—¡Ni hablar, Ven! ¡El abuelo me lo dio a mí!

—Pero ¿qué dijo, Sal? ¿Eh? ¿Qué dijo? —protestó Ven y añadió tratando de imitar a su abuelo Alberto —”Os regalo este sombrero” ¡A los dos!

—Ya, Ven —dijo el gafotas —, pero lo he cogido yo antes. Se siente…

—El que lo vas a sentir eres tú —gruñó el pequeño —, te dije que este año yo iba de “buscador de oro del Klondike”:http://es.wikipedia.org/wiki/Fiebre_del_oro_de_Klondike.

—¿¿En Canadá?? —preguntó Sal extrañado —¿¿Con un salacot??

—¡Sí! ¿Qué pasa? —se enfrentó Ven con determinación.

—Que te vas a morir de frío en Canadá con un salacot… —dejó caer Sal.

—Pero ¡si vamos a Cádiz!

—Ya, pero ningún buscador de oro de Dawson City llevaría un salacot —añadió Sal —, me queda mejor a mí para ir a “buscar las fuentes del Nilo”:http://es.wikipedia.org/wiki/Nilo#La_b.C3.BAsqueda_de_las_fuentes_del_Nilo…

—Pero bueno —Mati acababa de llegar —, que carnaval tan aventurero… Desde Canadá hasta Tanzania…

—Hola, Mati —la saludó Sal.

—Hola —dijo Ven —. Sal es un abusón y se quiere quedar con el salacot que nos ha regalado el abuelo Alberto y ¡yo lo quiero para mi disfraz de buscador de oro!

—Hola, chicos —dijo ella —. Lo cierto es que Sal tiene un poco de razón, un salacot es más apropiado para climas cálidos… Por otra parte, esa región de Canadá tan cerca de Alaska es un poco peligrosa para ti —Mati le guiñó un ojo a Ven —, está llena de osos.

—No pasa nada, Mati —respondió Ven con entereza —, sé perfectamente cómo actuar ante cualquier oso: polar, negro o pardo.

—¿Ah, sí? —preguntó la pelirroja muy interesada.

—Sí —contestó él impasible —. Si es pardo, me acurruco como un bebé, si es negro le tiro piedras y lo insulto y si es polar…

—Si es polar no hay nada que hacer, Ven —añadió Sal —, no puedes escapar de un bicho que corre a 40 kilómetros por hora sobre placas de hielo…

—Vaya —intervino Mati —, os veo muy informados sobre osos.

—Nos lo leyó mamá de un libro de Javier Reverte —dijo Sal —, El río de la luz.

—Ajá, ya veo —respondió ella —. Y tu búsqueda de las fuentes del Nilo, ¿también está relacionada con un libro de Reverte?

—¡Sí! —exclamó el gafotas —¿Cómo lo sabes?

—Digamos que a mí también me gustan mucho sus libros —dijo Mati —¿Os apetece que os cuente un acertijo sobre exploradores y osos?

—¡Vale! —dijo Sal inmediatamente.

—Bueno, venga —aceptó el pequeño que no se fiaba mucho de su hermano.

Un explorador sale una madrugada de su tienda, anda 10 Km al Sur, después 10 Km al Este, por último, 10 Km al Norte y llega de nuevo a su tienda. Dentro de su tienda, encuentra un oso. Pregunta —Mati hizo una pausa dramática —: ¿De qué color es el oso?

—¿¿Quééééééééé?? —preguntó Ven con la cara arrugada.

—Estás de broma, ¿no, Mati? —agregó Sal.

—No, no lo estoy —respondió esta — ¿Sabéis de que color era el oso o no?

—Y yo que sé… —aceptó tímidamente Ven.

—Pero si es muy fácil —se burló un poco Mati —¿Os rendís?

Los niños asintieron con la cabeza, Gauss hizo como que no había oído el acertijo.

—El oso era blanco —anunció la pelirroja.

—¿¿Cómo la sabes?? —preguntó Ven.

—Pues porque si el explorador caminó 10 Km al sur, 10 al este, 10 al norte y llegó de nuevo a su tienda —les contó —, es porque estaba en el Polo Norte y allí, los osos son blancos.

—Hala, es verdad —comentó Sal muy divetido —, no se me había ocurrido.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —exclamó Ven —Se lo voy a contar a todos mis amigos.

—¿Estáis seguros de que el oso era blanco? —preguntó Mati con voz de inspector de policía.

—¡Pues, claro! —afirmó el pequeño con rotundidad.

—Nos lo has dicho tú, Mati —añadió Sal titubeando.

—¿Estáis seguros de que eso solo puede ocurrir en el Polo Norte? —siguió indagando Mati Lestrade.

—¿Qué quieres decir, Mati? —preguntó el gafotas.

—Os pregunto —dijo ella —si es el Polo Norte el único punto de la Tierra en el que si caminas 10 Km al sur, después 10 Km al este y, por último, 10 Km al norte, vuelves al punto de partida.

Los niños se quedaron pensando un rato hasta que, finalmente, Ven exclamó:

—¡Y en el Polo Sur!

—Si estás en el Polo Sur, Ven —le respondió su hermano —no puedes caminar hacia el sur…

Ven hizo una mueca graciosa encogiendo toda su carita al descubrir su pifia, Gauss miró a otro lado.

—Efectivamente, Sal —dijo Mati —, si estamos en el Polo Sur no podemos caminar hacia el sur. Pero, el Polo Norte no es el único punto de la Tierra en el que se puede caminar 10 Km al Sur, luego 10 Km al Este y, por último, 10 Km al Norte y volver al sitio de partida…

—¡Anda que no! —interrumpió Ven súbitamente.

—Pues no, no es el único —le corrigió Mati con un guiño —. De hecho, hay infinitos puntos sobre la Tierra en los que esto ocurre.

—Pero, ¡vamos a ver! —protestó el incrédulo Ven —¡Eso es imposible!

—No, no lo es —dijo Mati con voz de misterio.

—Ven, deja a Mati que nos lo cuente —le pidió su hermano que estaba cada vez má intrigado.

—Os lo contaré —empezó a decir Mati. Sabemos que la longitud de la circunferencia en el Ecuador es, aproximadamente, de 40000 kilómetros, ¿no?

—Sí, nos lo contaste cuando nos hablaste de “Erastótenes“:http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2013/01/09/3321/ —puntualizó el gafotas.

—Pues bien —continuó ella —, nos vamos a fijar en un paralelo del hemisferio Sur, uno de las círculos paralelos al Ecuador por debajo de este, que mida de longitud de circunferencia 10 kilómetros.

—Que pequeñito… —masculló Ven.

—Sí, muy pequeño —añadió ella —, será un paralelo muy cercano al Polo Sur. Si ahora buscamos otro paralelo 10 kilómetros al norte del que acabamos de elegir, ya está.

—¿Cómo que ya está? —preguntó Sal.

—Sí, fijaos —continuó la pelirroja —. Desde este nuevo paralelo caminamos 10 kilómetros hacia el Sur, nos encontramos con el paralelo que mide 10 kilómetros de longitud, al caminar sobre él 10 kilómetros, volveremos al punto de partida en ese paralelo, y al caminar 10 kilómetros en dirección norte, volvemos al principio.

—¡TOMA, TOMA, TOMA! —gritó Ven entusiasmado.

—Claro… —dijo el gafotas felizmente sorprendido — Y como hay infinitos puntos sobre un paralelo, podemos salir de infinitos sitios diferentes desde el paralelo al norte del paralelo de 10 kilómetros… Maravilloso.

—No se vayan todavía, aún hay más —dijo Mati con voz de falsete —. Si tomamos en lugar de un paralelo de longitud 10 kilómetros, un paralelo de longitud 5 kilómetros y partimos de un punto 10 kilómetros al norte del mismo, ¿qué ocurrirá?

Los niños se quedaron un rato pensando, al cabo del cual Sal dijo:

—¡Que volvemos al punto de partida!

—¿Cómo? —preguntó Ven.

—Bajamos 10 Km al sur, al llegar al paralelo de 5 kilómetros de longitud —explicaba Sal con alegría —, si recorremos 10 kilómetros al Este, habremos dado 2 vueltas al paralelo y volvemos al punto de ese paralelo en el que comenzamos.

—¡MOOOOOOOOOOOLA! —se alegró el pequeño.

—¿Y si nos ponemos 10 kilómetros al norte de un paralelo de longitud 10/3 kilómetros? —preguntó Mati a sus muchachos.

—¡Pues también! —gritó Sal —En ese caso, tendríamos que dar 3 vueltas para recorrer 10 kilómetros y volver al principio.

—Bueno, bueno —intervino Ven —Entonces también vale con un paralelo que mida 10/4 kilómetros. Basta con dar 4 vueltas, ¿no?

—Efectivamente, Ven —dijo Mati —. Y con el de 2 kilómetros de longitud, que sería el correspondiente a 10/5. En general, con cualquier paralelo que mida 10 dividido entre un número natural. Solo tendríamos que situarnos 10 kilómetros al norte de dicho paralelo y al bajar desde allí dar tantas vueltas como nos indique el número natural.

—Fascinante… —suspiró Sal.

—Sí, fascinante —corroboró su hermano.

—Me alegro de que os guste —dijo Mati haciendo una graciosa reverencia.

—Y claro —continuó el gafotas —, esto mismo se podría hacer buscando paralelos de longitud 10 kilómetros y tal alrededor del Polo Norte.

—No —contestó la gafotas con energía —. El paralelo de longitud 10 Km en el hemisferio norte está a menos de 2 Km del Polo Norte, no hay forma de situarse 10 Km al norte sobre él.

—¿Tan cerca? —se extrañó Sal.

—Sí —dijo Mati —. Es un paralelo muy, muy pequeñito…

—Y muy mono… —dijo Ven haciendo carantoñas a su hermano.

—Ven —protestó el gafotas —no seas tan

FIN

Vaya, parece que nuestros protagonistas han desaparecido corriendo de escena, ¿conseguirán correr a más de 40 km/h por el “Pequeño Libro de Notas“:http://pequenoldn.librodenotas.com/? 😉

Sólo una cosa, en todo esta mateaventura hemos supuesto que la Tierra es una esfera.

Y nada más, solo recordaros que, digan lo que os digan, nuestro bello planeta, aunque maravilloso, no es el centro del Universo. Lo anterior no impide que amemos y respetemos a este puntito azul pálido.

Traducción y subtítulos por “Arturo Quirantes“:https://twitter.com/elprofedefisica

Me contó maneras de llegar a la verdad de cualquier tema, no sólo sentándote a pensar en ello como Aristóteles (un señor griego, listo pero confundido), sino saliendo a mirar con tus propios ojos; me habló de hacer hipótesis e idear experimentos, y de comprobar las cosas mediante la observación y llegar a una conclusión… —Sal leía despacio y con pasión aquel párrafo del libro, era uno de sus favoritos.

—Déjalo, Sal —interrumpió Ven con tristeza —. Tengo más de 37 y me duele la cabeza… Además, me da rabia perderme el entrenamiento por este maldito virus…

—No estés triste, Ven —le pidió su hermano —. La semana que viene estarás bien y podrás ir a entrenar.

—Pero yo quería ir hoy… —no había consuelo para el pequeño.

—Bueno, pero no puedes —continuó el gafotas paciente —, y así además, puedo leer para ti como mamá me lee cuando estoy malito.

—Gracias, gafotas, eres el mejor hermano del mundo —dijo Ven más triste que nadie por no poder ir al entrenamiento de fútbol.

—Los dos sois unos hermanos preciosos —dijo Mati que entraba en ese momento por la puerta y dirigiéndose a la mascota añadió —. Tú también eres precioso, Gauss.

—¡Hola, Mati! —la saludó Sal.

—Hola, Mati —dijo Ven con voz de ultratumba.

