—Tú serás el encargado de preparar las bolsas de caramelos, Ot —sentenció Sal.

—¡Mola! —respondió Ot.

—Eso no puede ser, Sal —protestó Germán —Porque entonces Ula no podrá ayudar en nada para la fiesta.

—No pasa nada — añadió Jose —Como es tan pequeña, puede jugar mientras los demás preparamos la fiesta.

—Yo me quedo jugando con ella para que no se aburra, ¿verdad Ula? —propuso Elio —¿Quieres que te enseñe a dibujar un unicornio?

—De eso nada —intervino Ven —Hay 7 tareas que hacer y 7 niños. Si uno no ayuda, una de las tareas se quedará sin hacer…; Además, ¡no puedes dejar a Ula sin tarea! ¡Llorará y llorará!

—No somos 7, somos 8, Ven —dijo el pequeño Gonzalo y añadió —¡Ya sé contar!

—¿Estás insinuando que yo haga algo? —protestó Ven —Es mi cumpleaños, ¡yo soy el jefe!

Ula contemplaba la escena sin mucha pasión, estaba arreglando los pliegues de su precioso tutú. Aquella mañana nuestros amigos Sal y Ven estaban muy bien acompañados, estaban Elio, Ot, Ula, Germán, Gonzalo y Jose. Por la tarde celebrarían la fiesta de cumpleaños de Ven y los habían invitado a pasar el día en casa para jugar y para ayudar a organizar las actividades del cumpleaños.

—¿Puedes ayudar a mamá con la tarta, Ula? —preguntó el gafotas dulcemente a la pequeña bailarina.

—No, de eso nada —interrumpió de nuevo Gonzalo —Eso me lo he pedido yo.

—Tú puedes hacer otra cosa Gonzalo —respondió Jose.

—Sí, claro —añadió Elio —Si quieres que Gonzalo escriba las pistas del tesoro… ¡si no sabe escribir!

—Pero bueno… —Mati acababa de entrar —cuánto niño guapo por esta casa…

—¡Mati! —gritaron todos los niños a la vez, Gauss respiró tranquilo. Siempre que la pelirroja llegaba se acababan estas acaloradas discusiones.

—Hola Mati —dijo Sal —Estamos intentando asignar las tareas para preparar la fiesta de cumpleaños de Ven. Pero tenemos un lío…

—Pero ¿cómo lo estáis organizando? —preguntó la gafotas.

—Mira —continuó hablando el gafotas —en esta tabla, he ido apuntando, como en el juego de los barquitos, qué tarea quería hacer cada uno. Hay 7 tareas: llenar los globos de agua, pintar los huevos de colores para la carrera con cuchara, rellenar bolsas con caramelos, ayudar a mamá con la tarta, poner galletas en los platos, escribir las pistas para el tesoro escondido y hacer las tarjetas binarias para la magia.

—Ajá, muy bien chicos —dijo Mati —¿Y qué es lo que pasa?

—Que o nos sobran tareas —contestó Ven —O nos faltan niños…

—¿Por qué no lo hacéis dibujando el grafo? —propuso Mati.

—¿Qué es un grafo ? —preguntó Gemán.

—Es un dibujito —respondió Ven —Con unos puntos, que se llaman vértices y unas líneas que unen a algunos de esos puntos, que se llaman aristas ¿Verdad, Mati?

—Eso es —confirmó Mati —Vamos a pintar un vértice por cada niño y otro por cada tarea. Y uniremos cada niño con las tareas que ha pedido hacer, ¿os parece?

—¡Mola! —gritaron a la vez Ot y Gonzalo.

—Qué bonito te ha quedado ese grafo Mati…

—Gracias, Jose —dijo Mati —Lo que vosotros queréis hacer es lo que se llama en Teoría de Grafos, un emparejamiento, es decir, elegir de ese grafo un conjunto de aristas que emparejen a cada niño con una tarea diferente. Es más, lo que queréis hacer se llama emparejamiento completo, porque no queréis que ningún niño se quede de brazos cruzados, ¿verdad?

—Verdad —contestó Gemán.

—Bueno, yo no voy a hacer nada —añadió Ven —Es mi fiesta de cumpleaños y ….

—Y no estás en el grafo, Ven —interrumpió Elio —No te va a tocar nada.

—¿Se podrá hacer Mati? —preguntó el gafotas —¿Se podrá hacer el emparejamiento completo?

—Vamos a verlo Sal —anunció la pelirroja —Y lo vamos a ver de la siguiente manera: me iréis diciendo una asignación de tareas como queráis, siempre asignando a cada niño una de las que él se ha pedido; si lo conseguimos de entrada, estupendo y nos ponemos a trabajar. Si no conseguimos el emparejamiento completo, os enseñaré un método que nos permitirá asignar una pareja más si es posible, así hasta llegar al emparejamiento completo; si en algún momento no es posible añadir una pareja más y no tenemos el completo, sabremos que es imposible conseguirlo ¿Qué os parece?

—¡Bien! —gritó Ula como si se hubiese enterado perfectamente de todo. Los demás sonrieron como aquellos ministros ante el traje nuevo del emperador…

—Yo quiero pintar los huevos de colores Mati —dijo inmeditamente Ot.

—Vale —dijo ella —Vamos a pintar de amarillo la arista que une a Ot con los huevos para indicar que esa pareja ya la tenemos asignada.

—Qué morro… —murmuró Germán para añadir después sonriendo—Bueno, no pasa nada.

—¿Puedo escribir yo las pistas del tesoro que ya sé escribir con minúsculas? —preguntó Elio poniéndose de puntillas para parecer más mayor.

—Muy bien —aceptó Mati —Pintamos de amarillo la arista que une a Elio con las pistas.

—¡Mati, Mati! —se escuchó la vocecita de Gonzalo —¡Ponme a mí para ayudar a adornar la tarta con chuches!

—Ahora, de amarillo la arista que une a gonzalo con la tarta.

—Yo soy muy bueno llenando globos de agua… —dejó caer Jose — Mis primos de Almería siempre quieren que yo se los llene…

—Entendido —dijo Mati —En amarillo la arista que une a Jose con los globos…

—¿Me puedes asignar a mí los caramelos Mati? —pidió Sal —Me gustaría poner una sorpresita en cada bolsita…

—¿Qué, qué? —preguntó Ula curiosona.

—Ula, ¡es una sorpresita! —intervino Ven y Ula retorció un poco su boquita.

—De acuerdo —intervino la pelirroja —Ponemos en amarillo la arista que une a Sal con los caramelos que aún estaban libres…

— Ya no podemos seguir —anunció Mati —Porque sólo quedan sin tareas Ula y Germán, pero las tareas que ellos han pedido ya están asignadas a otros.

¡Jo no jugo! (¡No juego!) —gritó espontáneamente Ula.

—No te enfades Ula —la consoló Germán —Tú y yo jugaremos con Pepita, ¿vale?

—No, no, no —intervino Ven —Tienen que trabajar todos, es mi fiesta…

—Tranquilos todos —dijo Mati —Os voy a enseñar un método para mejorar la asignación de tareas si se puede, ¿vale?

Los niños asintieron todos callados, Gauss resopló viendo cómo se calmaba por momentos la tormenta.

—¿Os acordáis de cómo se “coloreaban los vértices de un grafo“:http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/1052/dame-4-colores-y-pintare-el-mundo? —les preguntó la gafotas.

—Sí —respondió rápidamente Ven —Se colorean los vértices pero no pueden estar unidos vértices del mismo color. Y sólo se necesitan 4 colores como máximo, ¿verdad Mati?

—Si el grafo es plano, Ven —corrigió Sal —pero éste tiene muchos cruces…

—Huy —interrumpió Mati inmediatamente —No, no hace falta estudiar si el grafo es plano o no, es más fácil, mucho más fácil. Pero Sal, el hecho de que un grafo esté dibujado con muchos cruces no significa que no sea plano. A lo mejor sólo hay que dibujar el mismo grafo de otra forma. Mira, os pongo un ejemplo sencillito.

Mati dibujó dos grafos en su pizarra

—Estos dos grafos son el mismo —les dijo —Sólo que están dibujados de diferente forma. Como en el dibujo de la derecha no se cruzan las aristas, decimos que el grafo es plano, que se puede dibujar sin cruces —Mati continuó —Nuestro grafo también es plano…

—Sí, hombre… —bufó Jose.

—Sí, lo es —ratificó Mati —Os dejo que penséis cómo dibujarlo plano, sin cruces, pero mañana después de la fiesta.

—¡Mola! —se alegró Ot.

—Como os decía —continuó la pelirroja —Vamos a colorear los vértices de nuestro grafo de tareas, ¿cuántos colores necesitaremos?

—Cuatro —dijo Germán con sonrisa pícara —Se te ha escapado que es plano y como los planos necesitan cuatro colores…

—Cómo máximo, Germán —puntualizó Sal —como máximo.

—Efectivamente —añadió Mati —Como mucho serán cuatro colores, pero vamos a fijarnos un poco en este grafo.

Todos los niños arrugaron la nariz y el ceño y se pusieron a mirar fijamente la pizarra de Mati. Gauss también.

—Fijaos —empezó a decir Mati —Todos los vértices correspondientes a los niños pueden ser del mismo color, ¿verdad?

Los niños relajaron sus caritas y se giraron a mirar todos a Mati. Bueno, todos no, Gonzalo seguía con su expresión de concentrado, no quería despistarse…

—¡Toma, claro! —dijo Ven enseguida —Porque ningún niño está unido con ningún niño, las aristas siempre unen a un niño con una tarea.

—¡Rojo, por favor, Mati! —pidió Elio.

—Muy bien —dio ella —Los vértices correspondientes a los nombres de los niños los pintamos en rojo….

—¡Ya está! —gritó Sal saliendo de su ensimismamiento y asustando a Gauss —Todas las tareas también pueden tener el mismo color porque ninguna tarea se une con ninguna tarea ¡Sólo se necesitan dos colores, Mati!

—Las tareas en azul, por favor, Mati —pidió Ot poniendo caritas.

—Muy bien chicos —Mati sonreía feliz —Efectivamente, sólo se necesitan dos colores para colorear los vértices de nuestro grafo. Vamos a pintarlos en rojo y azul como han pedido Elio y Ot.

—A estos grafos en los que podemos colorear los vértices con sólo 2 colores se les llama grafo bipartitos. En éstos, los vértices están agrupados en 2 conjuntos separados, el rojo y el azul en nuestro caso, cuyos elementos no se relacionan entre ellos —les explicó la pelirroja —Ahora vamos a organizar un baile…

-Jo sóc la millor ballarina del món (Yo soy la mejor bailarina del mundo) —gritó nuestra Ula y dio una vuelta de puntillas dejando a todos adorar su maravilloso tutú.

—¿Un baile ahora, Mati? —se quejó Ven y añadió murmurando —Ya verás, al final no nos dará tiempo a organizarlo todo…

—Sí, Ven, un baile —respondió Mati —Pero este baile servirá para la asignación de tareas y eso permitirá una mejor organización y, por lo tanto, nos dará tiempo a todo.

—¡Venga, el baile! —pidió Elio.

—Os cuento —empezó la gafotas —Vamos a suponer que las aristas del grafo nos indica con que puntos azules querrían bailar cada uno de los puntos rojos, y vamos a tratar de emparejarlos todos. Nos fijamos en un punto rojo que no esté emparejado…

—El de la mejor bailarina del mundo… —dijo Ot sonriendo pícaro, Ula arrugó toda su carita.

—Eso es, nos fijamos en Ula —dijo Mati —Ula sólo quería bailar con Caramelos y le pregunta: ¿Quieres bailar Caramelos?. Los pintamos aquí al lado unidos con línea blanca como está en el grafo.

—Pero Caramelos responde: No puedo, yo bailaré con Sal —continuó Mati —Pintamos a Sal unido a Caramelos con una línea amarilla, igual que está en nuestro grafo.

—Entonces nuestro punto rojo, Ula —siguió —Pregunta a Sal si no le importa cambiar de pareja, eligiendo a otra de las que él había elegido. Y Sal dice: Bueno, preguntaré a los otras 3 que había elegido, a ver si queda alguno libre y Sal le pregunta a Globos, Magia y Tarta.

—Primero le pregunta a Globos —Mati tenía a todos pendiente de su baile —Pero Globos le dice que ya está emparejado con Jose.

—Entonces, —dijo —le pregunta a Magia y ¡tachán! Magia está libre.

—¡Bien! —gritó Ula de pronto.

—Fijaos en el dibujo que tenemos a la derecha de nuestro grafo —señaló Mati —tenemos un camino, que empieza en Ula y termina en Magia, donde los colores de las aristas se van alternando entre blanco y amarillo, que empieza y termina con aristas blancas. Es lo que llamamos una camino alternado. Pues bien, si existe camino alternado, que empieza y termina en aristas blancas (sin emparejar), se puede mejorar el emparejamiento.

—¿Cómo? —preguntó Sal impaciente.

—Muy fácilmente —respondió Mati —Vamos a intercambiar los colores amarillo y blanco en las aristas.

—Ahora hacemos esos cambios de color en nuestro grafo…

—¡Ya tengo tarea! —gritó Ula alegremente y volvió a girar de puntillas.

—Es verdad, Mati —dijo Jose —Hemos emparejado a uno más…

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —gritó Ven.

—Sí —dijo Gonzalo y añadió con penita —Ya sólo falta tarea para mi hermano…

—Eso es —afirmó Mati —Vamos a intentar buscar un camino alternado empezando ahora con Germán que es el único punto rojo que no tiene pareja. Germán le preguntará a los dos que él había elegido en principio: Huevos y Caramelos.

—Pero Caramelos —siguió la gafotas —le dice que él está emparejado con Ot …

—Germán le pregunta a Ot si le importa cambiar de pareja —continuó —Pero Ot le responde que su otra alternativa era Caramelos que ya está emparejado con Ula. Y ella no puede cambiar de pareja porque sólo había elegido a Caramelos.

—¿Qué pasa ahora Mati? —preguntó Germán angustiado.

—Pues que no existe el camino alternado —aceptó ésta con tristeza —y no podemos mejorar el emparejamiento, era el mejor que se podía conseguir, a éstos les llamamos emparejamientos máximos.

—¿No podemos emparejarlos a todos? —era Ven el que se angustiaba ahora.

—No —confirmó Mati —Para este grafo bipartito no existe emparejamiento completo, cualquier emparejamiento dejará a un niño sin tarea.

Los niños se quedaron todos muy serios mirando la pizarra de Mati que continuó:

—Mirad, vamos a quedarnos con el grafo correspondiente sólo a las peticiones de Gemán, Ot y Ula.

—Cómo véis —les dijo —tenemos 3 niños que han pedido sólo 2 tareas distintas, eso hace imposible el emparejamiento completo.

—Es verdad… —dijo Jose.

—Para que exista el emparejamiento completo —les contó —cualquier subconjunto de personas del primer grupo debe elegir como mínimo el mismo número de tareas del segundo grupo, es la conocida condición de Hall.

—Lo sabía… —dijo Ven con resignación —No podremos prepararlo todo…

—Que sí, Ven —le respondió Germán mientras le rodeaba con su brazo —Yo me encargo de decorar las galletas, que me gusta mucho.

—¿En serio? —preguntó Ven con los ojos brillantes —No lo habías pedido.

—Se me olvidó —Germán guiñó un ojo a Ven.

—En ese caso —intervino Mati —gracias a la teoría de grafos y a Germán tenemos resuelto nuestro problema.

—¡Todos a sus puestos! —gritó Sal —¡a trabajar!

—¡Sí! —gritaron los demás.

—¿Cuántos niños vienen Ven? —preguntó Mati.

—28.

—¿¿28?? —repitió Mati asombrada.

—Sí, ya sabes —trató de explicar Ven —Es verano y muchos están de vacaciones…

FIN

Bueno, bueno, bueno… Éste es nuestro último capítulo hasta que volvamos en Septiembre. Espero que os haya gustado y como vamos a estar un mes sin vernos, os voy a dejar propuestos unos retos, ¿os apetece?

