Anteriormente en Mati, una profesora muy particular…

–¡Toma, toma, toma! ¡CÓMO MOLA! –a Ven se le salían los ojos de las órbitas.

–¡Me encanta, Mati! –Sal estaba también entusiasmado.

–Pues aún hay más…–respondió ella con tono de misterio –pero ésas la dejaremos pendientes… Ahora vamos a dar un paseo por la playa

En el capítulo de hoy…

—Mira, Sal, el tobogán, ¿nos tiramos? —preguntó Ven animado —Parece muy emocionante, mira cuánta pendiente tiene…

—No, no tiene tanta pendiente, Ven, es casi como el del parque de nuestra casa. No seas exagerado…

—Que no, Sal, que este tiene más pendiente —insistió el pequeño.

—¿Cómo lo puedes saber? —preguntó su hermano mirando por encima de sus gafotas.

—Espera, que me tiro y te lo digo —dijo Ven y salió corriendo al tobogán.

Mati, Sal y Gauss se quedaron esperando la opinión del experto que volvió en pocos minutos sonriente.

—Me he quemado el culete, estaba muy caliente —dijo éste —Pero tiene la misma pendiente, he sentido las mismas cosquillitas en la barriga.

—Bueno, bueno —intervino la pelirroja sonriendo —Es una escala de medida bastante original, pero si queréis os cuento cómo se puede medir exactamente una pendiente.

—¡Sí, Mati! —dijeron los dos hermanos a la vez, Gauss se tumbó panza arriba para tomar el sol.

—La pendiente del tobogán, es la pendiente de la recta que lo representa —comenzó a hablar Mati.

—¡Toma, rectas! ¡Mola! —interrumpió Ven.

—Sí, para eso también sirve conocer las rectas —dijo Mati y continuó guiñando un ojo—Ya veis que son muy interesantes… Pues bien, vamos a usar para explicarlo una recta y lo hacemos con un dibujo, ¿vale?

Mati sacó su cuaderno y dibujó una recta que pasaba por los puntos A y B de coordenadas (1,1) y (4,3), respectivamente.

—Ésta es la recta de antes, ¿verdad, Mati? —preguntó Sal.

—¡Ajá! Voy a usar la misma porque vamos a ver nuevas ecuaciones de la recta —dijo Mati —Cuando queremos calcular la pendiente de una recta, lo que estamos tratando de medir es el ángulo que forma con el suelo, como cuando medimos la pendiente del tobogán. Nuestro suelo es el eje de las x, donde medimos la primera coordenada.

—Pero fijaos que este ángulo, esta elevación es la misma que si el suelo estuviese a la altura del punto A —continuó la gafotas.

—¡Toma, toma, toma! ¡Claro! —gritó Ven sobresaltando a Gauss en su baño solar.

—¿Cómo medimos el ángulo, Mati? —preguntó Sal.

—En realidad, cuando hablamos de la pendiente de una recta no medimos el ángulo como tal, sino una cantidad propia del ángulo, que es la tangente de dicho ángulo —respondió ella.

—¿Qué es la tangente? —quiso saber Sal.

—Bueno, es una característica que nos permite identificar a un ángulo sin saber cuánto mide —comenzó a decir Mati —pero nos ayuda a determinar su inclinación. Para ello, vamos a medir la distancia en vertical entre los dos puntos A y B, y la distancia en horizontal entre los 2. Fijaos, tenemos un triángulo rectángulo, como en el Teorema de Pitágoras, ¿os acordáis? —les preguntó la pelirroja.

—¡¡Sí, sí!! ¡¡Con los catetos!!

—Eso es, Ven. Pues la tangente del ángulo que queremos se calcula dividiendo entre sí la longitud de los catetos —continuó Mati —Dividimos el cateto que no toca al ángulo por el cateto que si la toca.

—Que en nuestro caso particular sería…

—Pero, Mati —dijo Sal pensativo —Los catetos miden lo mismo que las coordenadas del vector AB, ¿no?

—Efectivamente, cielo —Mati se sorprendió alegremente —Si conocemos el vector de la recta, la pendiente de ésta se calcula dividiendo la segunda coordenada del vector por la primera coordenada del mismo. Nos ha salido positiva porque el ángulo que forma es menor que 90º, agudo. Eso significa que la recta va subiendo cuando nos movemos hacia la derecha. —siguió Mati —Pero cuando el ángulo es obtuso, mayor de 90º, la pendiente será negativa y la recta irá bajando cuando nos movemos la derecha también.

—¡Toma, toma, toma! ¡La del tobogán es negativa porque cuando vamos hacia adelante, el tobogán va bajando!—como siempre Ven estaba estusiasmado.

—¡Exacto! Pues aún hay más —siguió nuestra amiga matemática —Conociendo un punto de la recta, por ejemplo A y la pendiente, m, podemos calcular otra ecuación de la recta: la ecuación punto-pendiente.

—¡Hala, qué suertudas las rectas! —dijo Ven —Tiene un montón de ecuaciones…

—Pues no se vayan todavía, aún hay más —dijo cómicamente Mati —Vamos a dejar sola a la y en el miembro de la derecha…

—¡Otra! —dijo Sal con sorpresa.

—A esta nueva ecuación de la recta, en la que se expresa el valor de la coordenada y de un punto en función de x, se le llama ecuación explícita de la recta.

—Ésa ya la vimos, ¿no, Mati? —preguntó Ven.

—No, no. La que vimos fue la ecuación implícita. Pero ya veréis, hacemos lo mismo con la ecuación implícta de la recta, es decir, dejamos a la y sola en el primer miembro… —Mati continuó con voz de misterio.

—¡Toma! ¡Sale lo mismo! —se asombró el pequeño.

—Claro, pero aún hay más… —continuó Mati —¿Qué número multiplica a la x?

—¡2/3! -dijo Sal —¡La pendiente!

—¡Eso es! —corroboró ella — Por lo tanto, podíamos conocer la pendiente simplemente despejando la y en la ecuación implícita y saber si la recta se inclina hacia arriba o hacia abajo. Si tenemos la ecuación explícita de una recta, la pendiente de la misma es el número que multiplica a la x, es decir, el coeficiente de x en la ecuación explícita.