—¡Oh, Calpurnia Tate! —exclamó Mati —Adoro ese libro…

—Yo también —dijo el gafotas —. Nos lo regaló “Fis“:http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/1499/27-kilometros-para-entender-la-masa y me lo lei este verano. Estoy seguro de que Ven se animará un poco con la historia…

—La historia sí que me gusta —interrumpió el pequeño pesadamente —, pero tengo más de 37 y casi no puedo escuchar…

—Vaya, sí que estás malito… —dijo la pelirroja —. Es una pena porque cuando me enteré de que estabas en cama me acordé de un juego que nos gusta mucho a los matemáticos y os lo traje para jugar. Pero, bueno, quizás otro día…

—¿Qué juego es, Mati? —preguntó Ven con un hilillo de voz — ¿Se puede jugar en la cama?

—Claro, cielo —contestó ella —. Se juega sobre un tablero, o sobre un papel si no tenemos un tablero.

—Yo creo que puedo hacer un esfuerzo, Mati —dijo Ven un poco dramático.

—¿Qué juego es, Mati? —preguntó Sal ansioso — ¿Sudoku?

—No, no —dijo esta —. Es un juego que puede recordar, en algún sentido al tres en raya o al “Quarto“:http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/09/24/jugamos/.

—¿Hay que construir líneas con las fichas? —siguió indagando el gafotas.

—No, exactamente —respondió Mati con misterio —. Se trata de hacer caminos, pero no tienen por qué ser en línea recta…

—¿Nos lo enseñas, Mati? —dijo Ven incorporándose de súbito en la cama.

—Claro, claro —dijo ella —. Pero no te sulfures, que te subirá la fiebre.

—Es verdad, Ven —corroboró Sal —. Te conviene descansar…

Ven volvió a tumbarse sobre sus almohadones con cara de más malito que nadie.

—Bueno, ¿están listos estos dos caballeros? —preguntó Mati con voz teatral —. Es un honor para mí presentarles, tachán, tachán, ¡el Hex!

—¿Cómo has dicho? —preguntó Ven.

—Hex —contestó ella —Se llama así porque las casillas del tablero son hexágonos. Os he traído un tablero y fichas, pero se puede jugar con papel. Sólo hay que dibujar un rombo usando hexágonos, como por ejemplo este:

—¿Veis? —continuó Mati —Este es un tablero 7 por 7, lo usual es jugar en un tablero, al menos, 10 por 10. Hemos pintado dos lados de rojo y otros dos de verde. Ahora, cada uno de vosotros tendrá 25 fichas, verdes para Sal , por ejemplo, y rojas para Ven. Por turnos, los jugadores, van poniendo sus fichas en el tablero, sin ninguna restricción, y gana el que consiga un camino que una los dos lados de su color correspondiente. Mirad, en la partida que aparece en la siguiente figura, habrían ganado las fichas verdes.

—Claro, ha tenido que ganar Sal —se quejó mimoso el pequeño.

—Pero si es un ejemplo, Ven —añadió sal con ternura — ¿Y si ninguno de los jugadores consigue hacer el camino porque el otro se lo impide todo el rato?

—Empatan, claro —apostilló Ven.

—No, es imposible empatar —anunció Mati —¿Os acordáis del “Algoritmo del matrimonio estable“:http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/1391/diez-habitaciones-para-20-aventureros que os conté cuando ibáis a la nieve?

—¡Sí! —exclamó Sal — “El que consiguió el Nobel de Economía en 2012“:http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/10/16/toma-toma-toma-el-nobel-para-lloyd-shapley/, ¿no?

—El mismo —corroboró Mati —. El Nobel se lo concedieron a Al Roth y Lloyd Shapley, por aplicar el algoritmo en Economía, pero el diseño del algoritmo fue de Lloyd Shapley y David Gale

—¡Qué morro! —se quejó Ven —¿Por qué no le dieron el Nobel también a David Gale?

—Porque el señor Gale murió en 2008, Ven —le dijo Mati —. El premio Nobel solo se concede a gente viva.

—Pobre… —la barbilla de Ven comenzó a temblar.

—Pues bien —continuó la pelirroja tratando de desviar el tema —, David Gale demostró, en 1979, que es imposible el empate en el Hex y que este hecho implicaba el “teorema del punto fijo de Brouwer“:http://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_fixed_point_theorem, pero esto último es muy complicado aún para vosotros.

—¿Seguro, seguro que no hay empate? —preguntó Sal desconfiado.

—Seguro —confirmó Mati —. Si llenas el tablero de fichas rojas y verdes, de la forma que quieras, siempre tiene que haber o un camino rojo conectando los lados rojos, o un camino verde conectando los lados verdes.

—No sé, no sé… —Sal no parecía muy convencido.

—Se puede demostrar usando Teoría de Grafos —continuó Mati —pero creo que es mejor que juguemos, ¿no?

—¡Sí! —exclamó Ven — yo te creo, Mati.

—Es más —añadió ella —Os voy a enseñar unas estrategias para que ganéis siempre que juguéis al Hex; siempre que juguéis con un tablero 4 x 4 o en un tablero 5 x 5 y seáis el primero en empezar.

—¡Mola! —dijo Ven.

—Allá vamos —anunció Mati —. Dibujamos un tablero 4 x 4, así:

—Pues bien —continuó ella —, si el primer jugador, que será Ven, porque está malito, coloca su primera ficha en la siguiente posición, ya ha ganado.

—Sí, claro —dijo el pequeño desconfiado.

—¿Cómo lo sabes, Mati? —preguntó Sal.

—Fijaos en las dos flechas que señalan dos hexágonos vecinos —les dijo —. Si Ven coloca su segunda ficha roja en uno de ellos, ya habrá llegado a una de las orillas rojas del tablero, ¿no?

Los niños asintieron con la cabeza. Gauss bostezó.

—Pero Sal, con sus fichas verdes —siguió —, solo puede ocupar una de ellas, con lo cual, con su segunda ficha roja, Ven ha llegado a la orilla, por ejemplo, como aquí:

—Vamos a continuar el camino rojo hacía la otra orilla —propuso la gafotas —, en alguna de las dos direcciones que señalan las fechas. Sal solo puede bloquear una de ellas con su próxima ficha verde, ¿no?

Los niños volvieron a asentir. Gauss se rascó la cabeza.

—Ahora fijaos en la siguiente pizarra —les dijo —Ponga donde ponga Sal la siguiente ficha verde, colocando la ficha roja en la otra opción, llegamos a una celda que tiene dos opciones para llegar a la orilla.

—Ya ha ganado Ven —aseguró Mati.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —gritó Ven.

—Pero, ¿tú no estás malito? —preguntó Sal a su hermano mirándolo por encima de las gafotas.

Ven tosió y frunció el ceño con cara de dolor.

—Claro —observó Sal —, en cualquiera de esas dos posiciones, haga lo que haga la verde, ya ha llegado… Me gusta ¿Nos cuentas cómo ganar en el tablero de 5 x 5?

—Con mucho gusto —respondió Mati con una reverencia —.Para que Ven gane en el Hex de tamaño 5 por 5, es suficiente que las rojas comiencen en esta posición:

—Para construir el camino rojo hacia la orilla roja superior —les contó Mati —elegimos la celda superior a la roja elegida, o la que está a la derecha de esta. Una de las dos, al menos, estará libre después de que jueguen las verdes. Suponemos que la verde se coloca justo por encima, cogemos la otra y ya llegamos a la orilla en la siguiente jugada.

—¡¡Mola!! —gritó Ven y rápidamente puso de nuevo cara de malito.

—Ahora, vamos a construir el camino hacia la orilla roja inferior —siguió ella —, bien en la celda de abajo de la primera que elegimos, bien la que está a la izquierda de esta, una de las dos tiene que estar libre después de que jueguen las verdes. Supongamos que Sal nos bloquea con una ficha verde en la celda de abajo, nos ponemos en la celda a su izquierda

—¡Toma, toma, toma! —empezó gritando Ven y terminó con voz de penita —He vuelto a ganar.

—Mola… —dijo Sal.

—Si las rojas empiezan en esa posición —concluyó Mati —aquí tenéis todas los posibles caminos para ganar a las verdes, en función de los movimientos que hagan estas.

—¡Toma, toma. toma! ¡Cómo mola! —volvió a exclamar Ven.

Sal lo miró de reojo y preguntó:

—¿Hay un método para ganar en cualquier tablero de cualquier tamaño, Mati?

—Me alegro de queme hagas esa pregunta —dijo esta muy teatrera —. Está probado que siempre existe una estrategia ganadora, pero solo se conocen, hasta donde yo sé, para tableros de hasta 9 por 9.

—No entiendo —se extrañó el gafotas —, si solo se conocen hasta 9 por 9, ¿cómo sabes que siempre se puede?

—Pues, ya verás —respondió Mati —, porque otro matemático con premio Nobel de Economía, John Nash, demostró que siempre había estrategia ganadora. Pero la demostración del señor Nash no era constructiva, es decir, no describía la estrategia, solo que existía la misma.

—Además —continuó contándoles Mati —, John Nash es conocido como el inventor del Hex, junto con otro matemático danés, Piet Hein, porque lo descubrieron independientemente. De hecho, cuando John Nash inventó el juego, en la Universidad de Princeton a este juego se le llamaba “Nash” e incluso, “John” en su honor. Nash buscaba el juego perfecto para los matemáticos, cuentan que él creía que era el HEX de 14 por 14.

—Qué tío —dijo Ven —, debía ser muy listo.

—Sí, lo es, aún vive —continuó Mati —. Muy listo y bastante especial. Aparte de por sus trabajos, Nash es muy conocido a nivel mundial a partir de un libro que sobre él escribió Sylvia Nasar y que fue adaptado posteriormente a una película:“Una mente maravillosa”.

—¿Por qué dices que es especial, Mati? —quiso saber Sal.

—Digamos que es un poco excéntrico —dijo esta —, en la película aparece, por ejemplo, garabateando fórmulas matemáticas por las paredes, puestas, ventanas…

—Qué loco… —dijo Ven sonriendo y, posiblemente, perpetrando imitar al señor Nash cuando de recuperara.

—Mati —preguntó Sal de repente —, ¿tú crees que el Hex 14 x 14 es el juego perfecto para los matemáticos?

—Bueno, —respondió esta —,entre los matemáticos, como en cualquier grupo humano que elijamos, hay personas muy, muy diferentes y con gustos muy distintos. Me gusta mucho jugar al Hex, pero sigo opinando que me gusta más el “Quarto“:http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/09/24/jugamos/.

—¡Y a mí! —exclamó el enfermito.

—Otra cosa que no entiendo, Mati —preguntó Sal —, estos matemáticos, Shapley y Nash, ¿tienen premio Nobel de Economía? ¿Por qué no de Matemáticas?

—Porque no existe el premio Nobel de Matemáticas, entre otras cosas —respondió ella.

—¿¿Por qué?? —preguntó Sal.

— “Hay muchas teorías“:http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/07/09/donde-estabas-y-que-hacias-cuando-anunciaron-que-habian-encontrado-el-higgs/ —le respondió ella —, pero aquí, entre vosotros y yo, yo creo que, básicamente, porque al señor Nobel no le gustaban las matemáticas.

—¡Fijaos! —gritó Ven de repente —¡Parece que tenemos otro futuro premio Nobel de Economía en casa!

FIN

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—¡Heeee! ¡Qué Gauss se está comiendo Júpiter! —dijo Manu.

—¡Gauuusss! Que ya no queda más plastilinaaa… —Ven, estaba temiendo volver a empezar.

Dada la situación Gauss decidió que lo mejor sería dejar de merendarse el planeta para otra ocasión.

—Ya casi lo tenemos terminado —Sal estaba emocionado con el sistema solar que estaban construyendo.

—Pues luego podríamos hacer un universo entero —Ven ya estaba pensando en el próximo proyecto.

—Vamos a necesitar mucha, mucha plastilina —dijo Manu muy seriamente.

—Un universo de plastilina —sentenció Sal.

—Niños, ¿sabéis que el universo se está expandiendo? —dijo Mati entrando por la puerta.

Los niños se levantaron y fueron corriendo a saludar a Mati con un gran abrazo. Gauss daba vueltas alrededor de la piña.

—Mati, ¿cómo es eso de que el universo se expande? —preguntó Manu con mucho interés.