El primero de ellos tiene que ver con algo que pasó en nuestra mateaventura de hoy, cuando Sal insinuó que el grafo que representaba las preferencias de los niños por las tareas en la fiesta, vamos éste

no era plano. Un grafo es plano si se puede dibujar sin cruces entre las aristas. En el dibujo anterior hay muchos cruces, sí, pero eso no significa que no sea plano. De hecho, como ya les he dicho a nuestros amigos, ese grafo es plano. Ahora viene el primer reto, ¿eres capaz de dibujarlo sin que se corten las aristas? El truco está en coloca de forma apropiada los vértices ¿Qué? ¿Te atreves? Inténtalo, pero si no te sale y te desesperas, puedes ver una posible solución “aquí“:http://pequenoldn.librodenotas.com/images/2703.jpg.

El segundo reto tiene que ver, lógicamente, con emparejamientos ¿Puedes dar un emparejamiento completo para este grafo? Puedes empezar con uno cualquiera, luego intentar mejorarlo con caminos alternados… ya sabes…

Y por último, si te doy el grafo de la siguiente figura donde se han pintado de amarillo las aristas de un emparejamiento, ¿puedes completarlo hasta un emparejamiento completo buscando un camino alternado que empiece en el 2?

Ya me contaréis en los comentarios vuestras respuestas.

Una cosa más, en la mateaventura de hoy se habló de coloreado de grafos. si te interesó el tema, puedes leer más en esta “entrada“:http://amazings.es/2012/05/23/por-que-solo-cuatro-colores/ que Clara publicó en “Amazings“:http://amazings.es/.

Eso es todo por ahora. Nos vamos de vacaciones hasta Septiembre. Deseamos que descanséis, que hagáis mates allá por donde vayáis y sobre todo, que estéis de vuelta por aquí después de Agosto.

Hasta pronto

MATI

—Ven, nos ponemos a 5 pasos.

—Mejor a 100, Sal.

—No llegaremos, es mejor estar cerca al principio.

—Pues nos ponemos a 27 pasos —Ven quería que el juego fuera lo más entretenido posible.

Sal y Ven estaban disfrutando de sus vacaciones de verano en su jardín intentando organizar su juego con la bola loca. Gauss estaba panza arriba disfrutando de una merecida siesta cobijado por una sombra amable.

—¡Hola chicos! —Mati entró al jardín con un bonito sombrero mexicano en la cabeza.

—!Mati, qué guapa! —Ven salió corriendo para abrazar a Mati.

—¿Te vas o vienes de Mexico? —preguntó Sal.

Mati con una amplia sonrisa se inclinó hacia los chavales y susurrando les dijo:

—No, es que me he encontrado con un amigo y lo he invitado a venir, quería preguntarle una cosa. Y él me ha dado este sombrero. ¿Sabéis que hace poco los científicos creen que han descubierto una nueva partícula que llevaban mucho tiempo buscando?

Sal puso su cara de pensar y dijo

—Sí, la partícula de Higgs… o algo así.

Ven lanzando una carcajada sentenció

—¿Y para qué queremos una nueva partícula Mati?

—¡Qué buena pregunta Ven! —Fis y Scru acababan de entrar al jardín.

—¡Fiiiiiiisss! —los niños se lanzaron a correr hacia su amigo y terminaron todos por el suelo.

—¡Vaya, tenéis mucha masa! —dijo Fis, y todos rieron. Mati los miraba sentada en la sombra junto a Gauss y Scru.

—¿Qué es eso del Higgs? —preguntó Sal muy seriamente.

—¿Tenéis un rato? No quisiera interrumpir vuestro juego…

—No pasa nada Fis, podemos jugar luego, lo primero es lo primero —cuando Ven se pone profundo es mejor no discutir con él.

—¡Ahí estamos! —Sal le dio la razón a su hermano pequeño y a este se le iluminó la cara.

Fis se quedó pensando un poco y empezó a explicar:

—Las cosas que nos rodean están formadas de átomos, ¿verdad?

Los niños asintieron, Ven dijo que los átomos tenían dos partes, el núcleo y los electrones a su alrededor. Sal puntualizó que los núcleos a su vez están formados por protones y neutrones y que, además, estos últimos están compuestos de unas partículas más pequeñas llamadas quarks.

Fis sonriendo dijo:

—Efectivamente, la materia que nos rodea está formada por unas partículas que los físicos llaman fundamentales. Entre ellas están los electrones y los quarks. Los electrones tienen otras partículas hermanas que comparten sus propiedades y que son más pesadas, el muón y el tau. Además tenemos los primos del electrón, el muón y el tau, los neutrinos. Los quarks forman partículas como los protones y los neutrones y otras más exóticas.

—Esto a grandes rasgos —siguió Fis —es lo que se conoce como el contenido de partículas del Modelo Estándar.

Los niños miraban a Fis embobados, Srcu miraba a Gauss, Gauss bostezó.

—Los físicos se encontraron con el problema de describir cómo se comportan las partículas fundamentales y tuvieron que diseñar una teoría para ello. A esta teoría es a la que se conoce como el Modelo Estándar de la física de partículas —Fis estaba encantado explicándole esto a los chavales.

—Pero no has dicho nada de la partículas Higgs esa… —Ven estaba un poco decepcionado.

—Un momento, Ven, primero hay que entender un par de cosas del Modelo Estándar —Fis intentaba calmar la impaciencia de Ven mientras miraba a Sal totalmente ensimismado en las ideas que surcaban su cabeza en aquel momento —El Modelo Estándar nos dice que las interacciones entre las partículas elementales se llevan a cabo por el intercambio de otras partículas. El nombre genérico de estás últimas es bosones mensajeros. Nosotros los llamaremos mensajeros para acortar.

—¿Quieres decir que para que interactúen tienen que cambiarse partículas entre ellas, Fis? —preguntó Sal —¿Como si fueran cromos de fútbol? Ven y yo interactuamos en el recreo con nuestros amigos con los cromos de fútbol

—Más o menos… —contestó Fis.

—Pero… eso… ¿cómo va ser, Fis? —protestó el pequeño —¿Cromos que intercambian cromos?

—¿Qué dices, Ven? —preguntó el gafotas arrugando la cara.

—Partículas que intercambian partículas —dijo Ven silabeando —¿Cromos que intercambian cromos?

—Increíble, ¿A qué sí Ven? —intervino Fis —Pero piénsalo así en este caso, los cromos serían los bosones, los mensajeros, y las partículas elementales serían los niños que interactúan cambiando cromos. Más o menos, ¿eh?. Esto es lo que explica la teoría cuántica de campos.

— Vaya nombrecito… —Ven se dio por satisfecho.

Fis siguió explicando:

—Eso es en el patio del cole, pero en la naturaleza tenemos cuatro interacciones, que son la forma en la que tienen las partículas de relacionarse entre ellas. Tenemos el electromagnetismo que se da entre cargas eléctricas, la interacción débil que tiene la propiedad de cambiar el tipo de partícula, por ejemplo cambia un quark d en un quark u, y la interacción fuerte que nos explica como se mantienen unidos los quarks entre si.

—Pero esas son sólo tres y tú has dicho que había cuatro… —Sal estaba buscando la cuarta interacción física.

—Cierto, la que queda es la gravedad, la que nos mantiene unidos al suelo y la que hace que los planetas orbiten alrededor del Sol. Pero resulta que el Modelo Estándar sólo nos habla de las interacciones entre partículas que no son la gravedad. Algún día alguien tendrá que explicar ese detalle.

—Huy, eso parece grave…¡Nosotros lo haremos! —Ven ya planeaba cómo afrontar el problema.

—¿Y qué más? —Sal estaba empezando a interesarse de verdad en esto del Modelo Estándar.

—Bueno, el caso es que según el Modelo Estándar estas interacciones se llevan a cabo cuando dos partículas que interactúan intercambian los mensajeros apropiados. En el caso del electromagnetismo dos cargas eléctricas intercambian fotones. En la interacción débil pueden intercambiar mensajeros llamados W o Z. Y en la interacción fuerte los quarks intercambian mensajeros a los que hemos llamado gluones.

—Pues yo no lo pillo… —Ven estaba intentando ver la lógica de todo esto.

Fis se levantó y cogió la bola loca que estaba en el suelo, le dio a los niños un mango cada uno y entró en la casa. Cuando salió llevaba unos post-it y un rotulador. Cogió tres post-it y pintó dos signos — y un signo +. Y luego sobre la bola amarilla dibujo la letra griega gamma.

—A ver, la bola va a representar un fotón que los físicos representan por esta letra. Y vosotros seréis cargas, por ejemplo dos electrones ¿Qué pasa entre dos cargas del mismo signo?

Sal dijo:

—¡Qué se repelen!

—Bien, veámoslo… —Fis les puso a cada uno un post-it en la frente con el signo —.

Los niños se situaron uno frente al otro y Fis les dijo:

—Ahora tenéis que lanzaros la bola alta y con un poco de fuerza.

Los niños empezaron a hacerlo, y poco a poco tenían que ir dando pasos hacia atrás para poder capturar la bola que le enviaba su hermano respectivamente.

— ¡Halaaaaaaa!, Sal nos estamos repeliendo… somos como dos electrones — Ven estaba feliz.

—Fis, pero ¿cómo se pueden atraer las cargas de distinto signo intercambiando mensajeros… fotones? —preguntó Sal preocupado.

—Bueno, veamos…

Fis le cambió el post-it a Sal y ahora era una partícula +, y les dijo a los niños que ahora se tenían que tirar la bola flojito y bajita. Empezaron a jugar y poco a poco tenían que ir dando pasos hacia el otro para poder recoger la bola sin que cayera al suelo.

—¡Aaaaah! La atracción o la repulsión dependerá de la energía y la velocidad del fotón —Sal estaba satisfecho.

—Bueno, es un poco más complicado, el fotón es una partícula de luz y siempre va a la misma velocidad, la velocidad de la luz, pero tiene una cosa que puede variar que es su energía y su momento. Hablaremos de esto en otra ocasión, pero la idea básica es esa. Y con el resto de interacciones funciona básicamente igual, el próximo día jugaremos a la interacción débil pero necesitaremos caretas para poder tener distintas caras…

—Fis, todavía no hemos hablado del Higgs… —Ven tenía el firme propósito de que Fis no se olvidara de hablar de la nueva partícula.

—Es verdad… — Fis se tumbó en el suelo al Sol y los niños hicieron lo mismo, todos con las manos detrás de la cabeza — Pero es que hay un problema con el Modelo Estándar.

—¿Cuál? ¿Cuál? —Sal estaba deseando saber qué problema había que solucionar.

—Los físicos se dieron cuenta que según el Modelo todas las partículas se moverían a la velocidad de la luz siempre.

—Eso molaría…. —murmuró Ven

—Si eso fuera así implicaría que las partículas no se podrían frenar hasta tenerlas en reposo frente a nosotros, que no podríamos medir su masa y que por tanto la masa en reposo de estas partículas sería 0.

—¿Y no pesaríamos nada de nada? —preguntó el pequeño con los ojos abiertos como platos.

—Pero las partículas tienen masa Fis… —dijo Sal y Ven asentía a la afirmación de su hermano.

—Cierto, por eso algunos físicos, entre ellos el profesor Peter Higgs junto con otros propusieron que en el Modelo faltaba un ingrediente…

—La masa… —masculló el pequeño.

—Bueno, Ven, en realidad, este ingrediente es el campo de Higgs. Podemos pensar en el campo de Higgs como una multitud de partículas, las partículas de Higgs, que cuando interaccionan con otras partículas el efecto final que tiene es que les da masa.

—¿Un montón de partículas en el campo? ¿Que les dan masa a las otras partículas?¿Y cómo hace eso el Higgs? —preguntó Ven.

Fis se volvió hacia Mati

—¿Me presta usted el sombrero señora matemática? —dijo Fis con una graciosa reverencia.

—Por supuesto, caballero físico —Mati se quitó el sombrero y se lo dio a Fis. Este buscó en su bolsillo y sacó una canica roja. Se sentó en el suelo y puso el sombrero frente a él. Mati y los niños se sentaron alrededor. Como era de esperar Gauss y Scru no tardaron en acercarse a olisquear el sombrero.

Fis comenzó a explicar:

—Imaginemos que el punto que está justo debajo del pico del sombrero mexicano nos dice que el valor del campo de Higgs es 0. Es decir, que no tenemos partículas de Higgs por ningún sitio.

—Ni rastro de Higgs en la cumbre, capitán —bromeó Sal como si hablase por un walkie.

—A estos bosones no les gustan las cumbres, sargento —continuó la broma su hermano.

Mati y Fis se miraron entre ellos, ambos disfrutaban y se asombraban de la curiosidad de los dos hermanos.

—Pues bien —continuó Fis —Conforme nos alejamos del centro en cualquier dirección el valor del Higgs aumenta, aparecen partículas de Higgs, y lo hace igual en todas las direcciones. Digamos que es una situación simétrica.

Los niños estaban ensimismados.

—El sombrero representa la energía que tiene el Higgs para cada uno de sus valores. Curiosamente cuando el campo de Higgs es 0 el valor de su energía es alto. Esto es muy curioso. Uno espera que cuando no tiene algo ese algo no tenga energía, el Higgs no se comporta así.

”Partícula de Higgs con masa no nula” —leyó Sal en la parte del ala del sombrero.

Fis continuó:

—Supongamos que esta canica representa todo el campo de Higgs. Si la pongo en el pico del sombrero significa que el campo vale 0, no hay partículas, pero su energía es más alta que si la pusiéramos en cualquier otro punto del sombrero.

—Pero si la dejas ahí seguramente caerá… —Sal estaba mirando fijamente al sombrero.

—Prueba… —le dijo Fis extendiendo la mano y ofreciéndole la canica roja.

Sal, con todo el cuidado del mundo, puso la canica en el pico y la soltó con delicadeza. De repente la canica se deslizó hasta llegar al ala del sombrero.

—Se ha roto la simetría… — dijo Fis con fingido dramatismo.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —Ven estaba feliz y corría alrededor de todos los demás que estaban sentados en corro alrededor del sombrero —Cuando la canica del Higgs está en el pico del sombrero puede caer hacia cualquiera de los lados, todo lo ve simétrico, pero si se cae, se rompe la simetría…

—Sí, y cuando cae, la simetría desaparece, ha elegido una posición en el ala del sombrero que es lo mismo que decir que el campo ha dejado de ser cero y pasa a tener un valor, aparecen las partículas de Higgs.

Ven, en un apretón de felicidad, se tiró al cuello de Mati sonriendo. Mati estaba encantada, Gauss celosillo.

—Eso es, los físicos demostraron que al pasar esto, al romperse la simetría, aparecería una partícula. Esta es la partícula de Higgs y que tendría una masa distinta de cero. Resulta que esta partícula es capaz de interactuar con el resto de partículas, pero lo hace de forma que cuando ve un fotón lo ignora y por eso el fotón se mueve a la velocidad de la luz —dijo Fis.

—Pobres fotones… —dijo Ven con penita.

—A cambio, corren tela… —Mati le guiñó el ojo a Ven.

—Por eso dicen que el fotón no tiene masa en reposo… —dijo Sal pensativo.

—Justo por eso —asintió Fis —Pero cuando la partícula del Higgs se encuentra con un mensajero W, o un Z, o un quark, o un electrón, interacciona con ellos teniendo el efecto de que estas partículas adquieren una masa no nula.

—Entonces, si el Higgs no interactuara con mis partículas yo no tendría masa y me podría mover a la velocidad de la luz… —dijo Ven sintiéndose un fotón.

—Pues sí, no habría quien te parara… — Fis estaba sonriendo.

—Eso ya pasa a veces, Fis —dijo Sal con una sonrisa.

—Desgraciadamente —continuó el físico —la teoría no dice exactamente qué masa tendría la partícula aunque nos dice entre que valores podría estar. Por eso se construyó el LHC que es un tubo de 27 km…

—¡Hala, 27 kilómetros! ¡Qué brutos! —se asombró Ven.

—Pues sí —continuó Fis —27 Km de recorrido donde se hacen chocar protones que van muy muy rápido. En estas colisiones se producen partículas que a su vez se desintegran en otras partículas. Los físicos esperaban que en algunas de estas colisiones se encontrara el Higgs.

—¿Y cómo saben si la partícula producida es el Higgs u otra cosa? —Sal, nunca daba puntada sin hilo.