—Pues a nuestra mascota… —dijo Ven mirando a Gauss todo despatarrado en la arena —No le va lo de las pendientes, prefiere estar tumbado…

—¡Punto mío!

—¿Qué dices, Ven? ¡Ha dado en la línea! ¡Eso es dentro!

—¿¿Dentro?? De eso nada, Sal, ha dado fuera de la línea.

—Ha dado sobre la línea —dijo Sal muy seguro, tranquilo y convencido.

Gauss miraba fijamente la línea tratando de posicionarse en aquella discusión. Pero no lo tenía tampoco muy claro. Al fin y al cabo, adoraba a sus dos dueños y no le gustaba tomar partido. Mati se dejaba querer por el sol y la brisa marina pensando en teoremas y conjeturas.

—Que sí, que ha dado sobre la línea, ¿lo ves? —dijo Sal sin perder los nervios.

—No, Sal, ¡ésa es una marca antigua! —Ven estaba cada vez más rojo y nervioso. Se le empezaba a rizar el pelo, no se sabe muy bien por qué.

—Huy, qué acalorados estáis, chicos —Mati salió de su ensoñación matemática—¿Qué os pasa?

—Nada, Mati —dijo Sal —Sólo que Ven está tratando de hacer trampas…

—Nada de eso, Mati —interrumpió el pequeño muy excitado —Ha dado fuera de la línea, ¡punto mío!

—Que no, Ven, pesado, que ha dado sobre la línea —insistió el gafotas.

—¿¿Estás de broma?? ¡La bola no entró! —Ven estaba cada vez más enfadado, casi tira la raqueta al suelo, pero no lo hizo porque era un regalo de sus abuelos y no quería romperla.

—Entiendo… —añadió la pelirroja tratando de buscar una salida a aquella situación —Todo depende de decidir si el punto donde la bola tocó el suelo estaba sobre una línea o no…

Mati se quedó cómicamente pensando, los niños la miraban esperando, cada uno por su lado, que le diera la razón. Gauss miraba al mar…

—En Matemáticas es mucho más fácil saberlo, ¿sabéis? —comenzó a decir Mati —Se trata simplemente de usar una ecuación.

—¡Toma! Nosotros ya sabemos ecuaciones, Mati —dijo el pequeño con alegría —Nos enseñaste el otro día.

—Es cierto, Ven —respondió Mati —pero las ecuaciones de las que os hablo, son un poco diferentes, aunque también muy sencillas.

—¿Por qué son diferentes, Mati? —preguntó inmediatamente Sal.

—Porque, por ejemplo, en estas ecuaciones, no hay una sola letra misteriosa, o incógnita, la x —dijo Mati —sino que aparece con una de sus mejores amigas, la y, que también va de incógnita.

—Hum, interesante… —añadió Ven —Así que tenemos dos sospechosas…

—Sí y no —contestó ella.

—¿Sí y no? —Sal estaba cada vez más intrigado y entregado.

—Veréis en realidad de lo que se trata es de saber si un punto está o no sobre la línea o recta, que a los matemáticos nos gusta llamar rectas a las líneas rectas, porque hay otras líneas que son curvas —Mati hizo una pequeña pausa y continuó —Para ello lo que solemos hacer es dar una ecuación de la recta, que es, podríamos decir, como una contraseña que deben cumplir los puntos para estar sobre ella.

—¿No hay sospechosos entonces, Mati?

—No exactamente, Ven —continuó la gafotas —No se trata de desenmascarar a x y la y para conocer su valor como hicimos con las ecuaciones del otro día, sino comprobar si el punto que elijamos cumple la ecuación (la contraseña) para estar en esa recta.

Los niños seguían mirando a Mati con los ojos brillantes con las raquetas en ristre, esperando que ella continuara contándoles aquella historia de contraseñas para pertenecer al club de la recta. Gauss se echó a dormir aprovechando que no tenía que ir a buscar las bolas cuando éstas salían despedidas.

—Os lo explico con un ejemplo —propuso Mati mientras sacaba su libreta del bolso de la playa —A ver si así os resulta más fácil

—¡Sí, por favor! —dijo

—Lo primero que necesitamos es un sistema de coordenadas, por ejemplo, cartesianas.

—¿Por qué pones números negativos, Mati? —preguntó Ven.

—Son números enteros, ¿recuerdas? —dijo ella —Para indicar que estamos a la izquierda o por debajo del origen. Los positivos nos indican que estamos a la derecha o arriba del mismo. Y con este sistema de referencia, sabemos las coordenadas de los puntos como cuando jugábamos a los barquitos.

—¡Mola! Como estamos en la playa… —Ven se iba olvidando poco a poco de la polémica bola…

—Voy a dibujar una recta —continuó Mati.

—Para poder conseguir la ecuación de esta recta, es decir, la contraseña para que un punto esté sobre ella, necesito obtener algunos datos de la misma. Para ello vamos a usar, por ejemplo, a dos miembros de ella, dos puntos que pertenecen a este club. Necesitamos las coordenadas de 2 puntos sobre ella…

—Éste y éste —dijo Sal a la vez que señalaba 2 puntos sobre el cuaderno de Mati.

—El (1,1), le llamaremos A…y el (4,3), le llamaremos B —añadió Mati.

—Muy bien. Ahora —dijo la pelirroja —Voy a darle un nombre y un apellido, unas coordenadas, a la flechita que va desde A hasta B. A esa flecha le llamaré vector AB.

—¿Cómo se saben las coordenadas de una flecha, Mati? —preguntó Sal intrigado.

—Las coordenadas de una flecha o vector serán las siguientes: la primera coordenada nos indica cuánto nos movemos hacia la derecha, si es positiva, o hacia la izquierda, si es negativa; la segunda coordenada nos dirá cuántos pasos damos hacia arriba, si es positiva, o hacia abajo, si es negativa.

Los niños se pusieron a contar los pasos que indicaban el vector AB de su dibujo.

—Tres pasos a la derecha… —mascullaba Ven —y dos hacia arriba…¡(3,2), Mati!