—A lo mejor nos lo puede contar un amigo que ha venido de visita…

En ese momento entró Fis seguido de su gato, Scru, que caminaba sacudiendo sus patitas, como si se estuviera entrelazando con una cuerda invisible.

—¡Hola chicos! —dijo Fis contento de volver a ver a los niños.

—¡Fiiiiiiiiis! No sabíamos que venías — Ven dijo esto saltando sobre su amigo.

—Mira, Fis, este es nuestro amigo Manu —tras la presentación de Sal, Manu y Fis se dieron la mano muy solemnemente.

—Fis, estábamos empezando a hablar de la expansión del universo —dijo Mati

—¡Ah! Es un tema muy interesante —Fis puso esa cara que pone cuando va a empezar a explicar algo —.Ya veo que estáis haciendo un sistema solar… Como sabréis nuestro sistema solar forma parte de una galaxia que llamamos Vía Láctea. Hoy día podemos describir como evoluciona el universo en su totalidad. El secreto consiste en pensar que el universo está formado por un número muy grande de galaxias. Gracias al trabajo del señor Edwin Hubble descubrimos que el universo se está expandiendo.

—¿Y eso qué significa? —preguntó Manu cada vez más interesado en el tema.

—Bueno, supongamos que tenemos tres galaxias, la galaxia Sal, la galaxia Ven y la galaxia Manu —siguió contando Fis —. Si miramos al universo en un tiempo dado estas galaxias estarán en una determinada posición en esa malla. Nos puede ayudar pensar que tenemos una malla en el universo donde situamos estas galaxias. Lo que Hubble descubrió midiendo ciertas propiedades de la luz que emiten las galaxias es que cada una de ellas se aleja de todas las demás.

Los niños pusieron cara de extrañeza ensimismados en la explicación de Fis.

—Lo que sucede es que el espacio entre las galaxias se estira, se expande. Es fácil de ver con nuestra malla.

—Si miramos el universo un instante posterior vemos como las galaxias ocupan las mismas posiciones en la malla pero las distancias entre cada par de ellas ha aumentado —les contó Fis —. La expansión del universo es una propiedad del espacio en si mismo.

—Pero vamos a ver… entonces el universo se hace más grande con el tiempo —dijo Ven.

—Claro, si las distancias entre todas las galaxias aumentan porque aumenta el espacio entre ellas es que el universo se hace más grande —explicó Sal.

—Entonces hay algo raro, porque si el universo se hace cada vez más grande, al principio era muy pequeño —dijo Manu pensativo.

—¡Es verdad! En el pasado las galaxias estarían muy juntas. Estaría todo concentrado en un punto —remató Sal.

—Pues estarían muy agobiadas tan apretadas… —la ocurrencia de Ven hizo reír a todos.

—¿Cómo puede ser que todo estuviera en un punto? —preguntó Manu

— Esa es una buena pregunta —dijo Fis —. Pero tenemos que pensar una cosa, nuestro universo ahora es un conjunto de galaxias que se alejan unas de otras. Si pensamos qué ocurría en el pasado es lógico pensar que las distancias eran menores y que todo acabaría concentrado en un punto. Sin embargo, tenemos que tener en cuenta un detalle importante, nuestro universo tiene una temperatura. Hoy día la temperatura es, más o menos, de -270º Celsius, o 3 Kelvin.

—¿Recordáis cuando hablamos de las escalas de temperatura? —preguntó Mati a los niños.

—¡Sí! —respondieron los dos hermanos al unísono.

—Resulta que conforme el universo se expande la temperatura disminuye. Eso significa que… —continuó Fis.

—Que en el pasado la temperatura era mucho más alta… —se apresuró a contestar Sal.

—¡Exacto! —exclamó Fis —. Pero eso implica que la materia en los instantes iniciales del universo no era exactamente igual que la que vemos ahora. Los átomos estaban descompuestos en electrones y núcleos. Los núcleos estaban descompuestos en protones y neutrones. Los protones y neutrones estaban descompuestos en quarks. Y existían otras partículas que ahora no podemos ver sin producirlas en los laboratorios.

—Ah, sí —exclamó Ven —. Recuerdo que nos hablaste de todas las partículas cuando nos presentaste al bosón de Higgs.

—Eso es como cuando calentamos hielo que pasa a agua líquida y si seguimos calentando pasa a vapor, ¿verdad Fis? —preguntó Ven

—Es un mecanismo muy parecido Ven —respondió Fis —. El secreto está en que hoy no sabemos muy bien qué existía en los primerísimos instantes del universo. Lo que sabemos es que ocurrió algo que dio origen a la materia, al espacio, al tiempo. A este hecho se le denomina Big Bang. Y que después de originarse el universo empezó a expandirse, a enfriarse, y se formaron los quarks y electrones entre otras muchas partículas, los quarks formaron protones y neutrones, estos a su vez formaron núcleos y cuando estuvo lo suficientemente frío los núcleos y los electrones se unieron formando átomos. Con el tiempo se fueron formando las estrellas, y estas se agruparon en galaxias y eso dio lugar a la imagen que tenemos hoy día del universo.

—¡Qué chulo! —Manu estaba encantado con la historia.

—Bueno chicos, alguno de vosotros tendrá que resolver el problema de qué había al principio del universo —los animó Mati sonriendo —. Para eso tenéis que estudiar muchas matemáticas.

—¿Y todo eso cómo se sabe si allí no había nadie para verlo? —preguntó Ven realmente preocupado.

—Vaya Ven, esa es una pregunta muy buena. Afortunadamente el universo nos ha dejado pruebas de eso —dijo Fis —.Os voy a enseñar mi favorita.

Mati encendió un ordenador y un proyector y apareció una imagen en la pared.

—¡Qué guapo! ¡Qué guapo! —exclamó Ven tirando de las camisetas de Manu y Sal que estaban embobados con la foto.

—Esto, señores, es una foto del universo cuando tenía aproximadamente unos 360.000 años de edad. Lo que vemos aquí son fotones, partículas de luz, que nos llegan desde todas las direcciones del cielo. Mientras que el universo estuvo lo suficientemente caliente teníamos una sopa de cargas positivas y negativas y fotones. Los fotones tienen la manía de “rebotar” con las cargas eléctricas así que los fotones estaban rebotando de carga en carga y no podían moverse libremente.

—Cuando cumplió los 360.000 años —continuó Fis —la temperatura había descendido al punto de permitir que los electrones, protones y neutrones formaran átomos neutros, como Hidrógeno, Helio, etc. En este momento los fotones pudieron salir y propagarse en línea recta.

—Este proceso se dio en todos los puntos del universo y por eso nos llega esta radiación desde todas las direcciones —les siguió contando —Además la teoría predice que esta radiación tiene que tener una temperatura de alrededor de 3 Kelvin y es lo que encontramos con nuestros detectores.

—¿Y las manchas rojas y azules qué significan? —preguntó Manu.

—Representan regiones del cielo que estaban ligeramente más calientes que otras —explicó Fis —. Pero las variaciones entre las zonas rojas, las calientes, y las azules, las frías son de una parte en 100000. Es decir, que las variaciones de temperatura son muy, muy pequeñas. Sin embargo, estas variaciones son las semillas que dieron lugar a las galaxias.

—Bueno niños, esto lo tendremos que dejar para otro día. Mejor Fis y yo os invitamos a pizzas y nos llevamos a Gauss que parece que tiene hambre y, según parece, Júpiter tiene que estar delicioso… —dijo Mati y todos se echaron a reír

FIN

Pues sí, hoy también hemos tenido el honor de que Fis nos visite y nos cuente esta historia maravillosa sobre el origen del Universo. Si quieres aprender más cosas con él, con Fis, te recomiendo que te des un paseo por su blog, Cuentos Cuánticos, te va a encantar.

Esta entrada está dedicada a Manu, un chico muy curioso que me cae muy bien. Estoy segura de que algún día él tendrá que contarnos grandes descubrimientos a todos nosotros.

Volvemos pronto con más historias, no dejéis de mirar al cielo, de soñar… ni de querer entender nuestro Universo.

MATI

—¿Seguro que es la 35, Sal?

—Seguro, Ven, confía en mí.

—Es que hay tantas puertas… —dijo Ven —Éste sí que parece el hotel de los líos…

—Qué exagerado eres, Ven, todos los hoteles tienen un montón de puertas.

—¿Habéis encontrado nuestra habitación? —preguntó Mati que se unía al grupo de turistas.

—Sí, aquí está, la 35 —respondió el gafotas.

—Hay tantas puertas que me mareo… —añadió Ven muy teatrero, Sal resopló con cansancio.

—Me has recordado un acertijo que tiene que ver con puertas de un hotel —anunció Mati —Si queréis os lo cuento.

—¡Sí! —dijeron los hermanos al unísono, Gauss gruñó porque sabía que durante un rato nadie le haría caso.

—Érase una vez un botones de un hotel que se volvió un poco majareta —empezó a contarles Mati —Una mañana se fue a un pasillo del hotel, en el que había 10 puertas, numeradas del 1 al 10, y las abrió todas.

—¡Qué loco! —dijo Ven sonriendo.

—Calla, Ven —le pidió su hermano.

—Cuanto tuvo las 10 puertas abiertas —continuó la pelirroja —decidió cerrar todas la habitaciones que tenían un número par.

—¿Por qué? —preguntó el pequeño.

—Porque estaba majareta —respondió ella —Después, se fijó en las puertas cuyos números eran múltiplos de 3 y cerró las que estaban abiertas y abrió las que estaban cerradas.

— Es decir —mascullaba el gafotas —Cerró la 3 que estaba abierta, abrió la 6 que estaba cerrada porque es par, y cerró la 9 que estaba abierta.

—Eso es —confirmó ella —Después cambió de estado las puertas de las habitaciones que eran múltiplo de 4, es decir, las que estaban abiertas las cerró y las que estaban cerradas las abrió.

—O sea que abrió la 4 y la 8 que estaban cerradas, ¿no, Mati? —preguntó Ven.

—Efectivamente, cielo —respondió Mati y continuó —Luego hizo lo mismo con las puestas múltiplos de 5, después con las que eran múltiplos de 6, después de 7 y así, hasta que en la última vuelta solo modificó las puertas múltiplos de 10…

—O sea, solo la 10 —intervino Sal.

—Eso es —dijo ella —Ahora viene la pregunta…

—¿Qué le pasaba al botones? —interrumpió Ven con una sonrisa pícara.

—¡Jajajajajajajajajaja! No, Ven —le contestó Mati —La pregunta es ¿qué puertas estarán abiertas al final?

Los niños se quedaron un rato muy serios pensando… Gauss también puso cara de interesante.

—La 1 se queda abierta seguro… —decía Ven —porque el botones solo pasa una vez, la primera.

—La 2 se queda cerrada —añadió Sal —porque cuando pasa la segunda vez la cierra y ya no vuelve a pasar…

—Podemos ir rellenando en una tabla —les propuso Mati —el estado de las puertas después de cada vuelta que daba el botones. Pintamos de verde la puerta que está abierta y de rojo la que esté cerrada. En la primera vuelta, el botones abre todas las puertas

—En la segunda vuelta —continuó la pelirroja —Cierra las puertas pares, o sea, las que son múltiplos de 2.

—Ahora tiene que cerrar las 3 y la 9 —dijo Sal —y abrir la 6, porque son las 3 habitaciones múltiplos de 3.

—Ajá —confirmó ella.

—Y ahora —continuó Ven —es cuando tiene que abrir la 4 y la 8.

—Muy bien, Ven —dijo Mati

Al cabo de un rato, los niños tenían la tabla completa.

—¡La 1, la 4 y la 9! —gritó Ven de repente —Ésas son las que quedan abiertas.

—Efectivamente —dijo Mati —¿Y qué tienen de especial esos 3 números que no tienen los demás?

Otra vez los dos hermanos se quedaron pensativos, Ven miraba de reojo a Sal confiando en que su hermano encontrara la respuesta.

—¿Que son 1, 2 y 3 al cuadrado, Mati? —dijo el gafotas al cabo de un rato.