—Pues verás, cuando se produce el Higgs este se desintegra en otras partículas. Los físicos aprendieron que una partícula de Higgs se podía desintegrar en dos fotones, en dos mensajeros Z y de otras formas. Además aprendieron a calcular con qué probabilidad se desintegraría de cada una de estas formas. Lo que hacen es producir muchas colisiones en el LHC y ver cuantas veces se producen dos fotones, o dos Z, etc. Luego comprueban si esto está de acuerdo en lo que sabemos que tiene que producir un Higgs.

Los niños estaban embobados escuchando la explicación.

—Así en un futuro podremos decir que el 4 de Julio del 2012 los físicos anunciaron que se había encontrado algo en el LHC que se desintegra tal y como lo haría un Higgs. Y estamos seguros de eso en un 95%, que no es poco. Aunque claro, esto es ciencia, y todavía queda mucho por estudiar. Y seguramente nos preguntarán: ¿Dónde estabas y qué hacías cuando anunciaron que habían encontrado el Higgs?

—Comiendo en un restaurante mexicano… —soltó Ven y todos empezaron a reír.

—Muy apropiado… —dijo Mati disfrutando de la escena.

—Pues a mí me ha entrado hambre… quiero choriqueso… — Sal había decidido aparcar la ciencia por un momento.

—Es otra forma de ganar masa… —dijo Ven muy serio.

Todos se levantaron riendo y se fueron a un restaurante mexicano que lo tenían bien merecido.

—¡Gauss! ¡Scru! ——llamó Fis a las mascotas ——¿Dónde estáis?

FIN

Pues sí amigos, estos días, todos los que amamos la Ciencia estamos contentos y orgullosos por haber asistido a uno de los descubrimientos científicos más importantes de los últimos tiempos, el de la partícula de Higgs. Como diría nuestro Ven, ¡toma, toma, toma! ¡cómo mola!

Los niños, Gauss y yo nos pusimos muy nerviosos el día 4 de Julio al conocer la noticia, le pedí a nuestro amigo Fis, que nos contara este sábado qué significaba exactamente este hallazgo del CERN y, como siempre, nuestro querido Fis accedió gustoso.

Esto es sólo una aproximación sencilla a lo que significa la existencia de la partícula de Higgs, pero si queréis saber más sobre partículas elementales, modelo estándar y, ¿cómo no?, sobre Higgs, en Cuentos Cuánticos, el blog de nuestro Fis, tenéis esta entrada que os servirá como guía en estos caminos.

Es maravilloso saber que aún quedan tantas preguntas ahí fuera por responder, quién sabe si seréis algunos de vosotros los que nos deis otra noticia como esta en un futuro cercano…Pero hasta entonces, tenemos que estar atentos a lo que ya se sabe e ir aprendiendo cada día más.

Por Gauss, ¿¿no tenéis curiosidad por descubrirlo todo??

Hasta pronto

MATI

—¡Toma! Yo quiero ésta, es gordísima…

—Pero, ¡Ven! —dijo su primo Jose —¡Ésa casi no cabe en el maletero!

—Ven no se cansa nunca de comer sandía —añadió Sal divertido.

—Es que la playa me abre el apetito —respondió Ven —Me lo ha dicho mamá.

Volvían de pasar el día en la playa de Mónsul con Mati y Gauss. Ella había parado el coche para comprar una sandía a un señor que las vendía en la carretera.

—Es increíble que no se caigan rodando, ¿verdad? —preguntó Jose a sus primos.

—Supongo que como no son esferas perfectas… —empezó a decir Sal —no podrán rodar, ¿no?

—¿Qué? ¿Ya habéis elegido la sandía que nos llevaremos? —se acercó Mati a preguntarles —¿O le preguntamos mejor al señor que sabrá cuál es más jugosa?

—¿Por qué no se caen, Mati? —le preguntó Jose —¿Porque no son esferas perfectas?

—No, si lo fueran, tampoco se caerían —respondió la pelirroja —Además este señor las tiene apiladas de la mejor forma posible, como le gustaría a “Kepler“:http://es.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler.

—¿Kepler es el frutero de tu barrio, Mati? —preguntó el pequeño Ven.

—No, no, cielo —dijo ella sonriendo —Johannes Kepler era una famoso astrónomo y matemático alemán, según mucha gente, una de las piezas fundamentales en la revolución científica del siglo XVII.

—¿Y le gustaban mucho las sandías? —insistía Ven.

—Pues no lo sé —respondió Mati —Pero sí que le gustaba mucho mirar al cielo como a vosotros y a “Mister Green“:http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/1470/un-telescopio-de-25-centimetros. De hecho, fue él el que enunció las leyes que describían el movimiento de los planetas alrededor del Sol y hasta se atrevió a ¡diseñar un telescopio!

—Qué tío… —mascullaba Jose.

—¿Y qué tiene que ver todo esto con las sandías, Mati? —seguía insistiendo Ven.

—¿Kepler era amigo de “Galileo“:http://es.wikipedia.org/wiki/Galileo_Galilei, Mati? —preguntó Sal.

—Bueeeeeno… —respondió ésta —amigos, amigos, no diría yo. Parece que a Galileo no llegaron a gustarle mucho los trabajos de Kepler, creo que le molaban más los de “Copérnico“:http://es.wikipedia.org/wiki/Nicol%C3%A1s_Cop%C3%A9rnico…

—¿Que qué tiene que ver un telescopio con una sandía? —el pobre Ven se estaba desesperando.

—Huy, es cierto, cielo —dijo Mati acariciando el pelo del pequeño con dulzura —Pues para entender qué tiene que ver Kepler con las sandías, os contaré una historia de caballeros y batallas navales.

Los tres niños se sentaron junto a la montaña de sandías, Gauss se acurrucó junto a Jose. El frutero les dio un trozo de sandía a cada uno que comían con ganas porque venían acalorados.

—Hace mucho tiempo —comenzó a contarles Mati —en el siglo XVI, un barco inglés que se llamaba El Tigre navegaba camino de América. El jefe de la expedición era un caballero inglés “Sir Walter Raleigh“:http://es.wikipedia.org/wiki/Walter_Raleigh.

—Seguro que era muy valiente… —interrumpió Jose.

—Sí, eso dicen —corroboró Mati —Muy valiente y ¡muy guapo! Dicen que la reina Isabel I se fijó en él cuando a l ir a cruzar ella por un sitio donde había mucho barro, Wlalter Raleigh, todavía no era Sir, se quitó la capa que llevaba y la puso en el suelo para que la reina no se manchara los pies.

—Qué guarro… —dijo de nuevo Jose.

—Bueno, parece que a la reina le gustó el gesto y lo nombró caballero —terminó de decir Mati.

—Jo, qué suertudo… —insistía el primo de Sal y Ven.

—Lo cierto, Jose, es que esto último no está tan claro, hay quien dice que fue leyenda aumentada por los rumores —continuó Mati —Otras fuentes apuntan a que la reina lo nombró caballero por unos trabajitos que Raleigh hizo en Irlanda para que no se rebelaran contra la reina…

—Vamos, Mati, a las sandías… —Ven estaba poniéndose nervioso.

—A las sandías —dijo ella —En el mismo barco, viajaba “Thomas Harriot“:http://es.wikipedia.org/wiki/Thomas_Harriot, un matemático que trabajaba para Sir Walter Raleigh, también astrónomo. Pues bien, dicen que Raleigh le preguntó a Harriot por qué siempre apilaban las balas así…

— .También le propuso a Harriot que calculara cuántas balas podía tener la pirámide, en función de su base…

—¿Cuántas? —preguntó Sal.

—¿Lo intentamos calcular? —propuso Mati.

—¡Vale! —dijo Jose.

—Y seguimos sin hablar de las sandías… —masculló Ven.

—Bueno, Ven —dijo la pelirroja —Puedes pensar en sandías en lugar de balas de cañón, ¿quieres?

—No, venga…con balas de cañón… —dijo el pequeño.

—Vamos a calcular entre todos cuántas balas habrá en una pirámide base cuadrada, de lado 4 —propuso Mati —en la primera capa habrá…

—¡16 sandías! —se apresuró a decir Jose.

—Ponemos la segunda capa… —decía Mati.

—¡9 sandías! —gritó Ven.

—¡En la tercera 4, Mati! —dio Jose.

—Y por último, 1 en la última capa —concluyó Mati —Ya podemos sumar

—Y fijaos qué curioso —les advirtió a los niños —Podemos obtener una fórmula para calcular el número de balas…

—O de sandías.. —apuntó Ven.

—Eso, o de sandías, que hay en cualquier pirámide de base cuadrada.

—Así que si tenemos una pirámide con una base cuadrada de lado 6, tendrá…

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —dijo Jose.

—No me imites, Jose… —protestó con una sonrisilla Ven al que en el fondo le había gustado que su primo lo imitara.

—¿Lo hacemos con las pirámides de bases triangulares? —preguntó Mati

—¡Sí! —contestaron los tres niños a la vez.

—Vamos a contar las balas que tienen las pirámides más pequeñitas —empezó a decir la gafotas —a ver si deducimos una fórmula que me permita calcular el número de balas en cualquier pirámide de base triangular, como las estamos construyendo, poniendo cada esfera en el hueco que queda entre las cuatro que están justamente debajo.

Los niños empezaron a pintar en la pizarra de Mati las pirámides de base triangular de lados 2, 3 y 4, y a contar las balas que las componían.

—Muy bien, chicos —les animó —Ahora la de lado 5.

—Ahora vamos a fijarnos en los números que hemos ido obteniendo para ver si podemos deducir una fórmula que nos sirva para calcular cuántas balas o sandías hay en un pirámide de base triangular, conociendo sólo cuántas balas hay en el lado del triángulo de la base —les propuso Mati —Llamaremos PT2 al número de balas en la pirámide triangular de lado 2 en la base, PT3 al correspondiente en la de base 3 y, en general, PTN al que indica el número de balas en la pirámide de base triangular con N balas en el lado de la base. Fijaos lo que sale…

—¿Y ahora qué, Mati? —preguntó Jose ansioso.

—Pues que podemos ver una fórmula para PTN —dio ésta —Puesto que cada pirámide es igual a la anterior, más una base de lado N que tiene (1+2+3+…+N) balas.

—Pero vosotros ya sabéis cuál es la fórmula para calcular (1+2+3+…+N), ¿verdad? —les preguntó Mati.

—¡Sí! —gritó el gafotas —Y la descubrió “Gauss“:http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/1275/-gauss-cumple-14-anos. Es N por N+1 partido por 2.

Gauss ladró orgulloso, le encantaba oír su nombre cuando se trataban temas tan importantes…

—Pues con ésa fórmula y con la que hemos visto antes para la suma de los cuadrados, de puede deducir lo siguiente:

—Así —continuó la gafotas —Si queremos calcular cuántas balas habrá en una pirámide de base triangular de lado 12 balas en la base…

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —dijeron al unísono Jose y Ven.

—Pues sí, mola mucho —continuó Mati —Tanto que Harriot se quedó pensando sobre el tema y como además le gustaba estudiar sobre átomos y tal, se hizo preguntas bastante más complicadas como, por ejemplo, ¿cuál es la forma óptima de apilar esferas para aprovechar al máximo el espacio?

—¿Cuál es? —preguntó ansioso Sal.

—Ahora es cuando entra nuestro amigo Kepler en escena —Mati guiñó un ojo —Porque Harriot le escribió a Kepler hablando sobre estos problemas y claro, Kepler que era muy curioso, se puso a trabajar sobre el asunto y…

—¿¿Y?? —preguntó Sal con impaciencia.

—Pues que Kepler conjeturó que la mejor forma de empaquetar esferas era precisamente, así, como apilan las frutas los fruteros —dijo Mati —Poniendo las esferas en cada capa de forma que éstas se apoyen en el hueco que forman las cuatros esferas que están debajo de ellas.

—¿Y era verdad, Mati? —preguntó de nuevo el gafotas.

—Pues sí, era verdad —respondió ella —Pero no se ha demostrado hasta 2005.

—Yo ya había nacido, Mati —gritó Ven —Pobre Kepler, nunca supo que se había demostrado…

—¿Quién lo demostró, Mati? —preguntó Jose.

—Pues otro Thomas, “Thomas Hales“:http://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Callister_Hales, un matemático norteamericano —contestó Mati.

—Qué crack… —apuntó jose

—¿Está muerto? —preguntó Ven con carita de pena.

—No, es un hombre joven aún, Ven, no te preocupes —lo tranquilizó ella.

—¿Y por qué tardaron tantos años en demostrar esto? —preguntó Sal muy serio.

—En matemáticas, a veces, las preguntas aparentemente más simples pueden tener una solución muy complicada —concluyó la gafotas.

—O sea que los fruteros son expertos en matemáticas, ¿no, Mati? —preguntó Ven con la cara absolutamente manchada de sandía.

—Eso es, Ven —dijo ella con una sonrisa —Aunque el que parece que se entiende bien con las esperas es nuestro Gauss…

FIN

Pues sí, la historia sobre la conjetura de Kepler tiene todos los ingredientes necesarios para ser una gran aventura. Hace poco tiempo, estaba tomando café con mi amigo “Daniel“:https://twitter.com/#!/monzonete y me sugirió que se la contase a mis chicos. Así que pensé, ¡qué buena idea, Dani!

Ésta es una versión resumida y sin entrar mucho en los detalles más técnicos del camino recorrido desde Kepler hasta la demostración de Hales, pero si os interesa entrar en detalle, os recomiendo esta “entrada”:http://laaventuradelaciencia.blogspot.com.es/2012/05/la-conjetura-de-kepler.html de mi amigo Daniel en su blog “La aventura de la ciencia“.

La demostración de Hales requiere el uso de computadores para unos cálculos muy complicados y suscitó alguna polémica entre matemáticos por ello. Alguno incluso se atrevió a criticarla sin informarse demasiado como nos explica Francisco Santos en esta “carta al director de El País“:http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=6039:sobre-la-conjetura-de-kepler-y-su-demostraci&catid=107:noticias-en-divulgamat&Itemid=83.

Volveremos otro día a jugar con esferas, hasta entonces, ¡Feliz fin de semana!

MATI

—Esa es Escorpio, Ven.

—¿Cómo lo sabes, Sal?

—Por esa estrella roja, es Antares.

—Es verdad, si es muy fácil de reconocer —aceptó Ven.

—Y ésa con forma de cruz, debe ser el Cisne… —siguió Sal tratando de identificar más constelaciones con el planisferio celeste.

—¡Toma, Sal! Mira, ahí está Leo —dijo Ven.

—Sí —afirmó Sal —Parece de verdad un león recostado —pero algo les desconcertaba mientras miraban al rey de la selva.

—Sal, ¿qué estrella es esta que no aparece en el planisferio? —dijo el pequeño apuntando al cielo con su mano.

—No lo sé. ¡A lo mejor hemos descubierto una estrella!

—¡Qué guay! ¡Le podemos poner el nombre de Gauss!

—Pero si Gauss ya tiene un cráter en la Luna, Ven, nos lo contó Mati, “¿recuerdas?”:http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/1275/-gauss-cumple-14-anos —respondió Sal.

—Ya, pero ese Gauss era el príncipe de las matemáticas —replicó Ven —Yo quiero poner el nombre de nuestro Gauss.

Gauss, que estaba medio dormido en el jardín levantó las orejas al escuchar su nombre y se acercó a ellos. De pronto, Mati y su amigo Mister Green aparecieron del interior de la casa.

—¿He oído que habéis descubierto algo? ¡Contadme! — dijo Mister Green.

—Mister Green, es que hemos visto una estrella que no aparece en el plano que nos has dejado — dijo Ven emocionado —y entonces, ¡creemos que hemos descubierto una nueva estrella!

Ven se abrazó a Mati con todas sus fuerzas para tratar de liberar un poco de emoción.

—¿Dónde está esa nueva estrella? —dijo Mister Green.

Entre Sal y Ven localizaron la constelación de Leo y señalaron su descubrimiento.

—Chicos… Lamento deciros que no habéis descubierto una estrella —dijo Mister Green mientras señalaba una estrella en el cielo —Fijaros bien, ¿veis esa estrella?

—¡Sí! ¡Es muy brillante! —dijeron los niños al unísono.