—También se pueden calcular las coordenadas del vector AB restando a las coordenadas de B las coordenadas de A —les contó Mati.

—¿Cómo se restan coordenadas, Mati? —quiso saber Sal.

—Ah, claro. La primera con la primera y la segunda con la segunda —respondió ésta.

—Muy, muy bien, chicos —la pelirroja estaba orgullosa de sus amiguitos — Y claro, las coordenadas del punto B es igual a la suma de las coordenadas de A y del vector AB.

—¡Toma, toma, toma! ¡Es verdad! —el pequeño ya estaba alucinando.

—¿Qué pasa si sumamos al punto A dos veces el vector AB? —preguntó ella.

Los niños se quedaron pensando y mirando al dibujo, hasta que, finalmente, Sal dijo:

—Que andaríamos 6 pasos a la derecha y 4 hacia arriba y llegaríamos… a este punto —señaló el gafotas sobre el dibujo —Al de coordenadas (7, 5).

—¿No es el mismo resultado que si hacemos esta cuenta? —cuestionó Mati a los niños.

—¿Cómo se multiplica 2 por (3,2)? —preguntó el gafotas — ¿A la primera coordenada? ¿O a la segunda?

—A las dos —respondió la gafotas.

—¡TOMAAAAAAAAAAAAA! —gritó Ven entusiasmado —Sale (7,5)

—Claro —continuó Mati sonriendo —Todos los puntos de esa recta se pueden conseguir sumando a A el vector AB un número de veces o restándolo.

—¿Cómo que restándolo?

—A ver, ¿hacéis este cálculo? —les pidió

Los niños se pusieron manos a la obra.

—¿Cómo se hace 1-6, Mati? —preguntó el pequeño.

—Andando 6 pasos a la izquierda en la regleta, ¿no te acuerdas? Y 1-4 se calcula dando 4 pasos a la izquierda del 1 también en la regleta.

—Huy, es verdad… —se disculpó Ven —A ver qué nos sale… (-5, -3)… ¡Toma! ¡Es verdad! ¡También está sobre la recta! —el pequeño Ven disfrutaba cada descubrimiento.

—Bueno, pues ya sabemos que para que un punto esté sobre la recta, debe cumplir esa contraseña o condición: que debe ser igual que el punto A más el vector AB multiplicado por un número. O sea que la ecuación que debe cumplir un punto (x,y) para pertenecer a esta recta es la siguiente

—Y eso, ¿cómo se usa, Mati? —preguntó sal muy serio.

—Vamos a ver, decidme un punto sospechoso de pertenecer a la recta…

Los niños miraron el dibujo.

—El (7,5) —propuso Ven McEnroe.

—Muy bien —dijo Mati —tomamos x como 7 e y como 5 y susitituimos en la ecuación. (7,5) pertenecerá a la recta si k nos da el mismo valor en las dos ecuaciones.

—Efectivamente, (7,5) cumple la ecuación, para el valor de k igual a 2. Es un miembro de la recta —concluyó Mati.

—¡Toma, toma, toma! —el pequeño saltaba de alegría.

—Ahora el (10, 9) —propuso Sal animado.

—Vamos a ver si (10, 9) se sabe la contraseña…

—¡Ja! ¡Te pillamos (10,9)! Tú no eres del club de la recta… —Ven estaba disfrutando con aquello.

—Es alucinante, Mati…—Sal miraba al cuaderno y se ajustaba las gafas.

—Las Matemáticas siempre lo son —respondió ella con un guiño —Pero hay otras formas de detectar a los miembros de una recta. Os las enseñaré. Vamos a dejar sola a k en las dos ecuaciones como ya sabemos, deshaciendo en orden inverso todas las operaciones que la ocultan…

—Cuando igualamos las dos ecuaciones porque las dos valen lo mismo, k, tenemos una nueva ecuación de la recta, que se llama ecuación continua.

—Así, cada vez que tengamos dos puntos de una recta podemos calcular suu ecuación continua sin más que hacer esto

—¡Qué chulo! —exclamó Sal — ¿¡Cómo la usamos para saber si, por ejemplo, el (1,0) pertenece al club?

—Muy fácil —dijo Mati —Cambiamos x por 1 e y por 0 y vemos qué pasa.

—Ajá, no eres de nuestro club, forastero… —dijo Ven cuando descubrieron que el (1,0) no pertenecía a la recta.

—¿Os gusta, chicos? —continuó la pelirroja —Pues aún podemos escribir la ecuación de la recta de otra forma.

—¡Venga! —la animó Sal.

—Usando nuestras técnicas de desenmascaramiento vamos a tratar de llevar todo al primer miembro de la ecuación, ya veréis…

—Ya tenemos otra ecuación de la recta —dijo Mati —La ecuación implícita.

—Prueba con el (4,2), Mati —pidió Ven ansioso.

—¡¡Yo! ¡Yo lo hago! —intervino Sal —Cambio x por 4…cambio y por 2

—¡Otro! Hemos pillado a otro que no está —Ven lo pasaba en grande.

—Pues además de decirnos si un punto pertenece o no a una recta, con esta ecuaciones podemos calcular todos los puntos sobre ella que queramos —dijo Mati.

—¿¿Cómo?? —preguntaron los dos niños a la vez.

—Elegid un valor para la x —les propuso.

—¡10! —gritó Ven.

—Estupendo —contestó la pelirroja —ponemos 10 en lugar de x y vamos a ver cuánto vale y

—¡Toma, toma, toma! ¡CÓMO MOLA! —a Ven se le salían los ojos de las órbitas.

—¡Me encanta, Mati! —Sal estaba también entusiasmado.

—Pues aún hay más…—respondió ella con tono de misterio —pero ésas la dejaremos pendientes... Ahora vamos a dar un paseo por la playa.

—¡Vale! —dijo Ven —Pero que sepáis que la bola no entró…

—Me parece que…va a ser la señorita Amapola…

—Ven, no digas tus sospechas en voz alta…

—¿Voy bien, Sal?

—No se puede hablar, Ven, concéntrate en el juego.

—Es que ya sé quién y con qué, creo, vamos, porque el candelabro…

—Te recuerdo que tienes que resolver las 3 incógnitas.