—Pero, bueno —se sorprendió ésta —¡Eso es! ¡Qué chicos más listos!

—¡Toma, toma, toma! —dijo Ven —¡Mi hermano mola todo!

— Y ¿sabéis qué? —les dijo Mati —si lo hacemos con 100 puertas el resultado es el mismo: las únicas puertas que quedarán abiertas son aquellas cuyo número sea un cuadrado perfecto: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100.

—¿Por qué, Mati? —preguntó Sal enseguida.

—Vamos a pensar cuántas veces cambia el botones el estado de una puerta —les dijo —Si el número es primo (sus únicos divisores son el 1 y él mismo), por ejemplo el 5, el carcelero solo pasa dos veces. En la vuelta 1 y en la vuelta 5, o sea la abre, y después la cierra.

—¡Toma, claro! —dijo Ven.

—O sea que los números primos quedarán cerrados al final —continuó Mati —El resto de las puertas, serán modificadas tantas veces como divisores tenga. Por ejemplo, el 6 tiene 4 divisores, 1, 2, 3, 6. Como el número de divisores es par, el botones pasará un número par de veces, y se quedará cerrada.

—Claro —pensaba Sal en voz alta —Abierta, cerrada, abierta, cerrada.

—En general —dijo Mati —Si el número de divisores de un número es par, esa puerta estará cerrada al final, ¿verdad?

Los niños asintieron con la cabeza.

—Pues bien —les dijo —solo los cuadrados perfectos tienen un número impar de divisores.

—¿Por qué? —insistió Sal

—Cualquier número natural mayor que 1 se puede expresar como producto de sus factores primos, de forma única, salvo el orden, claro —empezó a contar Mati.

—No entiendo —admitió Ven torciendo la boquita.

—Por ejemplo, si piensas en 18 —dijo ella —se puede escribir como

—También se puede escribir como 6 por 3, Mati —dijo Sal.

—Sí, pero 6 no es primo, porque tiene 4 divisores: el 1, el 2, el 3 y el 6 —contestó Mati —Y los números primos solo tienen 2 divisores, el 1 y ellos mismos.

—Entonces, vale —afirmó Ven con cara de interesante —Porque 2 y 3 son bastante primos….

—Ahora vamos a contar cuántos divisores distintos tiene 18 —les propuso la pelirroja.

—1, 2, 3, 6, 9, y 18 —dijo el gafotas.

—Efectivamente, Sal —corroboró ella —que se forman con todos los posibles productos de un número de la lista {1,2} y un número de la lista {1,3, 32}

—¡Toma! Es verdad… —exclamó el pequeño.

—Por lo tanto —continuó nuestra amiga —sabemos que 18 tiene 6 divisores, el resultado de multiplicar el número de elementos del conjunto {1,2}, esto es, 2, por el número de elementos del conjunto {1,3, 3 2}, esto es, 3.

—Ajá… —asintió el gafotas esperando impaciente el desenlace de esta historia.

—Pues ahora pensemos en un número cualquiera, le llamamos n, y pensemos que al descomponerlo en producto de factores primos tenemos que n es igual a a i x b j —les dijo —Vamos a contar cuántos divisores distintos tiene n. En un conjunto ponemos {1, a, a 2, a 3,…, ai}, que tiene i+1 elementos, y en el otro {1, b, b 2, b 3,…, bj}, que tiene j+1 elementos. Por lo tanto, n tendrá (i+1) x (j+1) divisores.

—Resumiendo un poco para que no nos perdamos —siguió Mati —queremos saber qué puertas quedarán abiertas después de que el botones majareta pase abriendo y cerrando. Sabemos que el botones cambia tantas veces la puerta como divisores tenga el número de la habitación y que se quedará abierta sólo si tiene un número impar de divisores, ¿no?

Los niños asintieron con la cabeza, Mati continuó:

—Ahora sabemos que el número de divisores de un número que se descomponga en factores primos como a i x b j es (i+1) x (j+1). Para que este número sea impar, deben ser impares (i+1) y (j+1).

—Pero si (i+1) y (j+1) son impares —continuó la gafotas —tenemos que tanto i como j son pares, o sea, que i es de la forma 2k y j será de la forma 2m.

—Pues ya lo tenemos, n debe ser el cuadrado de un número, concretamente si i es de la forma 2k y j de la forma 2m, entonces n es igual a a 2k x b 2m y por tanto n es el cuadrado de a k x b m.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —gritó Ven.

—Con esto podemos saber el resultado para 1000 puertas —dijo el gafotas —o para 10000, o para 100000…

—¡O para infinitas! —exclamó Ven.

—¿Un hotel con infinitas habitaciones, Ven? —preguntó Sal mirando de reojo a su hermano.

—No creas, Sal —intervino Mati —Otro día os hablaré de un hotel como ése.

—Pero en ese hotel infinito no podremos jugar a esto, ¿no? —dijo Ven divertido —Necesitaríamos un botones demasiado majareta…

FIN

Efectivamente, solo los cuadrados de números naturales tienen un número impar de divisores. En nuestra mateaventura solo lo hemos visto para números de la forma a i x b j, pero, evidentemente, esta misma prueba se puede adaptar para números naturales con cualquier descomposición en números primos.

Hasta muy pronto.

MATI

—Es alucinante, ¿verdad, Ven?

—A mí me recuerda a Wall-e, Sal.

—Sí, es verdad —reconoció el gafotas —Se parece. Me encantaría estar allí en Marte…

—¿No te da un poco de yuyu? —preguntó el pequeño

—Qué va… Me encantaría… Mandando mis descubrimientos a la Tierra…

—Una cosa, Sal, si el Curiosity está tan lejos, ¿cómo nos manda los resultados de sus experimentos?

Sal quedó sin saber qué responder a su hermano, con la mirada perdida en algún punto de su universo. Ninguno de los dos sabía qué decir.

—¡Creo que lo tengo! —dijo Sal —¡Se comunica con nosotros con ondas electromagnéticas porque esas sí que pueden viajar por el vacío!

—¡Toma! ¡Es verdad! —exclamó Ven —Pero… deben tener una antena muy grande, porque Marte está muy lejos —añadió.

—Huy, y estos chicos tan concentrados —Mister Green acababa de llegar —¿qué están pensando?

—Mister Green, ¿cómo manda el Curiosity la información a nuestro planeta? —preguntó Ven.

— Yo creo que es por ondas electromagnéticas —dijo Sal.

—¡Muy bien! Son ondas electromagnéticas.

—Pero… ¿dónde está la antena? —preguntó Ven.

Mister Green cogió un globo terráqueo, se sentó en el suelo junto a Sal y Ven y dio respuesta a sus preguntas.

—El Curiosity se comunica a través de ondas de radio y la Red de Espacio Profundo de la NASA se encarga de recibir estas ondas —les dijo.

—¿Ondas de radio? ¿Igual que la FM que escuchamos en el coche? —preguntó Sal.

—Sí, como esas —respondió Mister Green. —Entonces… ¿desde el coche podemos escuchar al Curiosity? —preguntó Ven.

—No, porque la radio del coche recibe frecuencias de ondas desde los 88 MHz hasta los 108 MHz, mientras que el Curiosity envía sus datos en una frecuencia de Banda X, que va desde los 8 GHz hasta los 12 GHz. Además, necesitaríamos una antena muy grande porque el Curiosity está muy lejos.

—¡Te lo dije! —dijo Ven con orgullo.

Mister Green siguió con su explicación.

—En nuestro planeta hay 3 estaciones de la NASA que forman la red que os he dicho antes. Una de las estaciones está en Barstow (Estados Unidos), otra en Canberra (Australia) y la última… ¡en España!

—¡Mola! ¿Y dónde está? —dijo Sal.

—Está en un pueblo de Madrid llamado Robledo de Chavela —respondió Mister Green mientras señalaba los 3 puntos en el globo terráqueo.

—Con estas tres estaciones nos aseguramos de que al menos una de ellas esté mirando a cualquier punto del Sistema Solar.

—¿Y la Agencia Espacial Europea también tiene antenas? —preguntó Ven.

—¿La ESA? ¡Claro! Tiene dos, una en Perth (Australia) y otra en…

—¡España! — exclamó Sal.

—¡Sí, en España! —añadió Mister Green —en un pueblo de Ávila que se llama Cebreros.

—¿Sólo tiene dos? —preguntó Ven con penita.

—Sí, aunque se están planteando instalar una nueva antena. De todos modos, existen colaboraciones entre la NASA y la ESA.

—¿La NASA y la ESA son amigos? —preguntó Sal extrañado.

—¡Claro! Las misiones espaciales son muy caras y tienen que trabajar juntos si quieren que todo salga bien —respondió Mr. Green.

—Como nosotros, Sal —dijo Ven abrazando a su hermano —Pero ¿cómo son las antenas?

—Pues no son como las del coche. Son antenas parabólicas —respondió Mister Green.

—Y esas parabólicas serán más grandes que las de la tele, ¿a que sí? —dijo Sal.

—¡Sí! Muchos más grandes —dijo Mister Green.

Mati apareció y se sentó junto a ellos, Gauss aprovechó para dejarse mimar por la pelirroja.

—¿He oído parábolicas? ¿Sabéis que las parabólicas son unas superficies que se estudian en Geometría? —dijo Mati.

— ¿Y qué tienen de especial las parabólicas? —preguntó Sal.

—Las parabólicas son una sección de un paraboloide y cuando le llega un haz de rayos paralelos, los refleja en el foco —les dijo ella.

—¿Y qué tiene que ver eso con el Curiosity? —añadió Ven.

—Como el Curiosity está tan lejos, las ondas electromagnéticas que nos envía, aquí en la Tierra las podemos aproximar a rayos paralelos, y cuando la parábola está apuntando al Curiosity, estos rayos se reflejan todos en el foco, y ahí es donde está el receptor y así podemos recibir todo lo que envía —respondió Mati.

—¡Qué guay! —exclamaron Sal y Ven al unísono.

—Y además de recibir, desde esas antenas también podemos enviarle órdenes al Curiosity y así comunicarnos con él —añadió Mr. Green.

—¡Toma, toma, toma!¡Cómo mola! —exclamó Ven.

—¿Y sabéis qué es lo mejor? —preguntó Mr. Green.

Sal y Ven miraron a su amigo con impaciencia.

—En Robledo de Chavela hay una antena de 34 metros de diámetro que la NASA ya no utiliza y ahora se usa para enseñar a los estudiantes cómo funciona un radiotelescopio.

—¿Y podemos usarla? —preguntó Sal entusiasmado.

—¡Claro! ¡Pero tendréis que esperar a estar en secundaria o bachillerato! Es un proyecto que se llama PARTNeR (Proyecto Académico con el RadioTelescopio de NASA en Robledo) y si queréis ir viendo en qué consiste, podéis encontrar más información en esta “página”:http://partner.cab.inta—csic.es/. Pero antes tendréis que hablar con vuestros profesores, porque ellos tienen que recibir un curso de formación.

—¡Me encanta! ¡A mí ya me queda muy poco para poder participar! —dijo Sal.

—Además, como son ondas de radio, se puede manejar durante el día y no hay que esperar a la noche —añadió Mr. Green.

Sal y Ven quedaron boquiabiertos, no sabían qué decir.

—¿Qué se puede hacer con ese radiotelescopio? —preguntó Mati.

—¡Muchas cosas! —respondió Mr. Green —Se puede ver el campo magnético de Júpiter, que tiene forma de donut, se pueden estudiar nubes moleculares que hay en el espacio, se puede hacer un radiomapa del centro de nuestra galaxia y se pueden observar uno de los objetos que más me gustan: ¡los restos de una supernova! —les contó.

—¡Yo quiero ver una supernova! —dijo Sal.

—Toma, ¡y yo! —añadió Ven.

Mr. Green cogió una pequeña bola de plomo de las que se utilizan para pescar y un pequeño adorno de plata. Se los dio a Sal y Ven.

—Todos los elementos químicos de la tabla periódica que vienen después del hierro, se formaron en las explosiones de supernova —les contó.

Sal y Ven miraron a Mr. Green extrañado.

— Lo que tenéis en la mano es un trozo de plomo y un trozo de plata. Los átomos que lo forman no se formaron aquí en la Tierra, sino durante la explosión de una supernova. Ahora estáis tocando los restos de una explosión de supernova —añadió Mr. Green.

—Todos estamos formados por restos de la explosión de una supernova… —añadió el pequeño Ven con los ojos brillantes.

Durante unos segundos nadie dijo nada, se habían quedado sin palabras… Gauss, aprovechó para recordar su pasado estelar… él es así.

FIN

Pues sí, hoy también hemos tenido el honor de que “Mr. Green”:https://twitter.com/aperezverde nos visite y nos cuente esta historia maravillosa sobre el planeta rojo. Si quieres aprender más cosas con él, con Mr.Green, te recomiendo que te des un paseo por “su blog”:http://lospilaresdelaciencia.blogspot.com.es/, te va a encantar.

Volvemos pronto con más historias, no dejéis de mirar al cielo… ni de soñar.

MATI

—¡Jaque mate! —dijo Sal —¡He ganado! ¡He ganado!

—Ni hablar, he ganado yo —añadió Ven sin inmutarse.

—Pero, ¿qué dices? —protestó Sal extrañado —¿Cómo que has ganado tú? ¡Si me he comido tu Rey!

—Ya… —aceptó el pequeño —Pero mi Rey llevaba una bomba terrible en la barriga y el que se lo come, muere.

—¡¡Qué morro tienes, Ven!! ¡¡No pienso jugar nunca más contigo!! ¡¡He ganado yo y lo sabes!! No sé de qué te ríes…

—¿Qué pasa aquí? —Mati acababa de entrar en el salón —Nunca vi a unos jugadores de ajedrez tan exaltados…

—Ven es un tramposo —respondió Sal rápidamente —No pienso jugar nunca más con él.

Ven seguía sonriendo tras su dudosa victoria.

—Hola, Mati —dijo Ven —¿Quieres jugar una partida de ajedrez conmigo?

—Solo si me prometes que no usarás bombas —contestó ella —Ya sabéis que a los matemáticos nos gusta mucho el ajedrez, está lleno de matemáticas.

—¿El ajedrez? —preguntó Sal aún alterado.

—Sí, el ajedrez —confirmó la pelirroja —Para empezar el sistema que se usa en la actualidad para indicar la secuencia de los movimientos en una partida, usa la notación algebraica.

—¿Y eso qué es, Mati? —quiso saber el gafotas.

—Algo parecido a lo que os conté de las “coordenadas cartesianas“:http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/03/28/descartes-y-los-barquitos/ —dijo Mati —aquel día que jugábais a los barquitos. Cada casilla del ajedrez se identifica usando dos caracteres, como dos coordenadas, una indica la fila y otra la columna. Para ello, etiquetamos las filas con números y las columnas con letras. A ver, ¿en qué casilla está la dama en esta figura?

—En la e6 —dijo Ven rápidamente.

—Efectivamente, cielo —dijo Mati —Pero además de servir para identificar cada casilla del tablero, también se usa esta notación para describir los movimientos.

—¿Cómo, Mati? —preguntó el gafotas.

—Os lo cuento —siguió ella —A cada pieza, excepto a los peones, se le asigna una etiqueta: R al rey, D a la dama, T a la torre, A al alfil y C al caballo.

—Los alfiles son los elefantes, ¿verdad, Mati? —interrumpió el pequeño.

—Eso es, Ven —corroboró ella —Alfil proviene del persa y significa elefante, sí, señor. De hecho, en el chaturanga, el juego que originó el ajedrez y del que “os hablé otro día“:http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/1275/-gauss-cumple-14-anos, el alfil se representaba con elefantes.

—Mola… —murmuró Ven.

—Pues bien, chicos —continuó Mati —Si queremos indicar un movimiento en una partida de ajedrez, con esta notación, lo hacemos indicando primero la letra que representa a la pieza, seguida de las coordenadas de la casilla a la que la vamos a mover. Por ejemplo, ¿sabéis cómo se llama esta jugada?

—¿La dama era D, no, Mati? —preguntó Ven.

—Sí —confirmó ella.

Dc4 —dijo Sal —porque la dama se va a mover a la casilla c4, ¿no?

—Eso es, Sal —dijo ella —Muy bien.

—Yo también lo sabía… —murmuró el pequeño.

—Bueno, bueno —siguió Mati con voz misteriosa —creo que esto es muy fácil para estos chicos, creo que tendremos que complicar un poco el asunto… ¿Qué tal si jugamos con dos tableros?

—¿¿Con dos tableros?? —preguntaron los dos niños a la vez.

—Sí, con dos tableros —confirmó ella —El “ajedrez de Alicia“:http://es.wikipedia.org/wiki/Ajedrez_de_Alicia .

—¿Quién es Alicia, Mati? —preguntó el gafotas.

—Alicia es el personaje de una novela de un escritor muy famoso, “Lewis Carroll“:http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/04/09/matematicas-y-maravillas/ —les contó —que además, era matemático: Alicia en el pais de las maravillas

—Ah, bueno, Mati —protestó Ven —Esa historia la conoce todo el mundo…

—¿El autor de Alicia era matemático? —preguntó el gafotas.

—Efectivamente, Sal —respondió ella.

—¿Y cómo es el ajedrez de Alicia? —preguntó Ven.

—Es como el ajedrez que jugáis vosotros —le respondió ella —pero se juega con dos tableros, como si uno se reflejara en el otro. Está inspirado en la segunda parte de Alicia en el país de las maravillas, en A través del espejo y lo que Alicia encontró allí.

—¿Y cómo se juega? —preguntó Sal.

—Cada vez que una pieza se mueve —dijo Mati —pasa a través del espejo, es decir, cambia de tablero, a la posición correspondiente.

—No entiendo… —protestó Ven.

—Tú piensas un movimiento válido para la pieza que quieres mover en el tablero en el que está dicha pieza —continuó Mati —miras las coordenadas de la casilla a la que llegaría tras el movimiento y la llevas a la casilla con las mismas coordenadas del otro tablero. Por ejemplo, si en la primera jugada, las blancas hacen d4 y las negras Cc6, nos quedaría así.

—Qué chulo… —dijo Sal

— Si ahora las blancas hacen Af4 y las negras vuelven a mover al caballo en Ce5, nos queda esto. El caballo volvería al tablero inicial.

—Es un poco lío… —volvió a protestar el pequeño.

—Puede que tengas razón —aceptó la gafotas —Pero si queréis, os puedo proponer algunos acertijos en un único tablero.

—¡Vale! —dijeron a la vez.

—Primer acertijo: —anunció Mati —¿Cuál es el número máximo de piezas iguales se pueden colocar en el tablero de forma que no se amenacen entre ellas?

—Depende de la pieza, ¿no, Mati? —dijo Sal.

—Evidentemente —afirmó ella—Podéis pensarlo con las torres, que es muy fácil.

Sal y Ven se quedaron pensativos mirando al tablero…

—Como mucho 8, ¿no, Mati? —preguntó el gafotas.

—Eso es, Sal —respondió ésta.

—¿Por qué? —intervino el pequeño.

—Porque no puede haber dos torres en la misma fila —siguió diciendo Sal —se amenazarían.

—¡Toma, claro! —exclamó Ven.

—A ver… —siguió Sal —Si ponemos una torre en una esquina, en su fila y en su columna no puede haber otra…

—Pon otra aquí, pegada, en la diagonal —le propuso Ven —Y tacha la fila y la columna de esta segunda torre.

—Ya está, Ven —dijo Sal de pronto —Si seguimos haciendo eso, podemos poner las 8 torres en la diagonal

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —Ven se abrazó a su hermano.

—¡Muy bien, chicos! —los felicitó Mati —¿Y si son damas?

Los niños volvieron a quedarse pensativos, pero satisfechos.

—Otra vez, como máximo 8, Mati —dijo Sal —Porque no podemos poner 2 damas en la misma fila o en la misma columna

—¡Ajá! —dijo ella —¿ Y se pueden poner 8?

—Pero ahora no vale ponerlas en la diagonal… —se quejó Ven.

Los niños estuvieron mucho rato mirando al tablero, Gauss también.

—Bueno, en realidad —intervino Mati —Éste es bastante más difícil, no os preocupéis. Existe un “algoritmo para encontrar las soluciones“:http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_las_ocho_reinas. Os enseño una, ¿vale?

—¡Toma! —dijo Ven.

—¿Las soluciones, Mati? —preguntó Sal —¿Hay más de una?

—Sí, Sal, hay 92 soluciones —contestó ella.

—¡Tooooooomaaaaaaaaa! —exclamó el pequeño.

—Venga, os propongo otro reto en el tablero, ¿queréis?

—¡¡¡Bien!!! —dijeron los dos a la vez?

—¿Cuańtas piezas del mismo tipo hacen falta para que en cada casilla del tablero o bien haya una ficha de ese tipo o bien está amenazada por una de ellas?

—Y yo qué sé… —contestó inmediatamente Ven.

—Piénsalo, Ven —le retó ella —Piénsalo con torres.

El pequeño arrugó la cara mucho mirando el tablero y al cabo de unos segundos gritó:

—¡Ocho! ¡Ocho! ¡Una en cada columna!

—¡¡Muy bien, Ven!! —dijo su hermano muy contento.

—¿Y si lo pensáis con reyes?

Los dos hermanos se pusieron manos a la obra, bajo la atenta mirada de Gauss.

—Si ponemos uno aquí…

—Muy bien, Sal, y ahora otro aquí…

—No, Ven, ahí no —dijo el gafotas —que estás desaprovechando casillas, mejor aquí

Al cabo de un rato, los dos hermanos exclamaron a la vez

—¡¡Nueve!!

—¿Y con alfiles? —les preguntó.

Sólo transcurrieron unos minutos hasta que Sal y Ven gritaron a la vez:

—¡¡Ocho!!

—¡¡Cuatro negros y cuatro blancos!! —puntualizó el más pequeño.

—Pero bueno… —Mati estaba alucinando —¿Y con damas?

Ahora sí nuestros amigos estuvieron mucho rato pensando, Gauss también, pero acabaron rindiéndose.

—No nos sale, Mati…

—Bueno, éste es bastante complicado, quizás. La respuesta es que se necesitan 5 reinas para conseguirlo. Otro día os cuento por qué, hoy sólo os enseño la solución.

—¿Y cómo sabes que ésa es la mejor solución? —preguntó Sal.

—Digamos que tiene que ver un poco con Teoría de Grafos… Otro día os lo cuento. Y os contaré más pasatiempos sobre el tablero…

—Cómo mola, Mati —reconoció Ven con los ojos de par en par —Me encanta el ajedrez, ¡ahora más!

—Para que veáis —respondió Mati —cuántas cosas divertidas se pueden hacer con un tablero y 32 piezas. Por cierto, hablando de piezas, ¿dónde se ha metido Gauss?

FIN

—Pero si yo voy a votar a tu curso, Sal, ¡no es justo!

—¡Ven, no se puede obligar a nadie a votar lo que tú quieres! —protestó el gafotas —Eso no es democrático, ¿sabes?

—Ni democrático ni flores, Sal —insistía el pequeño —Si no votas a 3ºA puede que yo me quede sin ir al estadio, ¿sabes?

—Pero iremos el fin de semana con el abuelo, —siguió Sal —nos lo prometió. Y yo quiero que venga Pablo, así que votaré a 5ºB.

—Me parece muy bonito —añadió Ven con mucha pena y con la barbilla temblona —Eres la única persona que he visto todos los días de mi vida… y prefieres votar a Pablo antes que a mí…

El gafotas se quedó serio por un instante, luego añadió:

—De todas formas, Ven, yo no te puedo votar a ti, sino a tu clase. Eso no te asegura que seas tú uno de los elegidos.

—Ya lo sé, lo explicó la directora —dijo Ven hipando —Pero cuantos más votos tenga mi clase, más niños podrán ir de ella. Es como lo del concierto de los diputados.

—No me digáis que los diputados van a dar un concierto —Mati acababa de llegar —¿Será de rock?

—Hola, Mati —dijo Sal esbozando una leve sonrisa —Creo que Ven quería decir congreso, no concierto —y añadió poniendo la mano sobre el hombro de su hermano —¿verdad, Ven?

El pequeño asintió levemente con la cabeza, mientras usaba la manga derecha de su camiseta a modo de pañuelo para secar una lagrimita que resbalaba por su mejilla… y algún moquito también…

—Hola, Mati —se atrevió a susurrar finalmente Ven.

—¿Qué te pasa, cielo? —preguntó Mati —¿Por qué tanta pena?

—Porque Sal quiere más a Pablo que a mí…

—Eso no es cierto y lo sabes, Ven —protestó el gafotas —Además, aún no tengo decidido mi voto del todo, ¿sabes?

—Bueno, bueno… —intervino la pelirroja —¿Me contáis de qué va esta campaña electoral?

—Es que esta semana vienen al estadio olímpico los jugadores de la selección con la copa del mundo —empezó a contarle Sal —En nuestro colegio van a seleccionar a 32 niños para ir a verlos, y lo vamos a elegir como lo hacen los mayores para que todos los niños aprendamos sobre el sistema electoral de nuestro país.

—Sí, lo de la leydón —añadió el pequeño.

—¿La “ley D’Hondt“:http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_D’Hondt? Hala, qué buena idea… —dijo alegremente Mati —Me parece estupendo, algunos mayores no entienden cómo funciona la ley D’Hondt. Está bien que se aprenda en el colegio, sí.

—Bueno, Mati —aceptó el gafotas —yo tampoco sé cómo funciona, nos la van a explicar cuando cuenten los votos…

—¿Queréis que os la explique un poco? —preguntó Mati tratando así de relajar el ambiente que parecía un poco enrarecido.

—Vale —aceptó el pequeño.

—¡Sí! —pidió Sal —¡Por favor!

—Primero me tenéis que contar cómo es la votación, para que yo os explique cómo se gestionarán los votos.

—¿Se lo cuento yo, Ven? —preguntó Sal a su hermano en tono muy cariñoso tratando de disipar cualquier duda sobre el cariño que le profesaba a éste.

El pequeño asintió con su cabeza.

—Verás, Mati —empezó a contar Sal —Cada clase de segundo y tercer ciclo de primaria, es como un partido político: 3ºA, 3ºB, 4ºA, 4ºB, 5ªA, 5ºB, 6ºA y 6ºB.

—¿Los más pequeños no van? —preguntó la gafotas.

—Sí, pero ellos se eligen de otra manera más de pequeños, ¿sabes? —dijo Ven.

—Cada niño de segundo y tercer ciclo de primaria —siguió el gafotas —sólo puede votar a una clase, pero no a la suya…

—Y Sal quiere votar a la de Pablo… —masculló Ven.

—Cuando acabe la votación —siguió Sal como si no hubiese escuchado a Ven —se elegirán tantos niños de cada clase como indique la ley ésa.

—La ley D’Hondt —dijo Mati — D, apóstrofo, h, o, n, d, t…

—Toma, yo creí que era leydón porque era una ley muy importante… —intervino el pequeño.

Mati sonrió y continuó:

—Así que tenemos que elegir a 32 niños, como si fuesen 32 diputados…

—Diputado es una palabra con taco —interrumpió, de nuevo, Ven.

—Ven, no interrumpas tanto, por favor —le pidió Sal amablemente.

—Es que como estoy tan triste… —respondió Ven llevando el chantaje fraternal al extremo.

—Así que tenemos que elegir a 32 niños, como si fuesen 32 diputados, —repitió Mati en un tono un poco más elevado —de un conjunto de… ¿cuántos niños sois en total en esos cursos?

—No lo sé, Mati —reconoció Sal.

—Bueno, vamos a hacer una simulación —les propuso —Supongamos que hay 20 niños por curso, son 8 cursos, en total, 160 niños, ¿os parece?

Los dos hermanos asintieron con la cabeza. Gauss también, se ve que estaba de acuerdo.

—Os voy a contar el sistema que Victor D’Hondt propuso para obtener el número de diputados de cada partido, en función de los votos obtenidos.

—¿Era matemático? —preguntó Sal.

—Sí, también era matemático —respondió ella —Además de abogado, profesor de Derecho, hombre de negocios…

—Qué tío… —exclamó Ven.

—Vamos a inventarnos una tabla con los posibles resultados de las votaciones para explicar el sistema D’Hondt —les propuso.

—Vale —dijo Sal.

—Yo voto a 6ºA que es la clase de mi hermano… —dijo el pequeño remarcando mucho el final de su frase. Sal le miró de reojo con cierta resignación….

—Vamos a pensar que tenemos que elegir sólo 8 niños para la excursión al estadio, ¿vale? —propuso Mati

—¡Sí, claro! —protestó Ven.

—No te pongas así, Ven —le dijo ella —es sólo para hacerlo más corto. Para 32 se hace igual, pero más largo.

—Vale —aceptó el pequeño.

—Vamos a repartir los 160 votos entre las 8 clases —les propuso —Por ejemplo así —y les entregó una hoja de papel

Los niños miraron los votos de cada clase y aceptaron los resultados.

—Ahora, en la pizarra —continuó Mati —vamos a ir rellenando una tabla, como veis. Debajo de los resultados de cada partido político, perdón, de cada clase, escribimos el resultado de dividir sus votos por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, ya que vamos a elegir a 8 diputados, digo, excursionistas en total.

—Pues bien, chicos —les dijo —siguiendo el sistema D’Hondt, los 8 elegidos para la excursión, saldrán de los 8 valores más altos de todos los contenidos en esa tabla, los escritos en color blanco.

—¿Cómo? —preguntó Ven.

—Lo haremos uno a uno —contestó Mati —El primer diputado elegido, digo, el primer niño elegido corresponde a la casilla con el valor más alto, ¿cuál es?

—¡Ésta! —señaló Sal —El 35.

—Bien —dijo Mati —eso significa que el primer niño saldrá de la clase de 3ºA.

—¡Mola! —exclamó Ven.

—Vamos a por el segundo candidato —les propuso —¿cuál es el siguiente número más alto en la tabla?

—¡El 30, de 6ºA! —respondió el gafotas con alegría.

—Ajá —corroboró ella —El segundo niño será de la clase de 6ºA.

Sal sonrió feliz. Ven trató de disimular su alegría.

—¿Cuál será el siguiente? —volvió a preguntarles.

—¡Mira, Sal! —gritó Ven —Es el 21, y es de 5ºB, puede que vaya Pablo también.

—Ven, esto es una simulación —le recordó su hermano con una sonrisa.

—¿Seguimos, chicos? —preguntó Mati

—El siguiente número es el 18 —dijo Sal —O sea, un candidato de 6ºB.

—El siguiente número más grande es …—dijo Ven —el 17’5, ¡toma, toma, toma!¡Otro de mi clase!

—Y ahora… —dijo Sal —es el turno del… 17, ¡un chico de 3ºB a bordo! —añadió cómicamente.

—¡No me lo puedo creer! —dijo Ven —El siguiente número es el 15, ¡otro de la clase de mi super hermanito!¡Cómo molaaaaaaaaaaa! —Ven se ponía casi de rodillas celebrándolo.

—Y el uĺtimo escaño, digo, la última plaza para la excursión…—decía el gafotas —con el número 14, ¡adjudicada a la clase de 4ºA!

—¿Veis? —les dijo Mati —Ya hemos elegido a los 8 candidatos según D’Hondt, de forma proporcional al número de voto obtenidos: 2 alumnos de 3ºA, 2 de 6ºA, y un alumno de cada una de las clases de 3ºB, 4ºA, 5ºB y 6ºB

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —dijo Ven —Nuestras clases han sacado 2, Sal.

—Que es una simulación, Ven —aclaró el gafotas —Oye, Mati, y para elegir a los 32, ¿hay que añadir filas hasta dividir todos los resultados de los partidos por 32?

—No, no hace falta, es lo bueno de este sistema, ¿sabes? —respondió Mati —Podemos seguir eligiendo diputados, digo, excursionistas hasta que lleguemos al final de una de las columnas. En nuestra tabla, hasta que lleguemos al final de la columna de 3ºA, donde tenemos 4’375. Por lo tanto, con esta misma tabla podemos elegir tantos candidatos como números mayores que 4’375 hay en ella, ¿cuántos hay?

Los niños se pusieron a contar… Gauss seguía intentando parecer poco interesado en el tema.

—Hay 31 números mayores que 4’375, Mati —dijo finalmente Sal.

—En ese caso —respondió ella —nos sirve para elegir a 32 excursionistas…

—¡Toma, toma, toma! ¡Este Victor cómo mola, se merece una ola! —Ven estaba entusiasmado, tanto que olvidó su pequeño enfado con su hermano.

—¿Sabes, Ven? —dijo entonces Sal —Voy a votar a tu clase, me lo paso muy bien contigo.

—Espero que tengáis suerte, chicos —dijo Mati —Y a ver si convencemos también a nuestros amigos para que nos voten a nosotros, ¿no?

FIN

Pues sí, esta es la famosa Ley D’Hondt, aunque tengo que decir que sería más correcto llamarle Sistema D’Hondt o Método D’Hondt, porque se trata de un método, pero es popularmente conocida con el nombre de ley D’Hondt.

No es esta la primera vez que hablamos de votaciones y procesos electorales, os recomendamos que veáis este capítulo.

Si te gusta nuestro blog, puedes votar por él en la categoría de Educación de los “Premios Bitácoras 2012“:http://bitacoras.com/premios12/votar

Muchas gracias

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MATI

—Esto se pone emocionaaaaanteeee… —retransmitía Ven con voz de locutor —estamos en la vuelta número 31 y Venttel va en primera posicióóóóóóóónnn… Pobre, Shalmacher… no podrá adelantarlooooo…

—¿Puedes jugar calladito, Ven? —protestó el gafotas —Y no me llames Shalmacher, pesado…

—Te llamaré Salmiltooooooooon… —Ven siguió restransmintiendo sin mirar a su hermano —¡Toma, toma, tomaaaaaaa! ¡Bandera de cuadros para Venttel!

Ven soltó el mando y abrazó a Gauss con más ímpetu del que éste hubiese preferido.

—Yo no juego más —dijo Sal soltando su mando —Esta pista es muy fácil y aburrida.

—¿¿Cómo?? —Ven miraba a su hermano con los ojos abiertos de par en par —Claro, como te gano siempre dices que esta pista es aburrida, ¿no?

—No es por eso… —trató de defenderse Sal.

—Pues que sepas que esta pista es la mejor —siguió argumentando el pequeño —porque se parece al infinito, y ¡el infinito es la caña!

—Bueno, no sé si es una caña el infinito —Mati acababa de entrar en el salón —A mí me recuerda a una rosquilla…

—¡Hola, Mati! —saludaron los dos hermanos.

—Hola, chicos —respondió la pelirroja —no pude evitar la tentación de entrar, me llegaba el olor a neumáticos y escuchaba la emoción del locutor…

—Bueno, ya sabes, Mati —dijo Sal sonriendo —Ven es un poco novelero para estas cosas…

—Y tú un poco tramposo —añadió Ven —¿Sabes, Mati? Como no me puede ganar nunca dice que esta pista es muy aburrida.

—Es que lo es… —insistió el gafotas.

Mati se quedó mirando el circuito muy pensativa, lo levantó por un lado, comprobó la resistencia del materíal, las conexiones de los raíles…

—Es una pena que no se pueda moldear un poco la pista —dijo finalmente.

—¿Moldear? ¿Para qué?

—Porque si, al menos, pudiésemos girar un poco uno de los tramos, Ven —contestó ella —tendríamos una banda de Möbius y eso sí que sería una pista alucinante…

—¿Una banda de qué, Mati? —preguntó rápidamente Sal.

—Una banda de Möbius —les contó —es una superficie con una sola cara y un solo borde.

—No entiendo, Mati —se quejó el pequeño.

—Verás, vuestra pista tiene 2 caras, ¿verdad? La de arriba, por donde corren los coches, y la de abajo —empezó a decir Mati —Para pasar de la cara de arriba a la de abajo, tendríais que levantar el coche de la pista o circular por el borde de la misma, ¿no?

—¡Toma, claro! —confirmó Ven.

—Pues bien, si la pista fuese una banda de Möbius, se podrían recorrer las dos caras, sin levantar el coche y sin pisar el borde —continuó Mati —porque en realidad, sólo tiene una cara.

—¡Ja! No me lo creo… —insistía Ven.

—Vamos a verlos con una cinta de papel y un lápiz, ¿queréis?

—¡Sí! — contestaron los dos niños.

Mati tomó una hoja de papel y cortó dos tiras rectangulares, más o menos iguales.

— Con esta primera tira vamos a hacer lo siguiente: —les propuso —Pegamos los dos extremos de esta tira, en la dirección que indican las flechas… y lo que nos queda es un cilindro.

—Con esta otra tira, pegamos los bordes, pero girando uno de los extremos, como indican las flechas. Nos queda una banda (o cinta) de Möbius.

—Eso tiene dos caras, Mati…. —dijo Ven receloso.

—No, tiene sólo una —dijo la pelirroja —A menos que la veamos en dimensión 7 o superior, la banda de Möbius tiene una sola cara.

—¿En dimensión 7? —preguntó rápidamente el gafotas —¿Cómo se puede ver en dimensión 7, Mati?

—Huy, con el poder de la mente… —Mati le guiñó un ojo —Pero vamos a quedarnos en dimensión 3, ¿me prestáis un lápiz?

Ven le dio un lápiz a su amiga.

—Empieza a pintar con un lápiz empezando desde cualquier punto de la cinta de Möbius y trata de recorrerla entera —dijo Mati —verás que vuelves al mismo sitio y la cinta está pintada por los dos lados.

Sal y Ven construyeron una banda de Möbius cada uno y se pusieron a pintar como les había pedido Mati.

—¡Toma, toma, toma! —gritó Ven —¡Es verdad!

—Este hecho, —continuó Mati —el de que la cinta de Möbius sólo tiene una cara, se aprecia mejor en este dibujo de Escher.

—¡Wow! —exclamó el gafotas —Es alucinante…

—¿Os imagináis una pista de coches así? —les preguntó la pelirroja.

—¡Hala! —exclamó el pequeño —¡Sería chulísima!

—Efectivamente, lo sería —corroboró Mati —Pero ya que tenemos las tiras de papel vamos a jugar un poco más con la banda de Möbius.

—¡Venga! —dijo el pequeño.

—Si cortamos el cilindro por la mitad, longitudinalmente —les dijo —tendremos dos cilindros.

Los niños cortaron un cilindro por la mitad y comprobaron lo que decía Mati.

—Pero si hacemos lo mismo con una banda de Möbius —les dijo —Nos queda una sola figura.

Los niños cortaron una cinta de Möbius por la mitad y descubrieron que les quedaba una sola pieza en las manos.

—¡TOMA! —gritó Ven —¡Ahora tenemos una banda de Möbius grandota!

—No, Ven —le corrigió Mati sonriendo —Eso que tenéis en las manos no es una banda de Möbius, tiene dos caras, comprobadlo con el lápiz.

Sal dibujó una linea a lo largo de la pieza obtenida tras cortar longitudinalmente la banda de Möbius y descubrió que, efectivamente, una de las caras de la cinta seguía sin pintar.

—¿Veis? —les peguntó Mati —No es una banda de Móbius, es un cilindro.

—Alucina, Sal… —Ven estaba muy emocionado.

—Pues fijaos, ahora —les propuso —si pintamos dos líneas paralelas a lo largo de la cinta de Móbius y cortamos…

—¡Saldrá un cilindro enorme! —se apresuró a decir Ven.

—Hacedlo —les retó Mati.

Los niños se pusieron manos a la obra…

—¿Esto qué es, Mati? —preguntó Sal —¿Son dos cilindros?

—No —les respondió ella —El más grande es un cilindro, pero el más pequeño es, de nuevo, una banda de Möbius.

—¡Es chulísimo, Mati! —dijo el pequeño.

—Lo es —confirmó ella —¿Queréis que os enseñe a hacer algo muy romántico?

—¡Oh, sí! —respondió Ven con cara de pícaro —Para Sal y “Verónica“:http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/1529/29-de-agosto…

—Calla, Ven —interrumpió Sal con las mejillas encendidas.

—Construimos dos bandas de Möbius —les dijo —Las pegamos de forma que una quede perpendicular a la otra. Cortamos cada una de las bandas de Möbius por la mitad y… vamos a verlo en este “vídeo“:http://www.youtube.com/watch?v=tK_dMNqXy2I&feature=plcp de nuestro amigo “Joaquín“:http://i-matematicas.com/blog/

—¡Toma! —gritó Ven —Son dos corazones, el de Sal y el de…

—¡Calla, Ven!

—Es un regalo perfecto —añadió Mati —si además se acompaña de esta “música“:http://www.youtube.com/watch?v=0T54JqTcH-4 que, según me contó “Fis“:http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/1499/27-kilometros-para-entender-la-masa, le recuerda siempre a la banda de Möbius.

FIN

Pues sí, amigos, la banda o cinta de Möbius tiene un montón de propiedades maravillosas. Si queréis conocer más, os aconsejo que echéis un vistazo a este “trabajo“:http://www.ehu.es/~mtwmastm/PG-08-09-Macho.pdf muy completo de Marta Macho Stadler, del que además hemos tomado prestadas algunas fotografías de nuestra mateaventura.

A mí me gusta mucho porque, además, es la imagen de los blogs de dos de mis mejores amigos: “Tito Eliatron“:http://eliatron.blogspot.com.es/ y “Gaussianos“:http://gaussianos.com/.

¡Hasta dentro de dos semanas!

MATI

Anochecía, el verano ya había llegado a su fin pero todavía era agradable tumbarse en el césped del jardín en la puesta de Sol. Era una vista agradable. Sal y Ven estaban mirando las primeras estrellas que iban apareciendo en el cielo.

—Mira Sal —dijo Ven —según lo que nos dijo Mr. Green la última vez, ese puntito en el cielo debe ser el planeta Saturno, porque… ¡no titila!

Sal asintió con la cabeza y los dos hermanos intentaban recordar los satélites más importantes de Saturno. Mr. Green acababa de llegar a casa de nuestros amiguitos, se situó justo detrás de ellos sin que se dieran cuenta para escuchar su conversación. Pero a Ven algo le llamó la atención.

—Mira Sal, a la izquierda de Saturno hay una estrella que tampoco titila. ¿Será un planeta como Saturno? —¡Es verdad! Pues tiene que ser un planeta pero… ¿cuál será? —Pues… Si es un planeta tiene que ser un planeta muuuy rojo.

En ese momento los niños se quedaron mirando uno a otro. Los dos acababan de conocer la respuesta.

—¡Es Marte! —dijeron los dos a la vez. —¡Muy bien! ¡Sois unos auténticos expertos! —dijo Mr. Green haciendo acto de presencia. —¡Cómo mola! ¡Hemos descubierto Marte! —dijo Ven.

Mr. Green se quedó pensativo por unos momentos.

—¿Os acordáis de una estrella que observamos con Leo llamada Antares? —¡Sí! —respondieron Sal y Ven a la vez. —El nombre de esa estrella tiene que ver con el planeta Marte. Os contaré la historia.

Sal y Ven se sentaron en el suelo junto a Mr. Green, que comenzó a narrar la historia:

_Ares, dios griego de la guerra, brillaba en el cielo con su color rojo. Su recorrido por la bóveda celeste no era igual que el de las estrellas fijas, era por lo tanto una estrella errante._

_Pero una de las estrellas fijas rivalizaba con Ares en brillo y color, y en algunas ocasiones estaban muy próximas, constatando esa rivalidad. Tan similares eran que a esa estrella se la bautizó como ‘rival de Ares’ o ‘Anti-Ares’, que con el tiempo derivó en Antares._

_Siglos más tarde, Ares pasó a llamarse Marte, dios romano de la guerra, pero Antares mantuvo su nombre. Hoy, como el día en que fue bautizada, podemos encontrar esta estrella en las noches de verano marcando el corazón del Escorpión._

—¡Qué historia más bonita! —dijo la recién llegada Mati. —¡Mati! —gritaron Sal y Ven al tiempo que fueron a abrazarla. —¿Por qué no le pedimos a Leo que enfoque a Marte? —sugirió Mati.

Los pequeños saltaron de alegría. Tenían muchas ganas de volver a mirar a través de un telescopio.

Leo se puso apuntando a Marte, pero primero utilizaría no demasiados aumentos para apreciar todo el disco planetario. Les reservaría una sorpresa para más tarde.

—¿Quién quiere ser el primero en mirar? —preguntó Mati.

Sal y Ven se lo jugaron a pares y nones. Ven observaría primero, seguido de Sal.

Cuando Ven miró se quedó sin palabras, no sabía que decir. Aquella imagen de Marte le resultaba fascinante. Sal, en su turno y también ensimismado con aquella visión, sólo pudo decir “es muy rojo“. Mati también quedó maravillada con la imagen del planeta Marte que tuvo aquella noche.

—¿Sabéis que hace muchísimo tiempo en Marte había océanos de agua? —dijo Mr. Green. —Yo si lo sabía, lo vi una vez en las noticias —dijo Sal —pero ahora, ¿por qué no la hay? — Por algún motivo Marte perdió gran parte de su atmósfera y la presión atmosférica bajó. El agua terminó por evaporarse quedando sólo en los polos en forma de hielo, y según los últimos estudios, también bajo tierra —respondió Mr. Green. —¿Y quién se ha encargado de investigar todo eso? —dijo Ven. — Se han encargado dos robots que la NASA envió hace unos años a investigar todo eso y mucho más llamados MER 1 y MER 2, aunque son más conocidos por Spirit y Opportunity.

Aquella noche no se podría apreciar Valle Marineris, el gran cañón marciano porque estaba en la cara oculta de Marte, no obstante cerca del limbo marciano se podrían apreciar la zona volcánica de Tharsis, donde están los volcanes más altos de todo el Sistema Solar.

—¿Veis ese circulo más oscuro justo en el borde del planeta? —preguntó Mr. Green.

Sal, Ven y Mati miraron a través de Leo y apreciaron lo que les había indicado Mr. Green.

—¿Qué le pasa a ese círculo? —preguntó Sal. —Ese círculo es el volcán Monte Olimpo, tiene una altura de 21287 metros y es la montaña más alta de todo el Sistema Solar. —¡Toma, toma, toma! —gritó Ven —Moooola —dijo Sal.

El hecho de que esa noche no se pudiera observar Valle Marineris propició que Leo les diera una gran sorpresa. Leo puso todo su empeño en ofrecer los máximos aumentos y apuntó hacia un cráter marciano: el cráter Gale.

Los niños volvieron a mirar a través del telescopio, pero algo les desconcertó.

—Estoy viendo un robot —dijo Ven un poco confuso. —¡Yo también quiero verlo! —dijo Sal mientras esperaba su turno —¿Es Spirit? ¿Es Opportunity?

Cuando Sal también miró, su cara mostraba tanta confusión como la de su hermano. Era el turno de Mati.

—Chicos, no es ni Spirit ni Opportunity. Es… ¡Curiosity! ¡Es el último robot que la NASA envió a Marte y que llegó a principios de agosto a Marte! —dijo Mati. —¿Sabéis una cosa? En Curiosity hay un instrumento llamado REMS que se ha construido en España —dijo Mr. Green. —¡Qué guay! ¡Un instrumento español en Marte! —gritó Ven. —¿Y qué hace ese instrumento? —preguntó Sal. —Es una estación medioambiental que mide la velocidad del viento, la temperatura del aire y del suelo, la presión atmosférica, la radiación y la humedad. —¿Y todo eso para qué? —quiso saber Sal. —Pues para saber las condiciones que pudo tener y tiene Marte para albergar vida tal y como la conocemos en la Tierra. Pero también para empezar a planificar un traje espacial para una misión tripulada a Marte. —¡Genial! ¿Y yo podré ir a Marte? —preguntó Ven —¡Pues claro! —dijo Mati —¡tan sólo tienes que estudiar mucho y aprender inglés! —Ven, pero tendrías que abrigarte bien porque en Marte he oído que hace frío —apuntó Sal. —Las temperaturas suelen rondar los 30 grados bajo cero, aunque se pueden alcanzar los 75 grados bajo cero y como mucho, 5 o 6 grados sobre cero —señaló Mr. Green.

El tiempo se había pasado volando mientras Sal y Ven observaban Marte, la temperatura había bajado y ya era totalmente de noche. Marte ya se había escondido en el horizonte pero los dos hermanos habían seguido especulando sobre cómo sería su viaje tripulado a Marte.

Por otra parte, las Pléyades ya habían asomado por el horizonte Este anunciando que pronto íbamos a tener que sacar la ropa de abrigo.

FIN

Pues sí, hoy también hemos tenido el honor de que “Mr. Green”:https://twitter.com/aperezverde nos visite y nos cuente esta historia maravillosa sobre el planeta rojo. Si quieres aprender más cosas con él, con Mr.Green, te recomiendo que te des un paseo por “su blog”:http://lospilaresdelaciencia.blogspot.com.es/, te va a encantar.

Volvemos pronto con más historias, no dejéis de mirar al cielo… ni de soñar.

MATI

—A lo mejor nos encontramos un día por Madrid…

—¿En serio, Sal? —preguntó Verónica ilusionada —¿Vais a ir a Madrid?

—Sí —contestó el pequeño Ven con un hilillo de voz —Mati nos ha dicho que nos va a llevar a ver el Museo del Prado…

—Para ver Las Meninas, claro… —dijo Verónica.

—Sí —confirmó el gafotas —Y también un relieve que le gusta mucho a Mati, “Las Ciencias Matemáticas“:http://www.museodelprado.es/coleccion/galeria-on-line/galeria-on-line/obra/las-ciencias-matematicas/, creo que se llama.

—Eso —añadió Ven —Es que se parece un poco a nuestra Mati, porque las Matemáticas están representadas con una figura de mujer y hay algunos niños a su alrededor como nosotros…y hasta tiene un perrito, como nuestro Gauss.

De pronto los tres niños se quedaron callados. Sal se miraba las sandalias como si nunca antes las hubiese visto, Ven apretaba fuerte los labios para que no le temblase la barbilla, Verónica miraba al mar como si esperase encontrar algún día más de vacaciones, Gauss… Gauss estaba más triste que ninguno de los niños. Nuestros tres amigos habían pasado unos días muy emocionantes desde que conocieron a Verónica una mañana en la playa, era la chica más divertida que jamás habían conocido y tiraba unos puñados de arena impresionantes a pesar de su mano pequeñita. Era la última tarde que estaban juntos porque ella volvía con su familia a Madrid.

—¿Jugamos a algo? —preguntó la niña.

—Me duele un poco la tripa —se excusó Sal arrugando su nariz para subir sus gafotas.

—Si fuésemos piratas nos podríamos escapar en nuestro barco y no volver al cole —dijo Ven con sonrisa pícara.

—Guau —los ojos de Verónica brillaron de repente —Podríamos ir a América, y ver las ruinas del imperio maya…

—Huy, no —interrumpió Ven —Ésos me dan mucho yuyu con lo del fin del mundo y tal…

—¡Eso son tonterías, Ven! —replicó Sal —No estás siendo nada científico.

—¿Creéis que podríamos llegar nadando hasta el horizonte? —preguntó Verónica que parecía absorta en sus pensamientos aventureros y no escuchaba la discusión entre los hermanos, mientras Gauss la miraba embobado.

—Verónica —dijo Sal muy serio —Nunca se puede llegar hasta el horizonte, el horizonte se mueve…

—¡Qué guapos estáis mirando al mar! Me recordáis una canción de Jorge Sepúlveda…

—Hola, Mati —dijeron los tres al unísono.

—Mati —preguntó Verónica inmediatamente —¿tú crees que se puede llegar al horizonte nadando?

—Que no, Verónica —protestó sin mucho interés Sal —que el horizonte se mueve, no se puede alcanzar…

—En eso tiene razón, Sal —dijo Mati —Pero si que podemos, si os apetece, calcular la distancia desde aquí hasta el horizonte que vemos desde aquí.

—¡Toma! —se animó Ven —¡Venga!

—¡Sí, sí, sí! —a la nueva amiga de Sal y Ven le apasionaban las mates.

—¿Os acordáis del Teorema de Pitágoras? —les preguntó la pelirroja.

—Claro —respondió el pequeño —Nos lo explicaste cuando nos enseñaste las “coordenadas cartesianas“:http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/03/28/descartes-y-los-barquitos/les

—¿Ése es el de los catetos? —preguntó divertida Verónica.

—Efectivamente —corroboró Mati —En un triángulo rectángulo, es decir, un triángulo con una ángulo recto…

—Como el de la esquina de una portería… —añadío Ven.

—Eso es —continuó la gafotas —Pues en un triángulo rectángulo, si llamamos catetos a los lados que forman el ángulo recto e hipotenusa al lado que falta, el teorema de Pitágoras nos asegura que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

—¡Ya, ya! —gritó Verónica —¡Cateto al cuadrado más cateto al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado!

—Muy bien —la felicitó Mati.

—¿Quieres ser matemática, Verónica? —preguntó Sal curioso.

—No, quiero ser médica, pero me encantan las mates.

—¿Seguimos? —preguntó Ven con impaciencia.

—Sí, seguimos —dijo Mati —Vamos a fijarnos en el siguiente esquema. Pintamos los radios de la Tierra, uno el que nos uniría a nosotros con el centro de la misma, y otro a un punto del horizonte. En verde dibujamos nuestra altura sobre el nivel del mar, y en amarillo la distancia hasta ese punto del horizonte. Pues bien, lo importante es darse cuenta de que la línea amarilla y el radio de la Tierra correspondiente en el punto del horizonte forman un ángulo recto.

—¿Cómo lo sabes, Mati? —preguntó Sal impaciente.

—Pues porque la línea amarilla es tangente a la circunferencia en ese punto y eso sólo es posible si el ángulo que forma con el radio en dicho punto es un ángulo recto.

—Vale, es recto, ¿y ahora qué? —Verónica estaba impaciente por conocer la distancia al horizonte.

—Pues, que tenemos un triángulo rectángulo —respondió Mati —y podemos usar el teorema de nuestro amigo Pitágoras. Vamos a fijarnos sólo en el triángulo. Como medida del radio de la Tierra tomamos el valor medio de su radio, 6371 kilómetros…

—¡Hala! —interrumpió Ven.

—…y suponemos que estamos a una altura de 10 metros sobre el nivel del mar porque estamos en el paseo marítimo —terminó de decir la gafotas.

—¡Claro! ¡Si conocemos dos lados del triángulo rectángulo, podemos conocer el tercero, como nos explicaste aquella vez!

—Efectivamente, Sal —dijo la pelirroja orgullosa — Como queremos conocer la longitud del cateto b, lo despejamos de la fórmula de Pitágoras.

—Ahora sólo tenemos que sustituir a y h por su valor para tener el valor de b —les dijo.

—Pero, Mati —observó Sal —Lo que nos da es el valor de b al cuadrado…

—Bueno —contestó ésta —sólo tendremos que calcular la raíz cuadrada de 127420100…

—Yo no sé hacer eso —dijo Verónica con penita.

—Pero Mati te puede enseñar —respondió Ven con entusiasmo — A nosotros nos enseñó un “método muy sencillo para hacerlo“:http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/04/11/esa-raices-tan-cuadradas/, ¿verdad, Mati?

—Claro que se lo enseñaremos a Verónica —dijo Mati —pero después, ahora vamos a usar la calculadora para poder darnos un baño antes del almuerzo.

—¡Toma, toma, toma! ¡Más de 11 kilómetros! —Ven estaba entusiamado —¡Tú no puedes nadar eso, Verónica!

—¡Ni tú! —contestó la niña un poco enfurruñada.

—No, ni yo —dijo Ven —No te enfades que es nuestro último día…

Un silencio se apoderó de la escena y la cara de los niños se ensombreció. Gauss agachó su morro.

—¿Y sabéis qué? —trató de animarlos Mati —¿Veis aquel mástil de un barco a lo lejos?

Los tres niños asintieron con sus cabecitas.

—¿Queréis saber a qué distancia está es barco?

—¿¿Cómo?? —preguntó el gafotas intrigado.

—Lo vais a saber enseguida… —anunció Mati con voz misteriosa —Tendríamos que saber cuánto mide el mástil… Pero si mide 10 metros que es exactamente nuestra altura sobre el nivel del mar, y os fijáis en el siguiente dibujo…

—¡Toma, toma, toma! —gritó Verónica saltando sobre la punta de sus pies —El doble de distancia que desde aquí al horizonte, ¿no, Mati?

—Eso es —corroboró ella.

—Más de 22 kilómetros… —murmuró Sal pensativo.

—Aproximadamente —Mati le alborotó el pelo y sal se sonrojó, posiblemente quería parecer más mayor delante de su amiguita.

—¿Y si no mide 10 metros el mástil? —preguntó Ven desconfiado.

—En ese caso, mira —dijo Mati mientras dibujaba un nuevo esquema en la pizarra.

—Como conocemos la distancia desde nosotros hasta el horizonte —les contó —sólo queda calcular la distancia desde el punto en el horizonte hasta el mástil, pero eso lo podemos resolver de nuevo usando el teorema de Pitágoras en el triángulo naranja.

—Es maravilloso, Mati —Sal estaba alucinando con lo que les contaba Mati.

—Ojalá fuera nuestro barco —dio de pronto Verónica con los ojos brillantes —Yo sería la capitana y podríamos ir a América.

—¿Sin mayores? —preguntó Ven un poco angustiado.

—¡Sin mayores! —respondió ella con gesto firme y decidido —Iríamos a ver las ruinas mayas…

—¡Yo voy contigo! —dijo inmediatamente Sal pero cuando Verónica se volvió hacía él para mirarlo, éste le preguntó, un pelín sofocado, a Mati —¿A qué distancia más o menos está América, Mati?

—Podríamos decir que a unos 6000 kilómetros… —le contestó.

—¡Hala! 6000 kilómetros en barco… —Ven estaba un poco nervioso —y sin mayores… Yo no voy, me quedo cuidando de Gauss.

—Sí, es un largo viaje para hacerlo vosotros solos —corroboró la gafotas —pero os hago una pregunta, ¿hasta que altura tendríamos que subir en globo para poder divisar América desde aquí?

Los niños se quedaron pensando muy serios…

—No me digas, Mati —dijo Sal —¿otra vez el teorema de Pitágoras?

—¡Ajá! —respondió ella guiñando un ojo mientras hacía un nuevo dibujo en su pizarra.

—Pues nada, chicos —les animó Mati —ya sólo necesitamos hacer las cuentas…

Los tres niños se pusieron manos a la obra con la ayuda (muy poquita ¿eh?) de Mati.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —Ven se abrazó con fuerzas a Verónica de la emoción. Sal también, posiblemente también emocionado —Más de 2300 kilómetros…

—Aproximadamente, sí —dijo Mati —Si subimos a esa altura y las condiciones meteorológicas lo permitiesen, podríamos ver América.

—Pero eso es altísimo… —Ven se venía abajo de nuevo.

—Sí, es verdad —añadió Verónica —Será mejor que vayamos en un avión…

—¿Se lo pedimos a nuestras familias para el verano que viene? —dijo Sal alegre.

—El verano que viene… —respondió la niña con los ojos húmedos.

—Ya veremos qué hacemos el verano que viene —interrumpió Mati —Ahora yo os propongo un juego: al primero que llegue corriendo al quiosco, le invito a un helado.

—¿Y a los otros dos? —preguntó Ven.

—También —respondió la pelirroja con un guiño y los tres niños salieron corriendo mientras Gauss se quedaba allí, pensativo…

FIN