—Efectivamente, se llama Vega y es una de las más brillantes que podemos ver desde nuestro planeta ¿Veis como parece que parpadea? —preguntó Mister Green.

—¡Es verdad! —dijo Sal.

—¿Y eso por qué es? —preguntó Ven.

— Os lo explicaré: la luz de las estrellas tiene que atravesar nuestra atmósfera, y eso provoca turbulencias que hacen que veamos ese efecto que en Astronomía se llama titilar.

Sal se quedó un rato pensativo mirando el cielo con mucha concentración.

—Entonces Mister Green, si salimos al espacio, ¿no veremos a las estrellas titilar?

—¡Efectivamente Sal!

—¡Toma, toma y toma! —exclamó el pequeño.

Pero a Ven todavía le picaba la curiosidad.

—Pero la estrella que hemos descubierto no titila. ¿Por qué?

—Porque… ¡no es una estrella sino un planeta! Y además, es un planeta que tiene anillos. ¿Sabéis que planetas tienen anillos? —preguntó Mister Green.

—¡Yo sí lo sé! —Exclamó Ven —Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno tienen anillos.

—¡Perfecto Ven ¡Eres todo un genio! —dijo Mister Green mientras Ven se sonrojaba, el pequeño no sabe gestionar bien los halagos…

Pero entonces las dudas abordaron a Sal. Mati contemplaba la escena con una sonrisa, había pocas cosas que le gustasen más que la curiosidad de sus amiguitos.

—Mister Green, pero la luz de los planetas también atraviesan nuestra atmósfera. Entonces, ¿por qué no titilan?

— ¡Qué buena pregunta, Sal! Las estrellas están tan lejos que las vemos como si fueran puntitos. Sin embargo, los planetas los vemos como pequeñas bolitas porque están mucho más cerca —explicó Mister Green —y el titileo sólo afecta a objetos puntuales. Por eso no ves al planeta titilar.

—Pues a mí el planeta me parece un punto —dijo Sal.

— Si mirásemos con un telescopio una estrella seguiríamos viendo un punto, mientras que si miramos un planeta, veríamos una bolita —aclaró Mister Green.

—¡Vamos a comprobarlo! —exclamó Ven.

Leo, el pequeño telescopio de Mister Green, saltaba de alegría. A los niños les gustaba mucho la mascota de Mister Green desde el día que éste se la presentó con aquello de “su nombre es Leo, Gali Leo”. A Leo, mirar el cielo a través de un telescopio siempre le causaba gran emoción. Mister Green sacó una caja bastante grande, montó el trípode, el motor de seguimiento y finalmente el telescopio. Sal y Ven miraban con la boca abierta.

—Y aquí os presento a un telescopio de 10 pulgadas, o lo que es lo mismo, ¡un telescopio de 25 centímetros! —dijo Mister Green.

—Pero el telescopio mide más de 25 centímetros —dijo Sal.

— De largo sí, pero cuando decimos que un telescopio tiene 25 centímetros nos referimos al diámetro del objetivo del telescopio.

Mister Green, Mati y los pequeños se situaron alrededor del telescopio. Leo saltaba de alegría en los hombros de Mister Green mientras Gauss lo miraba con cierta pelusilla.

—Primero apuntaremos a esa estrella —dijo Mister Green señalando a Antares, la estrella más brillante de Escorpio.

Mister Green dirigió el telescopio hacia la estrella y Sal se puso primero para mirar.

—¡Es verdad! Se sigue viendo un punto, además es muy rojo y sigue titilando ¡Cómo mola! —exclamó Sal.

—¡Me toca! —dijo Ven mientras plantaba el ojo en el ocular —¡Cómo mola! ¡Ahora quiero ver el planeta que hemos descubierto!

Mister Green se puso manos a la obra y apuntó el telescopio hacia ese punto que desafiaba la curiosidad de los niños. Cuando lo tuvo bien enfocado invitó a Ven a mirar.

—¡Toma, toma y toma! ¡Es igual que en los libros! ¡Es Saturno! —dijo Ven con los ojos un poco húmedos.

—Efectivamente Ven, ¡el planeta que habéis descubierto es Saturno! —respondió Mister Green.

Le llegó el turno a Sal y se dispuso a mirar.

—¡Cómo molan los anillos! —dijo el gafotas casi sin poder cerrar la boca de la emoción.

—¿Puedo mirar yo? —preguntó Mati y Mister Green hizo una graciosa reverencia invitándola a asomarse.

—¿A que mola mucho, Mati? —preguntó Ven entusiasmado.

—Es maravilloso —dijo la pelirroja con voz temblorosa al borde de un “Sthendalazo“:http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADndrome_de_Stendhal

—¿Con cuántos aumentos lo estamos viendo? —quiso saber Sal.

—Ésa es una pregunta muy interesante —dijo Mister Green mientras sacaba su cuaderno —Primero tenemos que saber la distancia focal del telescopio. ¿Veis que lo pone aquí? —Mister Green señalando una placa que había en el telescopio.

—¡Sí! Pone f=125 cm —dijo Sal.

—Y en el ocular, ¿qué distancia focal tenemos? —Volvió a preguntar Mister Green.

—A ver… ¡12 milímetros! —dijo Ven entusiasmado.

Mister Green cogió su cuaderno, puso todo en las mismas unidades y calculó los aumentos.

—Entonces Mister Green, ¿vemos Saturno 104.16 veces más grande? —preguntó Sal.

—No exactamente. Lo correcto sería decir que vemos Saturno como si estuviéramos 104.16 veces más cerca —respondió Mister Green.

Saturno, que esa noche se encontraba a 1361 millones de Km., lo estaban viendo como si estuviera a tan sólo 13.06 millones de Km. En esos momentos el tiempo se paró y los pequeños disfrutaban viendo el planeta de los anillos además de Titán, Rea y Dione, tres de sus satélites. Mati y Mister Green se sonrieron con complicidad. Gauss se quedó dormido, las grandes maravillas le daban mucho sueño.

FIN

Pues sí, como ya os “conté”:http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/1440/un-ano-23-historias el día de la fiesta de cumpleaños, de vez en cuando nos visitará algún amigo para hablarnos de otras ciencias que molan tanto como las Matemáticas y que les gustan mucho a Sal y Ven. En aquella ocasión, fue “Fis“:http://cuentos-cuanticos.com/, el que nos explicó el “Principio de Inercia“:http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/1440/un-ano-23-historias y lo pasamos muy bien jugando a las carreras de coches.

Hoy, nuestro invitado es “Mister Green“:https://twitter.com/#!/aperezverde que, creado por el autor de “Los pilares de la Ciencia“:http://lospilaresdelaciencia.blogspot.com.es/, nos ha venido a hablar de Astronomía, nos ha enseñado una palabra muy bonita, titilar y nos ha regalado esa “foto maravillosa de Saturno”:http://www.cacahuet.es/foto.avx?x=0&tr=XtgLwc0uk4s%3D de la última ilustración, hecha por Fernando Cabrerizo y Ernesto Gonzalo.

Nos vamos hasta dentro de 15 días, sed buenos y no olvidéis mirar mucho a las estrellas. Y si lo hacéis en silencio, puede que lleguéis a escuchar alguna risa, como de un niño, como de un “príncipe pequeñito”:http://es.wikipedia.org/wiki/El_principito…

MATI

…si algún día, viajando por África cruzan el desierto. Si por casualidad pasan por allí, no se apresuren, se los ruego, y deténganse un poco, precisamente bajo la estrella. Si un niño llega hasta ustedes, si este niño ríe y tiene cabellos de oro y nunca responde a sus preguntas, adivinarán en seguida quién es. ¡Sean amables con él! Y comuníquenme rápidamente que ha regresado ¡No me dejen tan triste!

*_El principito._ Antoine de Saint-Exupéry*

—¡¡Eh, Gauss!! —gritó Ven — ¡No te alejes tanto! ¡Tenemos que seguir! ¡Ya casi estamos en Barcelona!

—Déjalo que corra un poco, Ven —dijo Sal —El pobre lleva mucho rato en el coche…

—Sí, además —afirmó el pequeño con cara de pícaro —con lo miedica que es, no irá muy lejos.

Nuestros amigos Mati, Sal, Ven y Gauss iban de viaje a Barcelona a visitar a su amiga Mamen a la que hacía mucho que no veían. Acababan de parar en una estación de servicio para estirar las piernas, repostar gasolina… y esas cosas. Mientras Mati compraba agua y galletas, los niños y Gauss aprovecharon para pasear un poco alrededor.

—Mira, Sal, qué curioso…

—¿El qué? —preguntó el gafotas.

—Que en ese cable de ahí no hay pajaritos y ¡mira!

—¿Qué quieres que mire, Ven?

—Pues que está hundido hacia a bajo, como si tuviese pajaritos. Parece que los pajaritos no pesaran nada…

—Es cierto, porque el que sí tiene pajaritos está exactamente igual…

Gauss miraba a ambos cables con los ojos entornados como si de verdad pudiese intuir a qué se debía aquel misterio.

—¿Seguimos, caballeros? —Mati acababa de llegar a donde estaban ellos. Traía helados y los ojos de Ven se abrieron de par en par.

—¡Mi favorito, Mati! —dijo el pequeño —¡Gracias!

—A ti te traje tus patatas favoritas, Sal —dijo la pelirroja —como no te gusta el helado…

—Gracias —dijo Sal pensativo —Mira, Mati, fíjate en esos dos cables… en el que no tiene pajaritos…

—Ajá, el de los pájaros me gusta más —dijo ella guiñando un ojo —Pero, dime, cielo.

—¿Ves que el que está vacío también se hunde hacia abajo? —siguió él —Parece que estuvieran posados pajaritos invisibles, ¿verdad?

—¡Hala! —intervino el pequeño —Eso no existe, ¿verdad, Mati?

—Yo no he dicho que existan, Ven, he dicho que pa-re-ce.

—Ah, te refieres a la “catenaria”:http://es.wikipedia.org/wiki/Catenaria del cable —interrumpió la pelirroja.

—¿¿La qué?? —dijeron los niños al unísono.

— La catenaria —repitió Mati —Es el nombre de esa curva, de la curva que adopta un cable, una cuerda o una cadena, suspendida entre dos extremos.

—¿Siempre sale la misma? —preguntó Ven boquiabierto.

—Bueno, en realidad —respondió Mati —la catenaria sólo saldría en unas condiciones ideales, con una cuerda idealmente delgada e idealmente flexible…

—¡Qué ideal, chica! —bromeó el pequeño.

Mati se echó a reír, Sal miró de reojo a su hermano, Gauss estornudó.

—Pero podemos decir que sí, que es una catenaria, porque casi lo es —concluyó la gafotas.

—¿Catenaria es por cadena, Mati? —preguntó Sal.

—¡Efectivamente, Sal! —Mati se sorprendió gratamente —Proviene del latín catenarius (propio de la cadena).

Sal sonrió y miró al suelo, un poco ruborizado, Ven le zampó un beso a su hermano en la mejilla, Gauss contempló la escena con pelusilla.

—Ese beso a tu hermano, Ven —dijo Mati sonriendo —me recuerda la historia de otros dos hermanos que tuvieron mucho que ver con la catenaria, y que no acabaron precisamente a besos…

—¿Por qué? ¿Quiénes eran, Mati? —preguntó intrigado el gafotas.

—Eran “Jacob”:http://es.wikipedia.org/wiki/Jakob_Bernoulli y “Johann Bernouilli”:http://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoulli, dos matemáticos suizos. Hacía mucho tiempo, Galileo…

—¡El que inventó el experimento que “nos enseñó Fis”:http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/1440/un-ano-23-historias! —gritó Ven

—El mismo —continuó Mati —Galileo pensaba que la curva que adoptaba una cadena sujeta por los extremos era una curva conocida como parábola. Pero, no, no lo es. El hermano mayor, Jacob lo sospechaba pero no conseguía demostrarlo, se pasó mucho tiempo dándole vueltas hasta que un día, su hermano pequeño, en una sola noche, encontró la demostración de que la curva no era una parábola,…

—¡Toma, toma, toma! ¡Qué crack! —dijo Ven entusiasmado.

—Sí, un crack —corroboró Mati —A su hermano mayor no le hizo tanta gracia… Dicen que se puso un poco celoso…

—Qué tontería… —dijo Sal —Su hermano pequeño le demostró que tenía razón y ya no tendría que pensar más en el problema.

—Pues sí, Sal, tienes razón —respondió Mati — ¿Sabéis a quién le gustaban mucho las catenarias?

—¿A quién? —dijeron a la vez los dos hermanos.

—A “Gaudí”:http://es.wikipedia.org/wiki/Antoni_Gaud%C3%AD —dijo Mati — Pero en general, a muchos arquitectos y diseñadores. Porque un arco con forma de catenaria invertida es una estructura muy estable, que soporta muy bien su propio peso ¿Os acordáis del “Parque Güell”:http://es.wikipedia.org/wiki/Parque_G%C3%BCell de Barcelona?

—Claro, Mati —dijo Sal —Fuimos el verano pasado.

—Pues allí se pueden encontrar arcos de catenaria por muchos sitios…

—¿Podremos ir con Mamen y el Mapache? —preguntó el pequeño.

—Seguro que sí —respondió la gafotas —Pero aparte de su uso en la arquitectura tratando de imitar a la naturaleza, ¿sabéis que es lo más divertido de la catenaria?

—¿¿Qué?? —preguntaron los niños con impaciencia.

—Que se pueden diseñar pistas para bicicletas… —la pelirroja hizo una pausa dramática —¡con las ruedas cuadradas!

—¡NO! —dijo Sal escéptico.

—¡MOLA! —gritó Ven.

—Pues sí, Sal, sí —siguió Mati divertida — El truco está en que para que un movimiento sea suave lo que tenemos que conseguir es que el eje de la rueda, el centro, describa una linea recta. Si la carretera es lisa, eso se consigue únicamente con ruedas circulares, todos los puntos de la rueda están a la misma distancia del centro. Pero esta propiedad no la tiene el cuadrado. Para que la rueda cuadrad ruede manteniendo el centro en línea recta, el suelo no puede ser liso

—Pues bien, eso se consigue si el suelo está formado por catenarias invertidas —concluyó ella.

—Alucinante… —dijo Sal embobado.

—¡Chulísimo, Mati! —añadió Ven.

—Es que las curvas son muy emocionantes, chicos.

—Bueno, en la carretera marean un poco… —dijo Ven —Gauss se pone muy raro cuando hay muchas curvas…

—Pues hay una otra curva famosa —continuó Mati — que se parece mucho a la catenaria, la “cicloide”:http://es.wikipedia.org/wiki/Cicloide.

—¿También tiene que ver con las cadenas, Mati?

—No, Sal, tiene que ver con un círculo rodando —contestó ésta —Imagina que tenemos una circunferencia de metal y que un punto de esa circunferencia ponemos un lápiz. Hacemos girar la circunferencia sobre una recta, pegada a una pizarra. Pues bien, la cicloide es la curva que pinta el lápiz sobre la pizarra.

—¡Otra vez la catenaria! —gritó Ven.

—No, Ven, se parece pero no es —dijo Mati con un guiño.

—¿Sirve para algo la cicloide, Mati? —preguntó el gafotas.

—Pues sí, ya veréis —anunció ella —Desde muy antiguo, los matemáticos querían encontrar una curva, la llamaban “braquistócrona”:http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_braquist%C3%B3crona, que fuera la curva de descenso más rápido entre dos puntos. Es decir, la curva necesaria para llevar, por ejemplo una bolita, de un punto a otro en el menor tiempo posible, sólo deslizándose por efecto de la gravedad.

Los niños escuchaban a Mati ensimismados, Gauss estaba poniendo carea de marearse, ella continuó.

— Venga, ¿sabéis quién resolvió el problema de encontrar la braquistócrona? —les preguntó.

— ¡¡GAUSS!! — gritaron los dos hermanos a la vez, el aludido se puso a ladrar y mover la cola con alegría.

— ¡Jajajajaja! No, fue antes de que naciera Gauss —Gauss retorció el hocico, Mati continuó — Fue, de nuevo, Johann Bernouilli. Descubrió que la braquistócrona era la cicloide.

—Pero más rápido que cualquier curva sería usar una rampa muy inclinada, ¿no, Mati? —preguntó Sal.

—No, Sal, lo que demostró Johann Bernouilli es que el transporte usando la cicloide es más rápido que con cualquier otra curva, incluida cualquier rampa.

—¡Toma, toma, toma! ¡Es más que un crack! — Ven estaba eufórico.

—Sí — confirmó Mati — Aunque en el mismo número de la revista en que lo publicó, otros cuatro matemáticos muy prestigiosos, publicaron también la solución: “Newton”:http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton, “Leibniz”:http://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz, “Von Tschirnhaus”:http://es.wikipedia.org/wiki/Ehrenfried_Walther_von_Tschirnhaus y su hermano, Jacob.

— ¿Tan fácil era la solución, Mati? —preguntó Sal.

—No, cielo, tan inteligentes eran ellos — le respondió — Pero además de ser la curva de descenso más rápido, la cicloide tiene otra propiedad que parece mágica.

—¿Cuál, cuál? —preguntó Ven.

—La cicloide es también “tautócrona”:http://en.wikipedia.org/wiki/Tautochrone_curve.

—¿¿Qué??

—Sí, tautócrona —continuó la pelirroja —Si soltamos pelotitas sobre una cicloide a distintas alturas de la misma, todas llegan abajo al mismo tiempo…

—Sí, claro… —respondió el pequeño incrédulo.

—Sí, porque las que tienen que recorrer más espacio, saldrán con más aceleración al estar la pendiente más inclinada —le explicó la gafotas —Cuando lleguemos a casa de Mamen os mostraré unos vídeos. —Eso, vámonos, Mati —dijo Sal —¿Falta mucho para llegar Mati?

—Unas…24 curvas —le respondió ella con un guiño.

—¿Catenarias o cicloides? —bromeó Ven.

—Pues no, guapo —respondió Mati burlona — “Clotoides”:http://es.wikipedia.org/wiki/Clotoide.

—¿Clotoides? —preguntó Sal emocionado.

—Sí, la clotoide es la curva que se suele usar en el diseño de carreteras. Es la curva de transición más suave entre la recta y la circunferencia del trazado de la curva, por ser su curvatura directamente proporcional a la distancia recorrida.

Los niños arrugaron la carita, Gauss seguía mareado…

—Veréis. En realidad es una espiral doble, se le llama también Espiral de Euler.

—¡Toma! Qué carretera más molona… —intervino Ven.

—Bueno, sólo se usa un arco de clotoide para enlazar la recta con el arco de circunferencia —dijo Mati sonriendo —Es una cuestión de seguridad, comodidad e incluso de estética. En la carretera encontramos la secuencia recta-arco de clotoide-arco de circunferencia-arco de clotoide-recta.

—Vaya… —se quejó el pequeño.

—Pero sabes, Ven —continuó ella — también se usan en las bucles de las montañas rusas, por cuestiones físicas.

—Le diremos a Fis que nos lo explique un día, pero, básicamente, es porque si se usa un bucle circular, la velocidad decrece demasiado al llegar arriba y necesita una velocidad de entrada muy grande para llegar. Eso se arregla con la clotoide.

—Me estoy mareando… —dijo Ven moviendo los ojos.

—Vamos, seguimos, que falta poco —animó Mati.

—Sí, vamos —dijo Sal —Y oye, Gauss, cuando vayamos al parque Guell no montes la misma escena que el verano pasado, ¿vale?

—¡Guauauu, gua, guauu, guau, guau! (¡Fue él el que me miró raro!)

FIN

Pues sí, el estudio de curvas y sus propiedades no sólo es interesante por si mismo sino por las propiedades tan curiosas que podéis descubrir.

Efectivamente, la cicloide es braquistócrona y tautócrona. Por si sois desconfiados como Ven, os dejo “este vídeo” en el que lo explican con ejemplos, y “este enlace”:http://gaussianos.com/la-cicloide-%C2%BFcual-es-el-camino-mas-corto/ a una entrada de Gaussianos que habla de ella.

En cuanto a la catenaria, os dejo “esta entrada”:http://eliatron.blogspot.com.es/2009/05/la-curva-catenaria-cadenas-trenes-y.html de Tito Eliatron y “este vídeo”:http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=ZHLNIFL2I1o, en el que podéis ver como Clara se lo pasa pipa en Nueva York con una bicicleta de ruedas cuadradas. En “esta entrada”:http://stasalicante.blogspot.com.es/2012/04/hay-gente-pa-to.html se explica con más detalle el funcionamiento de la bici.

Ahora os dejo, vamos a visitar Barcelona con Mamen y Raquel.

Hasta pronto

MATI

Esta capítulo de las mateaventuras de Mati fue idea de Sal. Un día que estaba pachuchillo, mientras esperábamos en la consulta del pediatra, estuvimos leyendo sobre la cicloide y sus propiedades en un libro que nos gusta mucho “El País de las Maravillas Matemáticas”:http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=12705&directory=67. Le gustó tanto que propuso “¿por qué no cuenta esto Mati para todos los niños?” Pues aquí está. De hecho, tenemos más curvas para otro día que el propio Sal ha ido recopilando y archivando porque le hacían gracia. Ya las veremos.

Feliz fin de semana.

Clara

Esta entrada se publicó originalmente en Pequeño Libro de Notas cuando el blog de Mati cumplió su primer año.

—¡¡Eso no vale!! Tú lanzas el coche más lejos porque eres mayor… —Ven estaba un poco harto de que su hermano le ganara en las competiciones de llegar más lejos en el pasillo con los coches.

— Yo estoy tirando con la misma fuerza que tú… Lo que pasa es que mi coche es mejor — Sal siempre picando al pequeño.

— Pues un día lanzaré el coche hasta el infinito… — respondió Ven con ese brillo en los ojos como viviendo ya la hazaña.

— ¡Halaaaaaaa! eso es imposible…

— Chicos, mirad quienes son nuestros primeros invitados — dijo Mati tratando de desviar la conversación

—¡Fis! ¡Scru! —dijeron los lanzadores de coches.

Acababa de entrar su amigo Fis que siempre traía aparatos chulos y divertidos. Y por supuesto detrás de él llegó Scru, su gato. Fis siempre iba con su gato a todos lados porque decía que cuando no lo veía no sabía muy bien ni dónde estaba ni cómo estaba…Locuras de Fis. Scru se paseó por ahí con la cola bien estirada, olisqueó a los chavales que le acariciaron la cabeza para saludarlo, miró de reojo a Gauss que agitaba la cola como un loco y luego, como siempre, decidió ir a pensar a su cojín favorito.

— ¿Qué hacíais enanos? —preguntó Fis.

— Ven quiere lanzar su coche hasta el infinito, ¿a qué no se puede? — Sal buscaba el apoyo de Fis para dejar zanjada esta discusión.

— Pues nunca lo he pensado… —A Fis siempre le parecían sorprender las preguntas de los chavales — Supongo que si lo empujas todo el rato podrías llegar al infinito. Pero luego hay que volver y el infinito está muy lejos.

— Pero es que no vale empujarlo más allá de esta línea… —Ven estaba empezando a considerar que nunca podría ganar en la competición de lanzamiento de coches.

De repente Fis dio un salto y salió corriendo… Gauss se fue detrás de él porque no podía aguantar la curiosidad. Scru ni abrió los ojos, a saber lo que estaba pensando. Fis volvió al pasillo con un aparato entre las manos… como un carril con muchos agujeritos en su superficie y unos coches que se ponían sobre el carril con una carita sonriente en su centro.

— Vamos a ver si sería posible llegar al infinito sin empujar todo el rato. Sal enchufó el aparato y Ven notó que salía aire por los agujeritos.

— ¡Que guay Fis! —Los chavales estaban entusiasmados.

Fis empezó a girar unas ruedas que tenía carril ese tan raro y los extremos empezaron a levantarse como un puente levadizo.

— Ven coge un coche de estos y ponlo a una altura, la que tu quieras —le propuso Fis al pequeño —Sal tu tienes que marcar el punto donde está la carita y medir con una regla desde ahí hasta el suelo.

Sonó el timbre y Mati desapareció dejando a los tres muchachos con su experimento. Los niños muy concentrados seguían las instrucciones. Ven mantenía el coche en el carril sujetándolo con dos dedos y Sal dijo:

—23 centímetros, Fis.

— Muy bien. Ven, ahora tienes que soltar el coche sin empujarlo. Sólo suéltalo. Y tú Sal tienes que ponerte en el otro extremo y marcar donde llega la carita sonriente.

Ven, más concentrado que un neurocirujano, soltó el coche y Sal marcó el punto donde había llegado la carita sonriente del coche en el otro extremo del carril. — ¡¡Fis, son 23 centímetros también!!

Fis giró la rueda del extremo de la derecha y abrió el ángulo un poco más…

— Volvamos a hacerlo —retó a los chicos.

Sal y Ven tomaron posiciones. Ven puso la carita sonriente del coche en la marca anterior a 23 centímetros en el lado de la izquierda. Sal esperando en el otro lado. Y…

— ¡23 centímetros otra vez! —dijo Sal excitado.

— Pero ahora ha recorrido más trozo Fis—los ojillos de Ven brillaban con emoción.

— Sí, eso parece… pero ha llegado a la misma altura que antes.

Estuvieron repitiendo el juego bajando cada vez más el lado de la derecha. hasta que al final estuvo completamente plano.

— Una vez más…—dijo Fis.

En esta ocasión el coche siguió sobre el carril hasta que este se terminó y cayó al suelo.

— Se ha caído… —dijo Ven un poco desanimado.

Fis, sonriendo, les dijo:

— ¿Pero qué pasaría si estuviéramos en el espacio y tuviéramos un carril infinito?

— El coche no pararía nunca, intentaría llegar a subir hasta la altura que los hemos dejado caer pero como no podría seguiría corriendo por el carril para siempre —dijo Sal satisfecho de su conclusión.

— ¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! Se podría llegar al infinito sin empujar al coche nunca — dijo Ven revolcándose por el suelo lo que hizo que Scru se despertara y se sintiera curioso por el motivo de tanta diversión. Así que se acercó olisqueó el carril y los coches tirados por el suelo y se sentó a mirar qué estaba pasando allí.

— Eso es… —Fis estaba encantado y siguió explicando — Esto que hemos hecho aquí lo ideó un señor llamado “Galileo Galilei“:http://www.biografiasyvidas.com/monografia/galileo/ hace muchos años y demostró que no hay que aplicar fuerzas para mantener un cuerpo en movimiento rectilíneo respecto a un observador. En este caso el observador somos nosotros. Esto lo llaman el “Principio de inercia“:http://cuentos-cuanticos.com/2012/05/18/si-no-lo-tocas/. Fijaos que cuando el coche desciende por el lado de la izquierda gana velocidad y cuando sube por la derecha pierde velocidad hasta llegar a la misma altura de la que había salido. En el trozo plano la velocidad se mantiene constante todo el rato.

— ¿Has oído Sal? Somos observadores… —dijo Ven emocionado.

Sal estaba concentrado en lo que pasaba por su cabeza, seguro que intentando encontrar para qué podría servir todo esto. Fis le revolvió el pelo.

—Es alucinante, Fis —terminó aceptando el gafotas.

—¿Sabéis? Este experimento llevó a Galileo a determinar que el movimiento rectilíneo y uniforme no necesitaba de fuerza alguna para mantenerse —les explicó su amigo Fis — Posteriormente, “Newton“:http://www.biografiasyvidas.com/monografia/newton/ tomó este principio y construyó la teoría física conocida como mecánica clásica basada en el concepto de fuerzas.

—Yo tengo mucha fuerza, Fis —dijo Ven doblando su brazo en ángulo recto y mostrando su bíceps.

—¡Jajajaja! No lo dudo —le contestó éste —Pero lo que más me gusta de ti no es tu fuerza sino tu curiosidad y tu desparpajo. Y cambiando de tema, enanos, tengo que llevar a Scru al veterinario, últimamente está que no está —continuó Fis. El gato, por supuesto, no estaba nada de acuerdo con eso y puso cara de enfado —¿Me acompañaréis?

—¿Hoy? —preguntó Sal extrañado —Hoy es nuestra fiesta de aniversario…

—¡Sí! —intervino el pequeño —¡Y van a venir muchos invitados!

—Ya, ya lo sé, chicos —Fis les guiñó un ojo —He venido a la fiesta. Al veterinario iremos mañana por la tarde, después del entrenamiento.

—¡Ah, vale! Entonces, sí —respondió Sal.

—Y llevaremos a Gauss —añadió Ven con sonrisa pícara —Que le gusta mucho la chica de la recepción.

—Pero, bueno, ¿venís al salón o qué? —era Mati la que venía a buscarlos —Ya han llegado todos los invitados. Vamos, Gauss, llegaron Sheldon y Penny.

—¿Han venido Elio, Ot y Ula? —Ven estaba saltando sobre sus pies.

—Claro, están todos —respondió la pelirroja.

—Vamos, enanos —dijo Fis y añadió con voz misteriosa —Otro día hablaremos de la Fuerza.

— ¿Como en la Guerra de las Galaxias? —preguntó Ven extasiado.

Fis se echó a reír.

— Mejor, como en el Universo de verdad.

—¡Toma, toma, tooooooooma! —el pequeño adoraba a Fis y no dudaba en mostrarlo.

—¡Ven, está aquí Mister Green! —se escuchó la voz de un Sal alegre y dicharachero desde el salón.

—¡¡¡Voy!!! —dijo Ven corriendo hacia el salón donde se celebraba la fiesta — ¡¡No empecéis sin mí!!

FIN

Pues sí, el pasado lunes 14 de Mayo de 2012 se cumplió un año de la publicación de nuestra primera mateaventura “El 1 nunca fue un soldado“:http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/946/el-1-nunca-fue-un-soldado

Cuando comenzamos a andar estábamos llenos de ilusión y de historias que queríamos compartir con vosotros, nos apetecían mucho estas aventuras. Lo que no podíamos imaginar en ningún momento era la cantidad de amigos y buenos momentos que íbamos a recoger por el camino.

Gracias a todos los que nos habéis acompañado en esta aventura porque, como ya dijeron Clara y Raquel, “vuestros comentarios y vuestro cariño han sido el agua más fresca para nuestras cantimploras cuando teníamos sed y la más luminosa de las linternas si oscurecía“:http://seispalabras-clara.blogspot.com.es/2012/05/mati-cumple-un-ano.html.

Pues bien, después de recibir tanto de todos vosotros no queríamos dejar pasar esta ocasión para regalaros algo especial. Como nos han contado que muchos niños y no tan niños, están descubriendo lo que molan las mates con nuestras mateaventuras, hemos pensado en invitar a algunos amigos nuestros para que nos descubran como molan otras ciencias. El capítulo de hoy está escrito por un físico que cuenta cuentos, “Cuentos Cuánticos“:http://cuentos-cuanticos.com. Le llamamos cariñosamente Fis, porque Físico es muy largo, ya sabéis, como Mati en lugar de Matemáticas…

Pero no será el único porque, aunque seguiremos principalmente jugando y disfrutando con las Matemáticas, nuestro amigo Mister Green, en la foto de la fiesta, con bata y camiseta de Saturno, que sabe mucho de “Los pilares de la Ciencia“:http://lospilaresdelaciencia.blogspot.com.es/, vendrá muy pronto a hablarnos de astronomía y … bueno, ya iremos descubriendo paso a paso… No queremos desvelarlo todo.

Por cierto, el chico con la piña es uno de los chicos de “Hablando de Ciencia“:http://www.hablandodeciencia.com al que hemos invitado para darle las gracias a él y a todos sus compañeros por su importante labor en el “StAS Alicante“:http://stasalicante.blogspot.com.es/2012/05/we-will-we-will-math-you.html donde nos lo pasamos tan bien en nuestro stand de Mati y sus mateaventuras.

Ah, y el señor con gafas que nos saluda a la izquierda de Fis es el papá de Sal y Ven que, aunque no salga en las historias es uno de los principales responsables de que éstas puedan aparecer.

Me voy, que me esperan en la fiesta.

¡Muchísimas gracias a todos por todo! ¡Muuuuuuuuuuuuuac!

MATI

— La primera etapa mide 22 centímetros de largo. Ven, dibuja una línea de 22 centímetros, sin doblarte, por favor.

—Sin doblarme, sin doblarme… —repetía el pequeño en voz baja mientras trataba de dibujar la línea en la cartulina —Creo que no va a caber en esta cartulina…

—Pero, Ven, ¿cómo no va a caber una línea de 22 centímetros en una cartulina?

—Pues no cabe, Sal, fíjate que se sale… —dijo Ven marcando con el escalímetro sobre la cartulina desplegada en la mesa.

Sal se acercó ajustándose las gafas sobre la nariz.

—Pero, Ven, ésos no son centímetros, dale la vuelta a la regla, ¡por Euler! ¿Cómo vamos a conseguir que este cohete despegue si no pones bien las medidas?

—Toma, es verdad, ¡qué fallo más tonto! —contestó el pequeño llevándose las manos a la cabeza —Con esta regla tan rara que has cogido…

—No es rara, se llama escalímetro.

—Es rara, Sal, me da igual cómo se llame.

—Ponla por el lado de 1:100 y pinta la línea de la primera etapa que no vamos a acabar nunca.

—Vaya, qué atareado os veo hoy, ¿alguna manualidad para el colegio? —Mati había llegado.

—¡Hola Mati! —Ven soltó la regla rara y junto con Gauss fueron a abrazar a la recién llegada.

Sal se acercó también mirando aún de reojo el plano que dejó sobre la mesa.

—Hola, Mati —la saludó —No, no es para el cole. Es que queremos construir un cohete.

—Bueno, bueno… eso sí que es una misión difícil y emocionante para mis científicos… —dijo la pelirroja con voz afectada.

—En realidad hoy no somos científicos somos ingenieros aeroespaciales —respondió el pequeño hinchando el tórax.

—Ingenieros aeroespaciales que no saben medir bien… —dijo Sal con picardía.

—Chivato… —masculló Ven —No me gusta esa regla y punto.

—¿El escalímetro? —preguntó Mati —Bueno, es una regla muy cómoda para dibujar a escala, pero sí, para vuestro cohete no hace falta posiblemente.

Ven miró a Sal de reojo y retorció la boca en señal de victoria. Mati continuó.

—Hablando de reglas raras o especiales, ¿habéis oído hablar de las reglas de Golomb?

—¿Reglas de Gollum? ¿El de la Tierra Media? —preguntó Ven con cara de pillín.

—No, de Golomb —repitió Mati sonriendo — Son unas reglas muy originales en las que no están puestas todas las marcas.

—Lo que faltaba, así sí que no acabaremos nunca el cohete… —se lamentó Sal.

—No, efectivamente, para el cohete es mejor que uses una regla estándar. Pero las reglas de Golomb tienen muchas utilidades, por ejemplo, para minimizar interferencias entre bandas de radio o incluso para maximizar la recepción en los radiotelescopios que investigan el espacio.

—Toma, mola… —Ven ya estaba atrapado en las redes de Mati.

—¿Qué tienen de especial esas reglas, Mati? —preguntó el gafotas.

—En una regla de Golomb sólo escribimos algunas marcas, pero no de cualquier manera, si no de forma que las distancias entre cualquier pareja de marcas no se repitan.

Ante la cara arrugada de los niños, Mati continuó

—Por ejemplo, consideramos una regla de 8 centímetros y marcamos sólo dónde está el 1, el 5, el 7 y el 8, cómo en ésta de la pizarra.

—Vamos a ver si efectivamente se trata de una regla de Golomb, calculando todas las distancias posibles entre 2 marcas distintas. Si no se repite ninguna distancia, lo tenemos.

—¿Podemos hacerlo nosotros, Mati? —preguntó alegre Ven.

—Claro, calculad la distancia de cualquier marca al 1, para empezar.

—Ya está, lo tenemos, 4, 6 y 7 —afirmó Sal.

—Muy bien, chicos —dijo la gafotas —Ahora las distancias entre el 5 y las otras marcas, excepto el 1 que ya la hemos medido.

—¡2 y 3! —contestó Ven con ímpetu.

— Nos queda el 7 con el 8 y terminamos —dijo Mati.

—Ésa está chupada —afirmó Ven —¡1!

—Pues sí, Mati —continuó el gafotas —Todas las distancias son distintas. Es una regla de ésas.

—Efectivamente, chicos —corroboró ella —Es una regla de Golomb. Al número de marcas de la regla le llamamos orden de la regla. Ésta es una regla de orden 4. Y llamamos longitud de la regla a la diferencia entre la primera y la última marca. La nuestra es una regla de longitud 7. Aunque lo habitual es construir reglas de Golomb con una marca en el 0 y otra en el final. Ahora os pregunto, ¿podemos dibujar líneas de cualquier longitud entre 1 y 7 con esa regla?

Los niños se quedaron mirando la pizarra de Mati.

—Tenemos 1, 2, 3, 4, 6 y 7 … —mascullaba Sal —Nos falta el 5, Mati.

—Eso es, por eso esta no es una regla de Golomb perfecta. Las reglas de Golomb perfectas son las que nos permiten, usando las marcas en ella, medir cualquier distancia entre 1 y el total de la longitud de la recta. Os voy a dibujar una de longitud 6.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —Ven estaba entusiasmado.

—¡Vamos a construir otra regla perfecta, Mati! —pidió Sal muy emocionado.

—Bueno, bueno, Sal —trató de calmar Mati —No es nada fácil construir reglas perfectas. De hecho, no existen reglas de Golomb perfectas con más de 4 marcas.

—¿Seguro? —preguntó Ven desconfiado.

—Segurísimo —respondió Mati cómicamente —Se ha demostrado que no existen reglas de Golomb perfectas con más de 4 marcas.

—Vaya rollo… —se quejó el pequeño desilusionado.

—Pero se puede jugar a construir reglas de Golomb —lo animó Mati — aunque no sean perfectas. Aquí tenéis una regla de longitud 11 y unos rotuladores. Os reto a que construyáis una regla de Golomb con 5 marcas, señalándolas con el rotulador.

—Vale —aceptó Sal —¿Por qué se llaman así estas reglas? ¿Qué significa Golomb, Mati?

—Es el nombre de un matemático e ingeniero norteamericano, Solomon Golomb

—Oh, cuántas oes… —masculló Ven.

—Sí, es verdad, Ven —respondió Mati sonriendo —Como ha sido Golomb quién más ha popularizado estas reglas, se les ha dado su nombre.

—En realidad, su apellido… —puntualizó Sal.

—Sí su apellido —confirmó Mati —Pero antes que la construcción de las reglas de Golomb, otro matemático, húngaro, había planteado un problema similar, Simon Sidon.

—Simon Sidon —dijo Ven canturreando —¡Qué nombre tan gracioso!

—¿Y bien? —continuó Mati — ¿Os atrevéis a dibujar 5 marcas sobre esta regla de forma que sea una regla de Golomb?

Los niños cogieron la regla y el rotulador que Mati les ofrecía y se pusieron manos a la obra.

—La primera y la última hay que marcarlas, ¡eso está claro! —el pequeño Ven estaba intrigado.

—Sí, Ven… —respondió su hermano —Es lo que acaba de decir Mati…

—Si queréis, podéis usar mi pizarra para ir anotando las diferencias entre todas las parejas de marcas para comprobar que no se repita ninguna.

—Sí, gracias, Mati —respondió Sal —Entre la primera y la última, mide 11. Lo apuntamos.

—Ahora marca el 1, Sal, que sale 1 y 10. Ésas no están repetidas.

—Ahora el 2 no lo podemos marcar porque está a distancia 1 del 1… —pensaba Sal en voz alta —Marcamos el 3 y a ver qué pasa.

—¡Qué caña, Sal! —Ven abrazó a su hermano excitado —sólo nos falta poner una marca.

—Sí — respondió orgullos el gafotas — En el 4, no puede ser, porque se repiten el 3 que es la distancia al 1, y el 1 que es la distancia al 3…. En el 5 tampoco porque se repite la distancia 2 con el 3…

Sal y Ven escribían en la pizarra las distintas posibilidades para la cuarta marca que debían poner y marcando en rojo las distancia que se iban repitiendo.

—Probamos con el 6…nos sale el 3. Probamos con el 7… nos sale el 4 dos veces. El 8…tampoco. El 9… tampoco. Y el 10…¡TAMPOCO!

—¡Es imposible, Mati! —gritó Ven desesperado.

—¿Por qué? —respondió ésta —A lo mejor es que habéis puesto una que no es…

—Claro. Vamos a quitar el 3 y ponemos el 4, a ver qué pasa. A lo mejor nos equivocamos al poner el 3.

—¡Quita el 3, quita el 3! —Ven se estaba poniendo cada vez más nervioso.

—Vamos a ver dónde ponemos la quinta marca, Sal.

—El 5 no vale… el 6 tampoco…ni el 7…ni el 8… —Sal calculaba las distancias de las posibles marcas a las cuatro ya puestas y señalaba en rojo las que se repetían.

—Joooooo —El corazón de Ven se aceleraba cada vez más.

—¡El 9!¡El 9! —gritó Sal de repente.

—¡Oé, oé, oé! —Ven daba vueltas alrededor de Sal y Mati como quien celebra un gol.

—¡Bravo! Ya tenéis vuestra regla de Golomb de longitud 11 y con 5 marcas —Mati sonreía satisfecha.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola!¡CÓMO MOLA! —Ven no podía quedarse quieto de la emoción.

—¿Hacemos otra, Mati? —preguntó Sal nervioso.

—No, ahora, como veo que esto lo domináis tan bien. Os voy a proponer un reto más difícil, con grafos.

—¡Me gustan los grafos! —afirmó Ven.

—El problema similar al de las reglas de Golomb en grafos consiste en poner un número, una etiqueta en los vértices. Si dos vértices están unidos por una arista, a esa arista le ponemos como etiqueta la diferencia entre las etiquetas de los vértices, la mayor menos la menor. Pues bien, se trata de colocar numeritos en los vértices para que los números de las aristas vayan de 1 hasta el número total de aristas, sin repetirse y sin faltar ninguno. Si se puede hacer, a ese grafo se le llama grafo gracioso.

—¿Sí? ¡Qué gracia! —el pequeño Ven disfrutaba siempre con las invenciones de su amiga pelirroja.

—Ya veréis, este grafo es un grafo muy conocido, es el grafo de Petersen.

—Pues bien, chicos, este grafo es un grafo gracioso. Os atrevéis a poner las etiquetas.

—¡Vamos! —dijo Sal muy animado.

—Pon el 1 en el centro, Sal —animó Ven — y aquí arriba el 2.

—Vale, Ven, y esa arista tendrá 2 menos 1, etiqueta 1 —contestó su hermano.

—Aquí el 3, Sal —animaba el pequeño.

—No, porque entonces esa arista tendría 2 menos 3, 1, que ya está puesto —respondió Sal.

Los niños estuvieron dando vueltas al grafo poniendo y quitando números de los vértices de aquí y allá. Cuando comenzaban a desanimarse, Mati se ofreció a echarles una mano. Al cabo de un rato, ya habían etiquetado el grafo de Petersen como un grafo gracioso.

—¡Lo hemos conseguido, lo hemos conseguido! —el pequeño estaba entusiasmado.

—Éste era muy difícil, Mati —aceptó Sal.

—Sí, un poco más, pero es divertido, ¿no?

—Sí, es muy gracioso —dijo Sal con un guiño.

—Bueno, y ahora ¿queréis que os eche una mano con la construcción de vuestro cohete? —preguntó la gafotas.

—¡Sí! —contestó Ven que no llevaba muy bien trabajar a las órdenes de su hermano.

—¿Dónde pusiste el escalímetro, Ven?

FIN

Como ya se ha dicho antes, el problema de la construcción de reglas de Golomb fue planteado anteriormente por el matemático húngaro Simon Sidon, dando lugar a los conjuntos de Sidon que son lo mismo que la reglas de Golomb. Un conjunto de Sidon es un conjunto de números naturales con la propiedad de que la suma de cualquier pareja de éstos no se repiten. Los problemas relacionados tanto con conjuntos de Sidon como con reglas de Golomb no son nada sencillos de abordar. No hace mucho de hecho, dos matemáticos españoles fueron “noticia”:http://elpais.com/diario/2010/12/01/futuro/1291158001_850215.html por haber conseguido resolver uno de ellos.

Pues bien, si una regla de Golomb es perfecta cuando se pueden medir todas las distancias desde 1 hasta la longitud de la misma usando sus marcas, una regla de Golomb es óptima si es la más corta que se puede construir con ese orden, con ese número de marcas. Ya hemos contado que no existen reglas de Golomb perfectas con más de 4 marcas ¿Qué se sabe de las reglas de Golomb óptimas? Se han construido reglas óptimas de Golomb de hasta 26 marcas usando “computación distribuida”:http://www.distributed.net/Projects , es decir, utilizando un gran número de ordenadores trabajando a la vez. Si tienes interés en saber cómo va la búsqueda de reglas de Golomb ótimas con 27 marcas, lo podés ver “aquí”:http://stats.distributed.net/projects.php?project_id=27 y si te animas, puedes colaborar aportando tu ordenador a este proyecto de computación distribuida.

Antes de despedirme os voy a proponer algo que podéis intentar hacer en casa sin necesidad de muchos ordenadores, sin más que un lápiz y papel. Ya habéis visto cómo Sal y Ven han construido una regla de Golomb de longitud 11 con 5 marcas, (0, 1, 4, 9, 11) ¿Os atrevéis a construir una regla de Golomb de longitud 17 y 6 marcas? Te pongo las 2 primeras, sólo tienes que añadir 4.

¿Y una regla de Golomb de longitud 25 y 7 marcas? También te pongo las dos primeras, sólo faltan 5.

Ya me diréis en los comentarios dónde hay que colocar las marcas que faltan en estas dos reglas para que sean de Golomb.

Hasta pronto

MATI

—Ahora, 21 mililitros de colorante verde, Ven.

—Vaya, esta vaso de precipitado no tiene esa marca… pero yo creo que esto son más o menos 21 mililitros.

—¡¿Cómo que más o menos?! Pero, ¿qué clase de científico puede decir más o menos? Tienen que ser exactamente 21 mililitros, nada de más o menos, Ven.

—Es que no está marcado, Sal, y si esto son 25 mililitros —se defendió el pequeño Ven señalando con su dedito al vaso —por aquí, más o menos, debe ser 21 mililitros.

—¡Otra vez más o menos! ¿Sabes, Ven? ¿Sabes quién es el padre de la química moderna? —respondió Sal con vehemencia y añadió —Te lo diré yo que estoy en quinto y lo estamos estudiando.

Te lo diré yo que estoy en quinto —repitió Ven remedando a su hermano mayor.

—¿Quieres que te lo cuente o no? —respondió el gafotas.

—Venga, vale —aceptó Ven al que, en realidad, le encantaba aprender de su hermano.

—El padre de la química moderna era un francés llamado “Lavoisier“:http://laaventuradelaciencia.blogspot.com.es/2012/01/lavoisier-y-la-transmutacion-de-los.html que fue el primero que se dio cuenta de la importancia de medir todo muy, muy bien cuando hacían los experimentos.

—Efectivamente, Sal —Mati acababa de entrar — Descubriendo, gracias a sus mediciones meticulosas, que la masa no se crea ni se destruye, aunque la materia se puede transformar cambiando de estado.

—¡Hola, Mati! —saludó Ven con alegría.

—Hola, Mati —saludó Sal todavía un poco alterado con el más o menos de su hermano —¿Cómo se llama esa ley? No me acuerdo ahora.

Ley de conservación de la masa —respondió la pelirroja —¿Y cómo es que os encuentro hablando de Lavoisier?

—Porque estamos haciendo un experimento y Ven quiere poner las cantidades más o menos.

—¡Que no están marcadas en el vaso! —intervino Ven —Qué pesadito…

Sal miró a su hermano de reojo pero no dijo nada, entendía que siendo tan pequeño no llegase a comprender la suprema importancia de la precisión exigida en un experimento de tan elevado nivel. Gauss intentaba mantenerse al margen de la discusión, no tenía muy clara su postura. Fue Mati la que intervino para rasgar aquel silencio incómodo.

—Esto me recuerda…

—¡A un problema de matemáticas! —interrumpió Ven con alegría.

—Eso es —confirmó Mati con una sonrisa.

—¿Cuál? —preguntó Sal abandonando por un momento su experimento.

—Bueno, se trata de resolver un problema similar al que tenéis con el vaso. Pero con un “masu“:http://www.ohashiryoki.com/what-is-masu/index.html.

—¿¿Un qué?? —preguntaron los dos hermanos con las caritas arrugadas como pasas.

—Un masu es una caja cuadrada de madera, sin tapa, que se usaba tradicionalmente en Japón para medir las cantidades de arroz.

—¿Ya no? —preguntó Ven.

—No, ahora principalmente se usa para beber sake, que al fin y al cabo también viene del arroz, o para poner en la mesa la sal, la pimienta u otras especias —contestó Mati —Pues bien, vamos a usar este masu que tiene capacidad para 6 litros.

—Es precioso… —dijo Sal cuando Mati le mostró el masu de madera.

—Sí, lo es, lo compré en un viaje a Japón —dijo ella —Es de madera de ciprés, como los tradicionales.

—¿Qué tenemos qué hacer con esta cajita, Mati? —preguntó ven impaciente.

—Os lo cuento. Este masu, esta caja, tiene capacidad o volumen de 6 litros. Queremos usarla para vender agua, por ejemplo, a nuestros clientes que nos pueden pedir cualquier cantidad de litros. Pero vamos a suponer que sólo nos piden una cantidad de litros comprendida entre el 1 y el 6.

—¿Pueden pedir litro y medio? —quiso saber Sal.

—No, litros completos solamente —respondió la gafotas — Pero hay más reglas en el juego. El agua la sacamos de un depósito grande usando el masu, pero sólo podemos coger agua del depósito una vez, aunque sí podemos devolver agua al depósito cuantas veces queramos. Nuestro cliente, también traerá un masu de este tamaño y tendremos que llenarlo con lo que nos pida, ¿me explico?

—Te explicas —respondió Ven.

—Entonces, ¿cómo venderíamos un litro con estas reglas?

—Ven, antes de que hables —dijo Sal —No digas “un litro es más o menos esto”.

Ven entrecerró los ojos y miró a su hermano, con los labios apretados. Pero al momento, los dos le daban vueltas y vueltas al masu para encontrar, si existía, alguna marca en la cajita que sirviera de pista. Pero no, no había ninguna marca.

—Ni idea, Mati —acabaron aceptando los dos científicos.

—A ver, dejadme que os explique un poco de geometría. El volumen, o capacidad, de esta caja que es un paralelepípedo —dijo Mati mientras Ven arrugaba la cara tratando de repetir aquella palabreja — se calcula multiplicando el área de su base por la altura.

—¿Cuánto mide el área de la base de tu masu? —preguntó Sal.

—¿Y la altura? —añadió Ven.

—Esos datos no los vamos a necesitar, ya veréis, sólo necesitamos conocer el volumen, que en el caso de mi masu es de 6 litros.

—Mola —añadió el pequeño.

—Y bien, chicos, ¿cómo serviríais sólo un litro de agua al cliente sacando agua del depósito con este masu?

Los chicos dieron un par de vueltas más a la caja de madera buscando el truco, otra vez sin éxito.

—Nos rendimos, Mati —terminó aceptando Sal.

—Si llenamos el masu en el depósito, y lo volcamos vaciando el agua hasta que ésta quede alineada con uno de sus vértices, lo que nos queda es, exactamente, un litro. Así, como en este dibujo.

—¿Cómo la sabes, Mati? —preguntó Sal con los ojos de par en par.

—Vamos a calcularlo. El agua, así tal y como aparece en la figura, forma una pirámide, de base triangular ¿Sabéis la fórmula para calcular el volumen de una pirámide?

Los dos hermanos negaron con la cabeza. Gauss miró a otro lado.

—El volumen de una pirámide se calcula como el producto de la base, del área de la base, por su altura, divido por 3.

—En nuestra pirámide, la base es la mitad de la base del masu y la altura es la altura del masu. Si hacemos las cuentas, fijaos que sale.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —el pequeño Ven estaba entusiasmado.

—¡Qué chulo, Mati! —Sal también alucinaba con la solución.

—Me alegro de que os guste —dijo ella —¿Y 2 litros? ¿Cómo serviríais 2 litros?

—Muy fácil —comentó el gafotas —Basta con hacerlo 2 veces.

—¡MEC! ¡Error! —dijo Mati cómicamente — Sólo puedes sacar agua del depósito una vez. Las reglas son las reglas.

—Entonces, ¿cómo? —preguntó el pequeño.

—Os mostraré primero cómo obtener 3 litros que es más fácil —continuó la pelirroja —Para ello basta con inclinar la caja hasta hacerla coincidir con un lado de la misma, como en este dibujo.

—¡Toma, claro! —gritó de repente Sal —Eso sería la mitad del masu, que como tiene 6 litros, serían 3 litros, ¿no?

—Muy bien, Sal —respondió Mati.

Ven, con cara de orgullo, le puso el brazo a su hermano por los hombros.

—Y ahora, ¿sabéis cómo servir 2 litros?

Los niños se quedaron pensando un rato, cuchicheando entre ellos. De pronto, un grito ahogado de Ven anunció la respuesta de éstos.

—¡Lo tenemos, Mati! —anunció el pequeño moviendo los brazos arriba y abajo.

—Sí —corroboró su hermano —Cogemos el masu lleno, con 6 litros, vaciamos 3 en el depósito como nos has enseñado, alineando el agua con un lado de la caja. Entonces tenemos 3 litros en el masu. Ahora volcamos el agua en el masu del cliente hasta que nos quede 1 en el nuestro, como nos dijiste al principio, alineando con el vértice. Le habremos puesto 2 al cliente y el que sobra, de vuelta al depósito.

—Pero, bueno…¡qué chicos tan listos!

— Somos científicos, Mati, no te olvides… —dijo Ven con cara de pillín mientras su hermano lo volvió a mirar de reojo recordando su más o menos.

—No me cabe duda de que seréis unos grandes científicos —respondió la gafotas —¿Os atrevéis con 4 litros?

Otra vez los niños montaron su gabinete secreto de medidas, cuchicheando y perpetrando la medida.

—Si cogemos 6 del depósito…podemos soltar 3 en el masu del cliente como antes, alineando con el lado… —dijo Sal.

—Nos quedarían 3 en nuestro masu… —apuntó su hermano.

—¡Ya está, Ven! —gritó Sal —Volcamos nuestro masu en el depósito hasta dejar sólo 1 litro alineando con el vértice.

—¡TOMA, TOMA, TOMA! —dijo Ven antes de agarrar la cara de su hermano con sus manitas y zamparle un beso.

—¡Maravilloso! —Mati no podía dejar de sonreír observando la escena.

—¡Somos unos cracks! —gritó un Ven entusiasmado.

—Y 5 es muy fácil, Mati —dijo Sal —Basta llenar nuestro masu con 6 litros y vaciar el agua en el del cliente hasta que en el nuestro sólo quede uno y ya está.

—Muy bien, Sal, muy bien —Mati sonreía sin parar, orgullosa de sus científicos.

—Somos tan científicos como el francés ese —dijo Ven ufano.

—Bueno, bueno… —dijo Sal —Lavoisier además de medir todo muy bien medido, fue el descubridor del oxígeno, ¿eh?

—Efectivamente —confirmó Mati —aunque hay que decir que fue gracias a los experimentos de “Joseph Priestley”:http://recuerdosdepandora.com/ciencia/quimica/joseph-priestley-el-hombre-que-descubrio-el-oxigeno/

—¿El cantante de rock todo moderno? —preguntó Ven.

—¡Jajajajajajajaja! —Mati no pudo reprimir la carcajada —No, cielo, el todo moderno era Elvis Presley, Priestley fue, entre otras cosas, un químico inglés del siglo XVIII.

Ven se enfurruñó ruborizado por su flagrante confusión. Sal, intentando desviar la conversación propuso:

—¿Seguimos con los experimentos, Ven?

—Vale —dijo el pequeño y se dirigieron a su laboratorio.

—¡¡¡Oh, no!!! —gritó de pronto Sal —¿¿Qué has tomado, Gauss??

FIN

¿Qué? ¿Os han gustado los acertijos de medidas con el masu? Ahora os propongo otro con jarras de agua:

Dispones de tres jarras grandes con capacidades de 3, 5 y 8 litros. La jarra de 8 litros está llena de agua. Tu tarea consiste en medir exactamente 4 litros de agua. No dispones de otros recipientes para trabajar y los recipientes no tienen marcas que indiquen fracciones.

Estaré por aquí esperando vuestras respuestas en los comentarios.

Y si os queréis fabricar vuestro propio masu de papel, podéis aprender cómo en este enlace. Y si no os dejan en casa experimentar las medidas del masu con agua, podéis hacerlo con arroz.

Hasta pronto.

MATI

—No, Ven, tú compartirás con algún amiguito tuyo, yo voy a dormir con Fran.

—Pero yo soy tu hermano y te quiero más.

—Ya lo se pero tú y yo compartimos habitación todas las noches, Ven. No te enfades, pero me gustaría dormir con un amigo mío, tú podrás dormir con alguno de los tuyos.

—Es que creo que te echaré de menos, Sal…

—Y yo a ti, pero sólo serán dos noches. Después volvemos a casa y volvemos a dormir en la misma habitación, ¿vale?

—No vale, yo prefiero dormir en el mismo cuarto que tú.

—Vaya, parece que estos niños preparan alguna aventura… —Mati acababa de llegar.

—¡Hola, Mati! —saludó Sal con alegría.

—Mati, Sal no quiere compartir habitación conmigo en Sierra Nevada —dijo Ven con voz de pena.

—Pero Ven, si vais de excursión, deberías aprovechar para dormir con algún amiguito, con Sal compartes siempre.

—Eso le he dicho yo, Mati. Además, Ven, a ti te encantan las fiestas pijama, sería como hacer una minifiesta pijama con un amigo tuyo.

—Toma, eso mola —Ven volvió a sonreír.

—Uy, esto me recuerda a un problema muy bonito… —comenzó a decir la pelirroja.

—¡¡De Matemáticas!! —gritaron al unísono los niños y se sentaron en el suelo dispuestos a escuchar a Mati.

—Creo que no voy a tener más remedio que contarlo…—dijo Mati con falso y cómico fastidio.

—¡Sí! —respondió enérgicamente Ven.

—Allá voy. Supongamos que 20 niños van de excursión y tienen que compartir habitación por parejas. Cada uno elige con quién compartir su habitación, pero puede ocurrir que haya conflicto porque haya varios niños que quieran compartir, por ejemplo, con la misma persona. ¿Cuál es la forma más eficiente de resolver este conflicto?

—¿Con una moneda? —preguntó Ven.

—Escribiendo los nombres de todos los niños en un papelito, se echan todos en una bolsa y cada uno coge uno. Si sale su propio nombre, lo echa en la bolsa y coge otro.

—¿Y si el último coge su propio nombre? —preguntó el pequeño.

—Empezamos de nuevo —repuso el gafotas.

—Eso puede tardar mucho… —se quejó Ven.

—Sí —afirmó Mati —y además puede que compartan habitación dos personas que no quieran estar juntas, porque aunque el sorteo sea justo, no está teniendo en cuenta las preferencias de los niños.

—Entonces, ¿cómo se hace, Mati? —quiso saber Sal.

—Ya veréis. Cada niño entrega al monitor encargado de asignar las habitaciones una lista con los nombres de sus 19 compañeros, ordenados por orden de preferencia para compartir. Éste, el monitor, tiene que conseguir los emparejamientos de forma estable. Es decir, si Eva prefiere a Mati antes que a Ana y Mati prefiere a Eva antes que Pepe, no puede ocurrir que haga estas parejas: Ana con Eva y Mati con Pepe. A esto lo llamamos emparejamiento inestable, porque Eva y Mati intentarán cambiar de parejas en cuanto puedan ¿Me explico?

—Creo que sí, Mati —dijo el gafotas sin levantar demasiado la voz — Si las dos quisieran estar juntas antes que compartir con los que les ha tocado, se llama inestable, ¿no?

—Eso es —respondió ella.

—Hay que conseguir que nunca ocurra esto, que dos personas prefieran estar juntas antes que con sus respectivos compañeros asignados, ¿me explico?

—Sí, Mati. Pero si no te asignan el primero de tu lista, siempre lo querrás por encima del que te toque, ¿no? —preguntó el gafotas.

—Claro, pero si tu primer candidato no te ha puesto a ti antes que al que le han asignado, se considera estable.

—¿Y cómo se hace? —preguntó el pequeño.

—Os voy a enseñar un método, que diseñó un señor, “Robert Irving”:http://www.dcs.gla.ac.uk/~rwi/. Pero en lugar de hacerlo con 20 niños que sería muy largo, os lo explico con 6, ¿vale? Vamos a escribir en la pizarra los 6 nombres de los niños y sus listas de preferencias. Ya tenemos cuatro nombres, añadimos dos más, Sal y Ven, ¿qué os parece?

Los niños sonrieron y asintieron.

—Ahora, hacemos una primera asignación de parejas como sigue. Cada uno, por orden, le propone compartir cuarto al primero de su lista, mientras nadie se lo haya propuesto antes. Empieza Ana…

—Que se lo propone a Mati —Sal termina la frase.

—Eso —aceptó la gafotas.

—Y ahora Eva se lo propone a Ven, o sea, a mí —dijo el pequeño con sonrisa pícara.

—Muy bien, chicos. Seguimos: Mati se lo propone a Eva, Pepe se lo propone a Sal, Sal se lo propone a Mati, pero, ¡un momento! A Mati ya se lo había propuesto Ana.

—¿Qué hacemos, Mati? —preguntó Ven.

—Miramos la lista de Mati y descubrimos que ella prefiere a Sal antes que a Ana, así que Mati rechaza a Ana y acepta, por ahora, la propuesta de Sal. Por lo tanto, Ana, tiene que hacer otra propuesta, que se la hará a Pepe, que es el segundo en su lista. Y seguimos con Ven que se lo propone a Sal. Pero A Sal y se lo había propuesto Pepe, y como Sal prefiere a Pepe se queda con él y Ven elige al segundo de su lista.

—No te enfades, Ven, es un ejemplo —le dijo el gafotas a su hermano que estaba muy enfurruñado mientras le echaba un brazo por los hombros.

—Claro, Ven, es un juego —dijo Mati —Ya tenemos la primera asignación.

—¿Hemos terminado, chicos?

—Que va, Mati, así no sirve —contestó Sal.

—Efectivamente, ese emparejamiento no sirve, debe ser uno formado sólo con 3 parejas diferentes. Vamos a arreglarlo buscando, como decía Irving, rotaciones.

—¡¡¿¿Cómo??!! —preguntaron los niños.

—Ya veréis. Busco la primera pareja que no tenga a su simétrica en la esta asignación: (Ana, Pepe). Porque no está (Pepe, Ana), ¿verdad?

—Verdad —repuso Ven.

—Buscamos el siguiente a Pepe en la lista de preferencias de Ana, y miramos quién le ha propuesto compartir.

—El siguiente de Pepe en la lista de Ana es Eva —dijo Sal —y se lo propuso Mati, o sea tú.

—Muy bien, ésa será nuestra segunda pareja, (Mati, Eva) —contestó ella —Buscamos el siguiente a Eva en la lista de Mati y quién se lo propuso.

—El siguiente de Eva para Mati es Pepe y se lo propuso Ana —contestó alegremente Ven.

—Nos volvemos a encontrar con la pareja del principio, ¿no? Pues ya podemos hacer una rotación —concluyó Mati.

—Intercambiamos los segundos nombres, moviendo una posición hacia adelante cada nombre blanco. Irving demuestra que esto no crea nunca parejas que inestables. Y tenemos una segunda asignación. Repetimos el proceso, buscando una rotación.

—Déjame que yo lo diga, Mati —pidió con vehemencia el gafotas.

—Adelante, caballero —respondió Mati cómicamente.

—Miramos la primera pareja, (Ana, Eva). Como no existe (Eva, Ana), nos vale. Ahora buscamos el siguiente de Eva en la lista de Ana, que es Ven, y vemos quién le propuso compartir a Ven, que fue Eva. La segunda pareja para la rotación es (Eva, Ven). Tenemos que seguir hasta llegar a (Ana, Eva)…

—Sigo yo —interrumpió su hermano —Buscamos el siguiente de Ven en la lista de Eva, que es Sal. Busco quién se lo ha propuesto a Sal…es Pepe. La siguiente pareja es (Pepe, Sal).

—En la lista de Pepe, después de Sal —continuó el gafotas —es Eva, que se lo propuso Ana. Ya está, ya hemos llegado a (Ana, Eva)

—Pero, bueno, bueno, bueno…Qué rápido habéis entendido el método —Mati estaba muy orgullosa —Vamos a rotar los nombres blancos, moviéndolos una posición.

—¿Seguimos, chicos?

—¡Sí! —respondieron Sal y Ven al unísono.

—Pues, venga, aquí tenéis la nueva asignación después de la rotación que acabamos de hacer.

—Miramos la primera pareja, (Ana, Ven) —comenzó a hablar el gafotas — Como ahora sí que tenemos la pareja (Ven, Ana), pasamos de ella. Tomamos la siguiente pareja, (Eva, Sal). Ésta sí nos vale porque aún no tenemos la pareja (Sal, Eva) y buscamos el siguiente a Sal en la lista de Eva que es…Pepe, que le propuso compartir…Mati. La siguiente pareja de la rotación es (Mati, Pepe).

—Buscamos el siguiente de Pepe en la lista de Mati… —continuó su hermano —que es Sal…que se lo propuso Eva y …¡ya está! Apareció la pareja (Eva, Sal) del principio, ¡podemos rotar!

—¡Muy bien! —Mati estaba realmente entusiasmada —Ya tenemos otra nueva asignación.

—¡Toma, toma, toma! ¡Lo hemos conseguido!¡Lo hemos conseguido! —el pequeño Ven abrazaba a su hermano preso de la euforia.

—¡Es maravilloso, Mati! —al gafotas le brillaban los ojitos.

—Sí, lo es. Y con este método de las rotaciones es imposible que aparezcan parejas inestables, de las que dijimos al principio.

—¡Ese Irving como mola! ¡Se merece una ola! —Ven alzaba sus brazos, Gauss intentaba escapar de los abrazos de su dueño.

—Pues sí, Irving y su método molan —siguió diciendo Mati —pero el problema no siempre tiene solución, ¿eh?

—Entonces… —la cara de Ven perdió luz instantáneamente.

—Es que este problema, no siempre tiene solución. Vamos a verlos ocn un ejemplo muy sencillito. Nos quedamos con los cuatro niños del principio: Ana, Eva, Mati y Pepe. Los dibujamos aquí y también sus listas de preferencia.

—Pues bien, en este caso no hay solución, las tres posibles distribuciones de los niños en 2 habitaciones es inestable.

—Pobre Ana, todo el mundo la ha puesto la última —se entristeció Ven.

—Es sólo un ejemplo, Ven —le intentó consolar su hermano —Quizás Ana es una pegona abusona.

—No lo parece, Sal —respondió Ven cada vez más triste.

—Que es un ejemplo, Ven, no te preocupes —el gafotas siguió insistiendo.

—Es cierto, Ven —intervino Mati —es sólo un ejemplo para explicaros que a veces, este problema no tiene solución. Pero si la tiene, el método de Irving la consigue, y si no la tiene, también el método de Irving te lo hará saber, bien porque no puedes hacer una asignación inicial, bien porque salen cadenas de rotación raras. Pero, mira, si lo hacemos con conjuntos separados, siempre hay solución. Si separamos por ejemplo, por un lado los chicos y por otro las chicas, y hacemos habitaciones de chico y chica, siempre tiene solución.

—Pero así es un rollo, Mati, ¿no? —protestó el gafotas —Obligarte a compartir con una chica, o con un chico, es un rollo.

—Tienes razón, Sal —respondió Mati — En estos tiempos, ya no tiene sentido clasificar en función del sexo. Vamos entonces a contar el problema con príncipes y princesas de un reino fantástico muy lejano. Éste es un problema diferente, pero parecido al de los compañeros de cuarto, que se conoce como el problema del matrimonio estable.

—¿Cómo es? —al pequeño Ven se le había pasado la pena al oír que Mati les ia a proponer otro problema.

—Ahora tenemos 4 príncipes y 4 princesas. Las princesas tienen que elegir pareja entre los príncipes pretendientes.

—¿Qué es pretendiente, Mati? —preguntó Ven.

—En este caso, un pretendiente de una princesa es alguien que aspira al matrimonio con ella. Pues cada uno de los príncipes ordena a las princesas del 1 al 4, según sus preferencias y cada una de las princesas tiene ordenados del 1 al 4 a los príncipes, de la misma manera. Pues bien, si el número de príncipes y princesas es el mismo, este problema siempre tiene solución.

—¿Seguro? —preguntó el gafotas con desconfianza.

—Seguro, lo demostraron en 1962 dos señores, “David Gale”:http://en.wikipedia.org/wiki/David_Gale y “Lloyd Shapley”:http://en.wikipedia.org/wiki/Lloyd_Shapley. El método para resolverlo es usar la sólo la primera fase, la de la primera asignación de Irving, no serán necesarias hacer las rotaciones.

—¡Cómo mola! —el pequeño Ven estaba de nuevo emocionado.

—Vamos a verlo con un ejemplo. Escribimos las listas de preferencias de 4 princesas y 4 príncipes. Las princesas, por orden, van a proponer matrimonio al primero de su lista mientras éste esté libre.

—Comenzamos. La princesa 1 propone matrimonio al príncipe 2; la princesa 2 propone matrimonio al príncipe 1, la princesa 3 propone matrimonio al prínicipe 2…¡Ojo! El príncipe 2 ya estaba pedido por la princesa 1.

—¿Qué hacemos Mati? —preguntó el pequeño preocupado.

—Miramos a quién prefiere el príncipe 2 según su propia lista —intervino el gafotas —Como hacíamos con los compañeros de cuarto.

—Efectivamente —corroboró Mati —Y descubrimos que en la lista del príncipe 2, la princesa 3 es preferida a la princesa 1. En esta caso, el príncipe 2 rechaza la oferta de la princesa 1 y se va con la princesa 3. La princesa 1, por lo tanto, tiene que proponer matrimonio a otro príncipe de su lista, al siguiente del 2…

—O sea, el 3 —dijo Ven con cómica suficiencia.

—Muy bien, chicos. Es el turno de la princesa 4, que elige al primero de su lista, el príncipe 3 pero, ¡ojo!,que está ya comprometido con la princesa 1.

—Ya —intervino Sal — pero si miramos en la lista del príncipe 3, él prefiere a la princesa 1, así que se queda con ella.

—Eso es —asintió Mati —Ahora la princesa 4 propone matrimonio al siguiente príncipe de su lista, esto es, al príncipe 2.

—El príncipe 2 está con la princesa 3 —dijo Ven —Y además, en su lista el prínicipe 2 prefiere a la princesa 4 así que rechaza a la princesa 3 y se va con la 4.

—¡Muy bien! —Mati sonrió satisfecha — La princesa 3 tendrá que hacer una nueva propuesta de matrimonio, al siguiente del príncipe 2 en su lista que es el príncipe 1.

—Que está ya con la princesa 2 —afirmó Sal.

—Sí —continuó Ven —Pero resulta que en la lista del príncipe 1 la princesa 3 está antes que la 2, así que se va con la princesa 3…¡Esto no va a terminar nunca!

—Claro que termina, Ven —Mati sonrió y alborotó el pelo del apasionado Ven. — Ahora es la princesa 2 la que, al ser rechazada por el príncipe 1 tiene que proponer matrimonio al siguiente del 1 en su lista que es el príncipe 3.

—¡Ajajá! Te lo dije, que está con la princesa 1 —dijo el pequeño con cansancio.

—Sí, Ven —respondió su hermano —Pero el príncipe 3 se quedará con la princesa 1 que es la primera de su lista, entonces la princesa 2 se lo propondrá al prínicpe 4 ¡que está libre! ¡Ya están las 4 parejas!

—¡Toma, toma, toma! —Ven levantaba y bajaba los brazos de alegría —¡Me encanta, Mati!

Matí sonrió viendo la cara de entusiasmo de los dos hermanitos.

—Ya os dije que con el mismo número de príncipes y princesas siempre tenía solución.

—¡Es chulísimo, Mati! ¡Chulísimo! —Sal estaba alucinando.

—Bueno, Sal, está bien. Yo compartiré con Pablo en la excursión. Así podremos charlar de nuestras cosas —dijo Ven haciéndose el interesante y tratando de intrigar a su hermano.

—Claro, Ven, es lo mejor. Y yo te echaré tanto de menos que estaré deseando volver a casa para volver a dormir contigo —Sal abrazó a su hermano que le correspondió con fuerza.

Mati contemplaba la escena llena de ternura mientras Gauss… ¿dónde se habría metido Gauss?

FIN

Los dos problemas que hemos tratado de explicar en nuestro capítulo de hoy son dos problemas bien conocidos en “Combinatoria”:http://es.wikipedia.org/wiki/Combinatoria y “Teoría de Juegos”:http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos. El primero de ellos se conoce con el nombre de el problema del compañero de cuarto estable (stable roommates problem) y no siempre tiene solución como acabamos de ver. el algoritmo propuesto Por Rob Irving nos permite saber si existe solución y, en caso afirmativo encontrarla. Este algoritmo como acabamos de ver, está dividido en dos fases: en la primera de ellas se hace una asignación y en la segunda se buscan las cadenas de rotación. Pues bien, para el segundo problema que hemos contado, el de las princesas y los príncipes, conocido como el problema del matrimonio estable (stable marriage problem) sólo es necesaria la primera de las fases del algoritmo de Irving. Este segundo problema, el del matrimonio estable siempre tiene solución, si el número de príncipes es el mismo que el número de princesas. Para jugar con este segundo problema, podéis probar “aquí”:http://mathsite.math.berkeley.edu/smp/smp.html.

Hasta pronto.

MATI

—Vaya caras de susto que has puesto, Ven –dijo Sal en tono de burla.

—¿Yo? ¿Yo? —replicó el pequeño –. No he tenido miedo en ningún momento, campeón.

—Anda que no –respondió el gafotas con sorna.

—Te repito que no, Sal –insistió Ven —No me ha dado nada de miedo, ¿cómo puede dar miedo una en blanco y negro?

—Huy –Mati acababa de llegar –, será que no has visto Nosferatu

Mati20Min_51p

—Hola, Mati –la saludó el mayor –. Hemos visto King Kong y Ven tenía una cara de susto…

—Nonononono, Sal –se quejó Ven –… Eres un pesado, gafotas.

—Yo también me asusté con King Kong –interrumpió Mati tratando de desviar la atención –, pero es una película muy tierna y, sobre todo, me gusta mucho porque se ve Manhattan…

—Eso es verdad –la apoyó Sal en el discurso que se había dado cuenta de que se había pasado molestando a su hermanito —¿Te acuerdas de cuando fuimos a Manhattan a ver el Momath, Ven?

—Sí –contestó el pequeño aún muy serio.

—Qué suerte tienen los niños de Manhattan de tener un museo de mates tan molón, ¿verdad, Ven? —preguntó Sal de nuevo.

—Ajá –respondió Ven sin mirar a su hermano.

—Me encantaría ir otra vez a Nueva York –suspiró el gafotas –. A ti también, Ven, ¿verdad?

—Puede –dijo el pequeño mirando por el rabillo del ojo a Sal.

—Pues además de un museo de mates molón –intervino Mati –, Manhattan tiene una distancia propia.

—¿¿Una distancia propia?? —preguntó Sal mientras sus gafitas resbalaban por su nariz. Ven seguía serio pero ya había girado la vista hacia la pelirroja, Gauss resopló con alivio porque sabía que Mati los iba a tener entretenidos un rato.

—Sí –confirmó ella –, la distancia Manhattan.

—¿Qué es la distancia Manhattan? —quiso saber Sal.

Ya lo contamos un día que vosotros habíais salido a jugar –contestó Mati –, pero os la explico en un momento. Habitualmente, cuando queremos saber la distancia entre 2 puntos, lo que hacemos es medir con una regla, un metro… el segmento que los une, ¿no?

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—Toma, claro –dijo Ven – ¿Cómo lo vas a hacer si no?

—De muchas otras formas –dijo Mati –, pero digamos que la más usual es esa, y en ese caso lo que estamos haciendo es calcular o medir la distancia euclídea. Pero hay otras formas de medir distancias, y la distancia Manhattan es solo una de ellas.

—¿Cómo mide la distancia entre 2 puntos la distancia Manhattan? —preguntó el gafotas.

—Caminando por una cuadrícula, como es, aproximadamente, el plano de Manhattan –respondió Mati –. La distancia entre 2 puntos es la longitud del camino más corto formado por segmentos horizontales y verticales, que una a los dos puntos. Y hay muchos caminos con esta propiedad.

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—Pero, Mati –preguntó el pequeño –, si tomas distintos caminos, la distancia puede variar…

—No –dijo ella –, todos los caminos que podáis pintar sobre un papel cuadriculado uniendo 2 puntos, tienen la misma longitud. fíjate en nuestro dibujo anterior, todos miden 19.

—Cómo mola… —dijo Ven.

—Pero, ¿para qué sirve medir así, Mati? —preguntó Sal –Todo el mundo sabe que la distancia más corta entre 2 puntos es la línea recta.

—Sí, pero ¿qué pasa si la línea recta que une a 2 puntos en una ciudad atraviesa varios edificios? —preguntó ella –La distancia Manhattan es más real a la hora, por ejemplo, de diseñar rutas en ciudades.

—Es verdad… —dijo Ven con la boca abierta.

—Y además —continuó Mati —como ofrece distintas rutas, podemos escoger la que tenga menos semáforos, la que pase cerca de la casa de la chica que os gusta…

—¡Mola! —gritó Sal ruborizándose inmediatamente.

—Pero –continuó Mati –, con la distancia Manhattan pasan otras cosas muy curiosas, ¿queréis que os cuente alguna?

—¡¡Sí!! —respondieron los niños al unísono.

—A ver –comenzó Mati —¿cuáles son los polígonos con menos lados que podemos dibujar?

Los niños se quedaron un rato pensando hasta que Sal dijo:

—Los triángulos, con menos de 3 lados no se puede encerrar una región, ¿no?

—Eso es –confirmó ella –. Pues con la distancia Manhattan se pueden dibujar polígonos de solo dos lados, los llamaremos… no sé… biláteros.

—Pero, vamos a ver, Mati –gritó Ven –, ¡eso es imposible!

—No, no lo es –contestó ella –. El truco está en que entre dos puntos, con la distancia Manhattan, hay infinitos segmentos distintos, si llamamos segmentos a los caminos de longitud mínima que unen los dos puntos. Por lo tanto, si tenemos 2 puntos y elegimos dos segmentos de la distancia Manhattan distintos que los unan, tenemos un polígono de 2 lados, que encierra un área.

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—Cómo mola… —el pequeño no podía cerrar la boca que se le había desencajado.

—Yo no veo que haya infinitos caminos de la misma longitud —dijo el gafotas.

—Pues sí —respondió la pelirroja —, porque puedes cambiar la cuadrícula al tamaño que quieras…

—Ah, vale —aceptó el gafotas.

—Pero además —continuó Mati —, pueden existir biláteros con los mismos vértices con los lados con la misma longitud y totalmente diferentes…

—Sí, hombre… —dudó el pequeño.

—Mira el siguiente dibujo —le pidió Mati —A la izquierda tenemos un bilátero de lado 2, es la única forma de dibujar un bilátero con esa longitud de lado entre dos puntos. Pero después, tenemos dos biláteros de lado de longitud 8, absolutamente diferentes.

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—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —gritó Ven.

—¿Cuántos biláteros distintos de lado 8 se pueden dibujar? —preguntó Sal.

—Mira —dijo Mati —, esa es una buena pregunta, a ver si la respondéis. Podéis empezar por calcular cuántos biláteros distintos hay de lado 4, luego de lado 5…

Los niños dejaron de escuchar a Mati y se pusieron a dibujar biláteros en un papel cuadriculado.

Y tú, ¿te atreves a contarlos? Puedes dejar tu respuesta en los comentarios :)