—Ya, ya lo sé, ¡me encantan las incógnitas!

—¡Y a mí! —Mati acababa de llegar.

—¡Hola, Mati! —saludaron los dos niños con alegría.

—¡Hola guapos! Cuando os escuché pensé que estabais resolviendo ecuaciones —dijo la pelirroja guiñando un ojo.

—No, no, estamos jugando al Cluedo —respondió Ven —Yo soy el profesor Mola —concluyó con una sonrisa de pícaro.

—El profesor Mora, Ven —le corrigió su hermano.

—No, el profesor Mola, que mola más —el pequeño cerró los ojillos y sonrió apretando los dientes mostrando la última baja de su dentadura.

—¿Qué son ecuaciones, Mati? —preguntó Sal que no había dejado de pensar en aquella palabra que ella había dicho.

—Una ecuación es, más o menos, como un Cluedo matemático… —comenzó diciendo la gafotas.

—¿Con sospechosos? —preguntó Ven con los ojos como platos.

—Bueno, las más sencillitas, con sospechosa, la x —dijo Mati.

—¿La x? ¿La letra x? ¿O hay un número especial como π que se llama x? —la cabecita de Sal comenzaba a dar vueltas.

—¿Queréis que os enseñe a resolver unas ecuaciones de las más sencillas? Es casi como jugar a los detectives —propueso ella.

—¡Sí! —respondieron los niños provocando un sobresalto al pobre Gauss que estaba mirando el tablero del juego con cara de detective sagaz.

—Os voy a proponer un caso que tendréis que resolver como buenos detectives. Tendréis que desenmascarar a la x para ver quién se esconde bajo esa máscara —añadió Mati hablando lentamente con voz misteriosa.

—Tranquila, pequeña, estás frente a los 2 mejores detectives del mundo… —respondió Ven haciéndose el interesante.

—Comencemos, señora, ¿qué sabe del caso? —continuó Sal en su papel de sabueso.

—Pues sé que la sospechosa fue vista primero multiplicada por un 4 —comenzó Mati con voz de miedo e indefensión —Más tarde se le sumó un 3

—Hum, qué mal huele este asunto… —interrumpió Ven.

—Un testigo me dijo que todos juntos eran iguales que un 39 —terminó de decir ella.

—¿Algo más, señora? —preguntó Sal mirando por encima de sus gafotas.

—No, señor detective, es todo lo que sé ¿Podrán resolver el caso?

—Ni idea… —respondió Ven desmoralizado.

—Podemos ir probando… —empezó Sal —Esa x, ¿es un número natural o puede ser negativo? ¿Podría ir con decimales?

—¿Cuáles eran los naturales? —preguntó Ven —Los que sirven para contar, ¿no?

—Eso es, Ven —respondió Mati —Veo que recuerdas el cuento con las ovejitas y los conjuntos numéricos —continuó sonriendo — Sí, Sal puede ser negativo y puede tener decimales. Por lo tanto, probando, puede que no acabaras nunca… Se puede hacer más rápido, ¿queréis que os enseñe?

—¡Sí! —la respuesta de los niños estaba clara.

—Pues bien, vamos escribir en nuestra libreta todos los datos que tenemos. Sabemos que iba multiplicada por 4, que se le sumó un 3 y que todos así eran un 39. Escribamos todo esto. Como tenemos que escribir la letra x, para no confundirnos con el signo de multiplicar, éste, el signo de multiplicar lo escribimos como un puntito.

—Esto que hemos escrito es una ecuación. Una ecuación lineal con una incógnita. La llamamos lineal porque las incógnitas, en este caso, sólo una, la x, aparece sin estar elevada a ninguna potencia. Porque en otras ecuaciones, las incógnitas pueden aparecer aún más enmascaradas elevadas a otras potencias:2, 3… —les explicó Mati —Para desenmascarar a la x, que es nuestra incógnita, vamos a deshacer todo lo que ella hizo, en orden inverso, hasta conseguir llegar hasta 39. Para ello, como lo último que hizo fue sumarse un 3, vamos a deshacerlo restando, que es la operación inversa de la suma. Pero, ¡ojo!, tenemos que restar lo mismo en los 2 lados del signo igual. Vamos a llamar primer miembro a lo que aparece a la izquierda del signo igual y segundo miembro al que aparece a la derecha. Como los dos miembros son iguales, vamos a ir haciendo las mismas operaciones en los 2 hasta que consigamos dejar sola a la x y así poder descubrir quién es, ¿vale? si no hacemos lo mismo en los dos miembros estaremos destruyendo pistas de la escena.

—¡Vale! ¡Qué emoción! —Ven estaba excitado, Sal miraba sin pestañear, Gauss seguía mirando el tablero del Cluedo. Es un perro un poco raro…

—Si restamos 3 en ambos miembros, llegamos a la conclusión de que 4 multiplicado por x es igual que 36 —siguió la pelirroja.

—Se te olvidó poner el punto entre 4 y x —dijo Ven,

—Sí, pero en realidad, en Matemáticas solemos hacerlo. Si no escribes ningún signo se entiende que estás multiplicando, y en realidad, expresa mejor lo que queremos decir. Es decir, decimos 4x y pensamos en eso, en que tenemos 4 veces a la x.

—Me gusta —dijo Sal —¿Y ahora?

—Ahora, como la x se ha escondido multiplicándose por 4, la sacamos de su escondite con la operación inversa a la multiplicación —siguió Mati —¿Qué es lo inverso de multiplicar?

—¡Dividir! —dijeron los hermanos al unísono.

—Efectivamente, chicos. Dividimos los dos miembros por 4 para desenmascarar a la sospechosa…

—¿Por qué tachas los 4s, Mati? —preguntó el gafotas.

—Porque multiplicar y dividir un número, en este caso la x, por el mismo número, es como multiplicar por 1, o sea, no hacer nada.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —gritó Ven excitado —Sabía que había sido el 9… A mí no se me engaña tan fácilmente…

—No mientas, Ven… —respondió su hermano —Me gusta mucho, Mati ¿nos propones otro caso?

—¡Claro! Nuestra siguiente sospechosa fue un día vista multiplicada por 7 y a ese producto le restaron 4. Al día siguiente, vieron que primero se multiplicó por 4 y después se sumó 5. Ahora viene lo interesante, los dos días llegó al mismo resultado —les contó Mati con voz muy misteriosa.

—Y, dígame, señora, ¿cuál era ese resultado? —preguntó Sal Holmes.

—Nadie lo recuerda —dijo Mati bajando la voz hasta el susurro.

—Entonces no podremos ayudarla, señora —añadió Ven Watson.

—¿Están seguro de ello mis sabuesos? —preguntó Mati.

—Absolutamente —confirmó el pequeño Watson.

—Si me permiten ayudarles… —Mati guiñó un ojo.

—Por favor… —dijo Sal haciendo una pequeña reverencia cómica.

—Vamos a escribir lo que sabemos en nuestra libreta de detectives.

—Pero, ahora, la x está en los 2 miembros de la ecuación —dijo Sal angustiado.

—Efectivamente, Sal. Tenemos 7x en el primer miembro y 4x en el segundo. Vamos a llevarlas todas al primero quitándolas del segundo. como el segundo tiene 4x, restamos 4x en los dos, siempre en los 2 para no destruir pistas.

7x menos 4x son 3x y ya tenemos una ecuación como la de antes —dijo sonriendo la pelirroja.

—Déjanos a nosotros, Mati, por favor —pidió Sal.

—Toda vuestra, chicos —respondió ella.

—Suma 4 en los dos miembros, Sal —dijo Ven a su hermano excitado —Para delatarla.

—-¡Ahora divide por 3, para dejarla sola! —gritó Ven.

—¡Toma, toma, toma! —Ven estaba excitado. Sal no podía dejar de sonreír. Sí, Gauss seguía mirando el tablero del Cluedo. Él es así.

—Pero, bueno… Sois los mejores detectives del mundo —dijo Mati sonriendo orgullosa —¿Os atrevéis a resolver ésta?

Los dos niños se pusieron manos a la obra mientras Gauss…bueno, ya sabéis dónde seguís nuestra mascota.

—Huy, ¿ahora qué hacemos Sal? —preguntó el pequeño preocupado.

—Pues..yo creo que si la x se ha dividido por 4, para delatarla hay que hacer lo contrario de dividir… —pensaba Sal en voz alta — es decir, multiplicar por 4 ambos miembros.

Ven buscó la confirmación en la mirada de Mati que asintió con un guiño y una sonrisa.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo molan las ecuaciones! —Ven saltaba sobre sus pies.

—Mucho. Es como jugar al Cluedo —en la cara de Sal lucía una enorme sonrisa.

—Me alegro mucho de que os gusten —añadió Mati —Otro día os explicaré otras ecuaciones si os apetece.

—¡Claro que nos apetece! —respondió Sal.

—Venga, ¿jugamos una partida al Cluedo, chicos?

—Vale, pero vamos a fastidiar a Gauss que parece que está a punto de resolver el caso anterior…

—No, Sal, si la oruga está loca, también el lagarto está loco.

—Pero Mati me dijo que no, que el lagarto estaba cuerdo, porque la oruga estaba loca y mentía.

—Entonces no tiene solución, Sal, porque si la oruga miente, es que está cuerda, porque ella dice que está loca. Pero si miente, está loca, porque el loco siempre miente.

—Pues… es verdad, Ven…es un lío… pero Mati me dijo que el lagarto estaba cuerdo. Y Mati no miente.

Sal y Ven estaban dándole vueltas al acertijo de la oruga y el lagarto que Mati les contó aquel día.

La oruga piensa que tanto ella como el lagarto están locos. Si lo que cree el cuerdo es siempre cierto y lo que cree el loco es siempre falso, ¿el lagarto está cuerdo?

Los ojos de Gauss se perdían en algún punto del infinito perruno posiblemente tratando de concretar su versión del asunto.

—A lo mejor Mati se equivocó, Sal.

—Mati no se equivoca nunca, Ven.

—Huy, eso no es cierto, chicos —Mati acababa de llegar —Todos nos equivocamos y cuando eso ocurre lo que tenemos que hacer es rectificar y si hemos hecho daño a alguien, pedir humildemente perdón.

—¡Hola, Mati! —dijo Ven con alegría.

—Hola, Mati —saludó Sal aún pensativo. Gauss se acercó a la pelirroja buscando una caricia de ésta —No entendemos la solución del acertijo de la oruga y el lagarto.

—Ah, es eso —dijo ella —Es un acertijo que se resuelve usando sólo lógica.

—Ya, Mati —interrumpió el pequeño —pero es que este acertijo no es lógico.

—¿Por qué, Ven? —quiso saber Mati.

—Porque si la oruga estuviese cuerda —empezó Ven — Diría “Estoy cuerda” porque el cuerdo no miente. Pero la tortuga dice que está loca, entonces no puede estar cuerda. Pero si está loca, no puede decirlo porque estaría diciendo la verdad, y los locos mienten…

Gauss se echó a dormir, empezaba a dolerle la cabeza.

—¿Y quién dice que la oruga no está mintiendo cuando dice que tanto ella como el lagarto están locos? —preguntó la gafotas.

—Ya te lo he explicado… —respondió Ven con cansancio.

—Pero, Ven, ¿qué es lo que dice la oruga? —siguió Mati.

—Que ella y el lagarto están locos —intervino Sal.

—Eso es, la oruga dice 2 cosas, hace 2 afirmaciones —dijo Mati —Para que mienta, sólo es necesario que una de ellas sea falsa…

—No, Mati, si miente, miente —respondió un Ven cada vez más confuso y acalorado.

—No, cielo —continuó ella —Si yo digo que Sal y Gauss van a la clase de 5º de primaria, ¿estoy mintiendo?

-¡Toma, claro! —respondió Ven con vehemencia.

—Sin embargo, Sal si va a 5º de primaria, ¿no? —siguió la pelirroja.

—¡Ya, ya me acuerdo de la solución! —gritó Sal —La oruga mintió diciendo que el lagarto estaba loco, como tú has mentido diciendo que Gauss va a 5º.

Gauss abrió un ojo con pereza al oír su nombre. Lo volvió a cerrar.

—Sí… ya… bueno… es verdad —terminó aceptando Ven.

—Es una cuestión de lógica como te dije, Ven —dijo Mati — Para que una afirmación sobre dos hechos sea falsa, sólo es necesario que sea falso uno de los 2. ¿Queréis que lo veamos dibujando conjuntos?

—¡Sí! —respondió inmediatamente Sal.

—Agrupamos en este conjunto a los niños de vuestro cole que desayunan cereales —dijo Mati mientras dibujaba en su libreta —Lo llamamos C, de cereales. Ahora, en otro conjunto agrupamos a los niños de vuestro cole que juegan al fútbol y lo llamamos F —continuó —Habrá niños que desayunen cereales y jueguen al fútbol…

—¡Yo! —interrumpió Ven.

—Pues tú, Ven, y los demás niños que desayunan cereales y juegan al fútbol estáis en la zona donde se solapan los dos conjuntos que la llamamos intersección de C y F y lo escribimos C ∩ F. A la suma de todos los niños que desayunan cereales o juegan al fútbol o las dos cosas, la llamaremos unión de C y F y lo escribimos C U F, ¿me explico?

Los dos niños asintieron con la cabeza.

—Pues bien, si alguien está en la intersección es porque desayuna cereales y juega al fútbol. No estar en la intersección no significa que ni coma cereales ni juegue al fútbol. Si miramos el dibujo vemos que fuera de la intersección hay niños que están sólo en C, sólo en F, o no están ni en C ni en F.

—Esto es una de las leyes de De Morgan. Veréis a lo que está fuera de un conjunto le llamamos complementario de ese conjunto. Por ejemplo, los niños que no desayunan cereales son del conjunto complementario de C, lo llamamos comp(C).

—Pues bien, los niños que no desayunen cereales ni jueguen al fútbol, es decir, los que están fuera de la intersección, forman el comp(C ∩ F), ¿verdad?

—Verdad —corroboró Sal.

—Pues bien, según las leyes de De Morgan

comp(C ∩ F)=comp(C) U comp(F)

es decir, los elementos que no están en la intersección son aquellos que ó bien no están en C o bien no están en F o bien no están en ninguno de los 2.

—¿Y eso que tiene que ver con el lagarto, Mati? —preguntó Sal.

—Pues que la oruga afirmó que ella y el lagarto estaban locas. Era la intersección de dos sucesos. Negar esa intersección, salirse de ella, es que o la oruga no está entre los locos, es decir, está cuerda o el lagarto está cuerdo o los dos están cuerdos. Pero la oruga no está cuerda, porque en ese caso lo afirmaría porque el cuerdo dice la verdad. Entonces sólo nos queda una posibilidad: el lagarto está cuerdo.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —dijo el pequeño.

—Sí, mola —respondió Mati guiñando un ojo a Ven —Y la otra ley de De morgan, nos asegura que

comp(C U F)=comp(C) ∩ comp(F)

Es decir que los niños que no están en ninguno de los dos conjuntos no comen cereales y no juegan al fútbol.

—Yo me hago un poco de lío con la unión y la intersección, Mati… —confesó Ven.

—Te diré un truco, la intersección representa ‘y’, esto es, cereales y fútbol, y la unión representa ‘o’ pero no excluyente, es decir, o cereales, o fútbol, o las dos cosas.

—Entonces si la oruga dice uno de nosotros está cuerdo y está mintiendo, lo que ocurre es que los dos están locos, ¿no, Mati? —preguntó el gafotas.

—Exacto, porque estaría diciendo o el lagarto o ella está cuerdo, es decir, es una unión. Si es mentira, estaríamos en el complementario de la unión, y eso es la intersección de los complementarios: la oruga no está cuerda y el lagarto no está cuerdo.

—Me estoy volviendo loco… —dijo Ven moviendo los ojos a un lado y a otro.

—Bueno, Ven, siempre lo has estado —contestó su hermano con una sonrisa pícara.

—¿Que haces, Ven?

—Nada… miraba el masu que hicimos el sábado con Mati.

—¿Quieres que juguemos con él a medir arroz?

—No, no es eso, Sal… —respondió Ven un poco apenado —Es que… no se lo digas a nadie, pero yo no sé qué es el área. Yo sólo conozco el área de penalty y el área de portería. No entiendo qué pasa con el área de la base.

—Vamos a mirar en el diccionario, Ven —respondió Sal tratando de animar a su hermano.

Los niños se pusieron a hojear el diccionario hasta que Sal encontró área y leyó en voz alta:

—Espacio de tierra comprendido entre ciertos límites… Eso es lo del fútbol también —concluyó el gafotas.

—¿Qué buscan mis niños en el diccionario? ¿Masu? —Mati acababa de entrar.

—No, Mati, estamos buscando área –dijo el pequeño Ven –porque yo sólo conozco las del fútbol y no sé cuál es el aŕea del masu.

—Ah, entiendo –Mati sonrió – Te refieres al área de la base del masu, ¿no?

Ven afirmó fuertemente con su cabecita.

—Cuando hablábamos el sábado de áreas, me refería a la medida de la superficie de la base de nuestro masu, por ejemplo. Cuando hablamos de área de una figura plana, estamos dando una medida de la superficie que ocupa.

—Y, ¿eso cómo se mide? ¿Con un metro muy ancho?

—Más o menos, Ven –respondió la pelirroja –Se mide usando cuadraditos pequeñitos, como si pusiéramos losetas en el suelo.

—¿Losetas? —preguntó Sal mientras sus gafas resbalaban por su naricilla.

—Más o menos, ¿queréis que os explique cómo se calcula el área de las figuras planas?

—¿Es muy difícil? —preguntó Ven con preocupación mientras Gauss ponía las orejas tiesas esperando la explicación de Mati.

—No, para nada, al menos el cálculo de áreas de algunas figuras. Este cálculo es algo conocido desde la antigüedad cuando aún no se sabían muchas matemáticas –comenzó diciendo Mati –El historiador Herodoto sugiere que fueron los egipcios los primeros que se plantearon medir el áreea de los terrenos de cultivo, para poder volver a delimitar los mismos después de la inundación anual del Nilo, porque ésta, la inundación, borraba los límites de las parcelas y luego había discusiones sobre los campesinos para volver a poner límites a sus fincas.

—Vaya, rollo de Nilo…

—Pues sí, Ven, era un poco rollo tener que volver a marcar las parcelas tras cada inundación, pero a cambio, tenían tierras muy fértiles. Pero bueno, esta teoría de Herodoto puede no ser del todo cierta, puesto que parece que también los babilonios conocían el cálculo de áreas…

—¿Cómo se calcula el área, Mati? —preguntó impaciente Sal.

—Vamos a ello, chicos. Antes que nada, necesitamos fijar una unidad de área común para todos. Como tenemos nuestro cuaderno de cuadritos, elegimos como unidad de área el cuadrito de la hoja de papel.

—Comenzaremos calculando el área de un cuadrado. Si a nuestra unidad de área la llamamos u2, como es habitual, al lado del cuadrito le llamamos u y será la unidad de longitud. Dibujamos un cuadradro y medimos cuántos u mide el lado. Sólo habría que medir uno de ellos puesto que si es un cuadrado, los 4 lados miden lo mismo.

—Fijaos que nuestro cuadrado está relleno de cuadritos, como si fuera un suelo enlosado, ¿no?

—Sí –respondió el pequeño.

—Entonces, el área de nuestro cuadrado es el número de losetas o cuadritos (que son unidades de área) que necesitamos para recubrirlo.

—¡Yo los cuento, yo los cuento, por fa! —dijo Ven y se puso a contar con su dedito sobre la libreta de Mati –Son 64 baldosas.

—Muy bien, Ven ¡Qué rápido eres contando! —afirmó Mati provocando en Ven una sensación de superioridad.

—Que es exactamente… —Sal seguía mirando absorto el dibujo –…el resultado de 8 x 8…¿Verdad, Mati?

—Efectivamente, Sal –corroboró ésta –Y así es siempre, el área de un cuadrado se calcula multiplicando la longitud de sus lados.

—¿Siempre, siempre? —preguntó Ven.

—Siempre, siempre –contestó Mati.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! Y no te tienes que saber las tablas de multiplicar, ¡basta con contar losetas!

—¿Pero qué dices, Ven? ¿Y si son miles, miles y miles de losestas? —intervino Sal.

—Toma, es verdad…

—En es caso –dijo Mati –usamos las multiplicaciones, o una calculadora. No os preocupéis.

—¿Y si los lados no son iguales, Mati? —preguntó Sal.

—¿Si tenemos un rectángulo? Vamos a contarlo a ver qué pasa… —dijo la gafotas mientras cogía de nuevo su cuaderno y dibujaba un rectángulo.

—¡Yo cuento! —volvió a pedir el pequeño y se puso a puntear cuadritos con su dedito.

—Es verdad, Mati, otra vez nos ha salido lado por lado –el gafotas no pudo reprimir una sonrisa.

—Vamos a darle un nombre a esos lados para distinguirlos –propuso la pelirroja –A uno de ellos, por ejemplo, al horizontal, le llamamos base; al vertical, le llamaremos altura. Con esos nombres ya podemos afirmar que el área de un rectángulo es el producto de su base por su altura.

—¡Qué fácil, Mati! —Ven estaba alucinando.

—Vamos a ver ahora el área de un triángulo –propuso ella.

—¿Rectángulo, isósceles o escaleno? —preguntó Sal.

—Bueno, no es importante, pero vamos a elegir uno escaleno que son más desiguales.

—¿Puedo contar las losetas otra vez yo? —preguntó Ven con carita de bueno.

—Claro, ¿verdad, Sal? —respondió Mati. Sal asintió con su cabecita.

—Ahora no se puede… —la carita de Ven perdió su brillo de repente.

—Es cierto, ahora hay trocitos de losetas, Mati. Ven tiene razón.

—Vamos a encerrar ese triángulo dentro de un rectángulo, a ver si nos ayuda –dijo Mati –Pintamos de verde la zona del rectángulo que no es parte de nuestro triángulo.

—Partimos nuestro triángulo en 2 usando esta rayita roja vertical y nos fijamos en que: el triángulo amarillo y el verde a la derecha de la línea roja son iguales y los dos triangulitos, el amarillo y el verde, a la derecha de la línea roja, también son iguales, ¿no?

—Sí… ¿y?

—Pues eso, Ven, significa que el área verde, la suma de los 2 triángulos verdes, es igual que el área de nuestro triángulo original.

—Ya lo veo… —dijo Sal –La suma de esas áreas es el área del rectángulo, o sea, base por altura.

—Eso es, Sal –continuó la gafotas –Y como el rectángulo contiene a dos triángulos como el nuestro amarillo, el área de nuestro triángulo es la mitad de la del rectángulo.

—¡Toma, toma, toma! —Ven achuchó a Gauss con la emoción. Éste se dejó querer –¡Ahora el círculo!

—Oh, despacio, Ven –dijo Mati sonriendo –Vamos a segur un poco con figuras de lados rectos, ya vendrán las curvas…

—Mejor, así no nos mareamos –contestó Sal guiñando un ojo a su hermano que sonrió sin entender muy bien el chiste, francamente.

—Vale –terminó aceptando Ven.

—Vamos a ver cómo se calcula el área de otros paralelogramos –propuso Mati.

—¿El qué? —la cara de Ven se arrugó enterita.

—Un paralelogramo es una figura plana de 4 lados, con la propiedad de que esos lados son paralelos 2 a 2..

—¿Qué significa paralelo, Mati?

—Dos lados son paralelos, Ven, si por mucho que lo estirásemos, nunca se encontrarían.

—Entonces, si son paralelos, tiene que ser un cuadrado o un rectángulo.

—No, Sal , hay otros paralelogramos: los rombos y los romboides. En el caso del rombo, los 4 lados miden lo mismo.

—Yo sé cómo dice rombo en japonés –interrumpió Ven –Bishi. Me lo explicó papá con una marca de coches que tiene 3 bishis.

—Hala, Ven, eso no lo sabía yo –dijo Mati –Gracias.

—De nada –respondió Ven orgulloso.

—¿Por qué les llamas rectángulo al cuadrado también, Mati? —preguntó Sal.

—En realidad, el cuadrado es un rectángulo con los lados iguales, y se llaman así, rectángulos, porque sus lados se cortan entre sí formando un ángulo recto...

—¡Como la esquina de una portería! —Dijo Ven ufano

—Eso es –confirmó Mati.

—Mientras que ni en el romboide ni en el rombo, los ángulos son rectos ¿Cuánto mide el área de este romboide? —propuso la pelirroja después de dibujar uno en su cuaderno.

—Otra vez hay trocitos de losetas… —dijo el pequeño serio.

—Ya veréis… —empezó diciendo Mati –Fijaos en el dibujo en que el triangulito T1 es exactamente igual que el triangulito T2

—Cierto… —puntualizó el gafotas.

—Recortamos el triángulo T1 y lo pegamos junto a T2, ¿que nos queda?

—¡Un rectángulo! —gritó Ven.

—En ese caso, es pan comido para mis chicos –dijo Mati guiñando un ojo.

—Pero qué divertido es calcular áreas, Mati –dijo Ven –Siento haber dicho que lo del Nilo era un rollo.

—¡Jajajaja! —Mati se rió –una cosa no quita la otra, Ven.

—¿Y el área del rombo es lado por lado, Mati?

—Eso es, Sal –respondió Mati.

—Pues ahora que hemos acabado con las figuras de 4 lados, vamos a ver las de 5, ¿vale? —pidió Ven con alegría.

—¿Quién dice que hemos terminado con las figuras de 4 lados, chico impaciente? —Mati alborotó el cabello de Ven – ¿Qué pasa si los lados de la figura no son paralelos de 2 en 2?

—¿Qué pasa? —preguntó inmediatamente Sal.

—Pues que no tenemos paralelogramos, y en ese caso, cuando, por ejemplo, 2 de los lados del cuadrilátero, de la figura de 4 lados, son paralelos y los otros 2 no, se les llaman trapecios.

—Como en el circo… -dijo Ven.

—Y como unos músculos de la espalda –añadió Sal.

—¡Toma, trapecio es una palabra polisémica! —A Ven le encantan las palabras polisémicas.

—Cierto, como área –Mati sonrió – Vamos a quedarnos con los trapecios que son cuadriláteros y vamos a calcular su área, ¿os parece?

—¡¡Sí!! —contestaron al unísono.

—Los trapecios, como los triángulos, se pueden clasificar en rectángulos (si uno de sus ángulos es recto), isósceles (si tienen 2 lados con la misma longitud) o escalenos (si los 4 lados tienen longituedes distintas).

—Como los triangulós –apostilló Ven.

—Eso ya lo ha dicho, Mati –dijo su hermano.

—Huy, es verdad –Ven se ruborizó –Lo siento.

—No pasa nada, cielo –dijo ella – Ahora, a ver cómo calculamos su área.

—Antes que nada, vamos a recortar los triangulitos laterales, y los llamamos T1 y T2, a la base de T1 le llamamos b1 y a la base de T2 le llamamos b2. Llamamos h a la altura del rectángulo que nos queda al cortar los triángulitos. Por útlimo, como los 2 lados paralelos no miden lo mismo, al más largo le llamamos base mayor y al más corto, base menor. Tenemos un cuadrado, en el centro y dos triángulos pegados. Sabemos calcular el área de los 3, sólo hay que sumar, ¿no?

—Es verdad, y ya está –Ven se sentía satisfecho y feliz.

—Pero vamos a toquetear un poco esas cuentas, a ver si conseguimos una fórmula como la de base por altura del rectángulo –propuso Mati.

—Y del romboide –añadió el pequeño.

Mati, en otra hoja de sus cuaderno, empezó a escribir y a componer, descomponer, sacar factor común… Finalmente obtuvo lo que buscaba.

—Ya tenemos, entonces, la fórmula para el cálculo del área de un trapecio. Es la suma de las bases por su altura, dividido por 2.

—¡TOMA! ¡Cómo mola!

—Sí, Ven, mola mucho –dijo Sal con una gran sonrisa.

—Venga, ya, Mati, ahora los de 5 lados –pidió Ven emocionado.

—Pero, bueno… ¿y nos olvidamos de los pobres trapezoides? —dijo ella dramatizando cómicamente.

—Y esos ¿quién son? —resopló Ven.

—Los trapezoides son cuadriáteros donde ninguno de sus lados es paralelo a otro. Imagina un trapecio elástico y gira una de sus bases para que no sea paralela a la otra.

—Ya, ya lo veo –dijo Sal —¡A por el trapezoide!

—Huy, creo que Gauss necesita salir un poco a tomar el aire –respondió Mati –Tiene cara de estar mareado con tanta geometría. Lo dejamos para otro día, chicos.

—Yo no quiero jugar a eso, Sal. No me gustan los banqueros.

—¿A cuántos banqueros conoces, Ven?

—A ninguno, pero he oído que son muy malos y que hacen la crisis.

—Yo no voy a hacer ninguna crisis, sólo vamos a jugar con el dinero del Monopoly.

—Entonces, ¿para qué quieres este antifaz de bandido?

— Eh… no sé…cosas mías… ¿Juegas o no, Ven?

—No sé, no sé.

—¿Qué le pasa a este perrito? ¿Por qué está temblando? —era Mati quien acababa de entrar y tomar a Gauss en sus brazos.

—Que le dan miedo los banqueros y Sal quiere ser uno de ellos.

—Yo no quiero ser banquero —protestó Sal —¡Yo quiero ser físico para estudiar la materia oscura! Sólo quiero que juguemos a los banqueros con el dinero del Monopoly para practicar los porcentajes que estamos viendo en clase, Mati.

—Ah, bueno, eso me parece una buena idea, Ven.

—Sólo si tú te quedas aquí para comprobar que Sal no nos engaña —terminó aceptando Ven, aunque Gauss seguía desconfiando.

—Venga, vamos a jugar a los banqueros —propuso Mati —Os propondré unos ejemplos, ