvería en otro momento a recoger su utillaje.

Aquella tarde, el espectáculo de los dos hermanos en casa de los abuelos comenzaba con ellos, muy artistas, diciendo al unísono:

“Feliz cumpleaños, querida abuela Trini. Hoy te regalamos la magia de los hermanos Houdini.”.

FIN

Pues bien. La escritura que hemos hecho de 43, 25 y 13 usando 0 y 1, no sólo es útil para hacer trucos de magia.

Se trata del Sistema Binario de numeración en el que todos los números se representan utilizando sólo 0 y 1, y que se usa mucho en Informática, entre otras muchas cosas, para programar los juegos que tanto nos gustan de la DS, la Wii, la Xbox, etc…

Te propongo un reto:

Trata de encontrar en la siguiente tabla las expresiones binarias de los números del 1 al 10. Éstos se pueden encontrar de arriba abajo, de abajo a arriba, de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.

Para ello primero debes escribir del 1 al 10 en binario, por ejemplo, para escribir 9, vamos dividiendo 9 entre 2, hasta llegar a 1, y luego nos quedamos con el 1 final y todos los restos obtenidos, de abajo hacia arriba:

Por lo tanto, 9= 1 0 0 1

Una vez tengas escrito los números del 1 al 10 en binario, puedes empezar la sopa.

Si te quedas con más ganas de “sopa”, en ésta puedes encontrar hasta el 30.

Y ahora ya puedes entender este chiste:

“Sólo hay 10 tipos de personas en el mundo: los que saben binario y los que no”

Hasta pronto.

MATI

P.S: Si haces tus tarjetas y no te sale el truco, una de dos: o sumaste mal las esquinas más pequeñas o bien tu compañero no revisó bien en todas las tarjetas. Te dejemos aquí las 6 tarjetas en tamaño grande por si las quieres imprimir (pincha sobre ellas y se ampliarán) :)

tarjetas_1

tarjetas_2

tarjetas_4

tarjetas_8

tarjetas_16

tarjetas_32

-El uno es un soldado, haciendo la excursión…

-No, la instrucción, que no te enteras…

-Las instrucciones no las hacen los soldados, ¿sabes? Las instrucciones son los papeles que vienen en las cajas… -respondió enfadado Ven (se llama Venancio, pero le gustan que le llamen Ven, como el de los alienígenas ése).

-Pero es que el uno no es un soldado, eso es sólo para nenes pequeños -se burló Samuel, (al que le gustan que le llamen Sal, porque le da más sabor que Sam, dice él, claro, que tiene más salidas que el metro).

-Pero tú no sabes más que mi seño, gafotas -respondió con un deje de tristeza porque no le gustaba que le recordase tan a menudo que era el más pequeño de la casa.

Bueno, aunque el más pequeño era Gauss, el perro. Le pusieron ese nombre por ser el perro más listo de todos los perros, sin lugar a dudas. Si será listo, dicen Sal y Ven, que cada vez que se acerca un extraño a la verja de la casa se presenta él mismo: “¡Gauss, Gauss, Gauss, Gauss!”

-No, tu seño sabe que el uno es el uno, siempre lo fue, un palito largo y otro corto, formando un ángulo agudo.

-¡Que no me hables más de ángulos que estoy en primero y no te entiendo nada! –protestó Ven cada vez más desconsolado y enfadado.

-Eso no es del todo cierto, Sal -intervino Mati que acababa de entrar en el salón.

-¡Hola, Mati! -dijeron los dos hermanos a la vez. Cuando ella llegaba, la diversión estaba asegurada y las discusiones se resolvían, porque eso es lo bueno de las mates, que no dejan lugar a dudas.

-Hola, chicos. ¡Wow. Estáis más altos! Bueno, pues como os decía, el uno no siempre ha sido como dice Sal, de hecho, en Japón el 1 se escribe así 一.

-¿Y el 2? –preguntó Ven.

-Pues 二 -contestó Mati.

-Es más fácil –dijo alegremente Ven.

-Bueno, si escriben el 1 en modo formal sería 壱, que ya no es tan fácil, ¿no crees? —siguió hablando la pelirroja— Además, escribir en japonés es mucho más complicado. Pero a lo que íbamos, a lo largo de la historia, el 1 tuvo diferentes representaciones. Para los egipcios, el 1 era sólo un palito en vertical…

-Sin an-gu-li-tos —dijo con retintín Ven, mirando de reojo a Sal.

-Sí, sin angulitos —continuó Mati— Para los babilonios y los sumerios, el 1 tenía forma como de embudo. Para los mayas y los aztecas, el 1 era un puntito.

-¡Qué punto! -añadió Sal que estaba alucinando con la historia y seguía las explicaciones con los ojos de par en par.

-… Los griegos de la antigüedad lo representaban con la letra α, los romanos con una I…

-Eso ya lo hemos visto en el cole, Mati -dijo Sal, arrepintiéndose interiormente de haber cometido esa imprecisión del angulito por haber olvidado la numeración romana.

Y Mati rellenó su pizarra mágica (la hacía aparecer y desaparecer según su antojo y criterio) con algunas representaciones más del 1 a lo largo de la historia y en distintas culturas.

-¡Cómo mola, Mati! Me gusta éste, es chuli chuli -dijo Ven apuntando con su dedito sobre la escritura del 1 en tamil.

-Pues a mí me gusta más el 1 europeo, que tiene angulito -remató Sal con ironía, guiñando un ojo a Mati, dispuesto a chinchar a su hermanito.

-Pero es que el 1 del angulito no es originalmente europeo —siguió contándoles Mati— Los números que usamos nosotros se conocen como números arábigos porque fueron los árabes los que los introdujeron en Europa, aunque en realidad proceden de la India, como el tamil que le gusta a Ven. Así, que filosóficamente, estáis de acuerdo.

Los dos niños se miraron y se sonrieron, porque siempre Mati y sus historias les ponían de muy buen humor.

-Bueno —aceptó con resignación nuestro gafotas— pero desde luego, el uno nunca fue un soldado, ¿a qué no?

-Pues… —dudó cómicamente Mati— verás , ¿sabéis multiplicar?

-Yo sí, yo sí —gritó con alegría Ven, y era verdad porque Sal le había enseñado.

-¿Cúanto es 1×1?

-Vaya, qué tontería… —se desilusionó Ven— 1.

-¿Y 11×11?

-Pues 11×10 es 110, porque sólo hay que añadir un cero, y más 11 más… —calculaba mentalmente Sal— 121.

-Muy bien, ¿y 111×111?

Ven se quedó serio, pero Mati le prestó su calculadora con un guiño, mientras Sal, muy digno, siguió calculando mentalmente:

-111×100=11100, tengo que sumarle 111×10 que son 1110, eso da…12210, más 111…son 12321, creo…

-Crees bien, y ¿1111×1111?

-Ay. Mati, me canso. Haz esa con la calculadora, Ven.

-1234321.

-¿Lo véis ya? —preguntó Mati

En la pizarra de la pelirroja estaba escrito:

1×1=1

11×11=121

111×111=12321

1111×1111=1234321-¡Wow! Cómo mola… —dijo Ven con sus ojos como platos.

-Entonces, ¿11111×11111 es 123454321? —preguntó Sal.

-Sí, muy bien, chicos.

Mati terminó de escribir

-Podríamos decir que los 1 fueron unos soldados que ayudaron a construir las pirámides —se burló Mati.

-Eso no es verdad –-gritaron, riendo, al unísono Ven y Sal, sabían que ella siempre ponía a prueba su espíritu crítico con alguna broma.

-¿Que no? ¿Y qué me decís de esta otra pirámide?

-Toma, es verdad, Sal, mira… —susurró Ven al oído de su hermano.

-Que no, Ven, mírala se está aguantando la risa…

-Pensadlo, chicos, tengo que irme.

Se despidieron de Mati y se quedaron pensando un rato, al cabo del cual Sal dijo muy, muy convencido:

-¡Lo que es seguro, se-gu-rí-si-mo, es que el 2 no es un patito!

FIN

Bueno, bueno, ahora os dejo a los pequeños lectores una pregunta, ¿qué pasa al multiplicar 1111111111×1111111111? ¿Se sigue verificando la regla?

Y sobre este tipo de números hay otra curiosidad.

Hasta pronto.

Mati

Igual ya me conoces me llamo Matemáticas, pero todos me llaman Mati, se ve que les da menos miedo y les gusta más. Aunque no me veas, estoy en todas partes y te puedo explicar el porqué de muchas cosas que están a tu alrededor. ¿Me acompañas? Tengo dos amigos muy curiosos, Sal y Ven, son hermanos y dueños de Gauss, el perro más listo de todos los perros. Estos dos amiguitos siempre están preguntando cosas y vendrán con nosotros en nuestras aventuras. Las mates de estas historias son cosa de Clara y los dibujos los hace Raquel.

En este blog iremos recogiendo todas nuestras aventuras.

—A, 5.

—¡Agua!

—No puede ser, Ven, ¿¿has puesto algún barco??

—¡Pues, claro! ¿Qué crees, Sal? ¿Que no sé jugar a los barquitos? –contestó el pequeño.

—Es que es imposible que no haya encontrado aún ninguno… –protestó el gafotas.

—Buenas tardes, caballeros… —Mati acababa de llegar.

—¡Hola, Mati! —saludaron los niños al unísono.

—¿Jugáis a las batalles navales? Me encanta ese juego –contestó la pelirroja.

—Y a mí. Pero Sal no consigue encontrar ninguno de mis barcos -respondió Ven con cara de pícaro. Su hermano lo miró serio por encima de sus gafitas.

—Además de que es un juego divertido es un buen método para aprender las coordenadas cartesianas –-añadió Mati.

—¿¿El qué?? —preguntaron los dos con los ojos abiertos de par en par.

—Las coordenadas cartesianas, que son, podríamos decir, como el nombre y el apellido de los puntos en un plano, para poder distinguirlos unos de otros, sin posibilidad de confundirlos.

—No entiendo nada –aceptó el pequeño Ven.

—Si Sal te dice “D,6”, Ven, ¿tienes alguna duda de dónde está apuntando?

—¡Toma, claro que no! A éste -señaló Ven con su dedo sobre el papel –Miro dónde se cruzan la fila D y la columna 6 y ya está.

—Pues así es cómo se asignan las coordenadas cartesianas a cualquier punto del plano. Os lo explico con un dibujo.

—¡Sí! -contestaron con alegría los dos hermanitos.

—Lo que queremos es saber identificar cualquier punto de un plano, porque, por ejemplo, vamos a esconder un tesoro y luego vamos a venir a buscarlo… Aquí está nuestra casa y aquí enterramos nuestro tesoro.

—Como piratas, ¿no?

—Sí, Ven, ¡como piratas! –prosiguió Mati – Lo primero que tenemos que hacer para poder asignar coordenadas a cada punto del plano y poder saber exactamente dónde escondimos el tesoro, es elegir un punto especial al que llamaremos origen, origen de coordenadas ¿Dónde lo ponemos?

—Aquí —Sal señaló un punto sobre el papel.

—Muy bien. Ahora dibujamos dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen.

—¿Qué son perpendiculares, Mati?

—Que se cortan formando cuatro ángulos rectos, como los de la esquina de una portería.

—Como si fueran el signo + de la suma, ¿no, Mati? —preguntó el gafotas.

—Exacto, Sal, pero en grandote, uno vertical, de arriba a abajo, y otro horizontal, de izquierda a derecha. Al horizontal le llamaremos eje de abscisas y al vertical, eje de ordenadas.

—Ahora vamos a dividir estos ejes, usando como unidad de medida, por ejemplo, dos cuadraditos del papel. Hacia la derecha y hacia arriba, los numeramos con números naturales, positivos. Y a la izquierda y hacía abajo, les pondremos un signo delante, para distinguirlos.

—Ahora, para conocer cuáles son las coordenadas de nuestra casa y de nuestro tesoro, dibujamos una línea vertical desde el punto donde está hasta encontrar al eje de abscisas, y una linea horizontal hasta encontrar al eje de ordenadas. Con estas dos líneas y los ejes, tendremos dos rectángulos, en los que nuestros puntos, la casa y el tesoro, serán una de las esquinas. Por eso, a estas coordenadas también se le llaman coordenadas rectangulares. Pues bien, las coordenadas de nuestros puntos serán: la primera, el número marcado en el eje de abscisas y la segunda el número marcado en el eje de ordenadas. Por eso, a la primera coordenada de un punto se le llama la abscisa y a la segunda, se le llama la ordenada.

—Nuestra casa tiene la misma abscisa que ordenada, Mati —observó Sal.

—Sí, es verdad, en este caso el rectángulo es un cuadrado, tiene los lados iguales.

—Y la abscisa del tesoro es 14 y la ordenada es 9, ¿no? —siguió indagando el gafotas.

—Exacto —respondió la pelirroja.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola, Mati! Así siempre encontraremos el tesoro –el pequeño Ven estaba alucinando.

—¿Y por qué le llamas cartesianas? ¿Porque a los mapas también se le llaman cartas? —preguntó Sal.

—No, no. El nombre de cartesianas de lo debe a René Descartes, filósofo y matemático francés, que sostenía que la visión que tenemos de las cosas depende de dónde hayamos fijado el origen de coordenadas –Mati guiñó un ojo, los niños no dijeron nada.

—¿Está muerto? —preguntó Ven con carita de pena.

—Sí, hace mucho tiempo, en 1650 –contestó la pelirroja mientras le acariciaba el pelo —Oye, ¿queréis saber también para que podemos usar las coordenadas cartesianas aparte de señalar exactamente un lugar del plano?

—¡Claro!

—Para conocer la distancia entre dos puntos del plano sin necesidad de ir a medirlo.

—¿Cómo? —quiso saber el gafotas excitado.

—Dibujamos un triángulo de la siguiente manera.

—Es un triángulo rectángulo, porque tiene un ángulo recto, donde se cortan el lado vertical y el horizontal. Al lado más largo de un triángulo rectángulo, se le llama hipotenusa, que en nuestro dibujo es el que queremos medir. Y a los otros dos lados del triángulo, les llamamos catetos

—Pobres…—dijo Ven.

Mati no pudo evitar la sonrisa.

—¿Cuánto miden los catetos? Ya vereís. El lado horizontal mide la diferencia entre las dos primeras coordenadas, las abscisas; el lado vertical mide la diferencia entre las dos segundas coordenadas, las ordenadas.

—¡Claro! -Sal estaba entusiasmado.

—Ahora, para saber cuánto mide la hipotenusa que es la distancia de nuestra casa al tesoro, sólo necesitamos el Teorema de Pitágoras.

—¿Cómo, Mati? —los niños estaban ansiosos esperando la respuesta final.

—Pues así

—¡Toma, Mati! ¡Y sin necesidad de medir! -Ven estaba entusiasmado.

—Pero ni Ven ni yo sabemos calcular raíces cuadradas, Mati –aceptó el gafotas serio.

—Por ahora, yo os ayudo. Ya lo aprenderemos.

—Entonces, ¿así lo hacen los piratas, Mati? —preguntó el pequeño.

—Bueno, los piratas tenían otra forma de asignar coordenadas… Os la explico otro día. Vamos a pasear a Gauss que está deseando buscar algún tesoro en el parque.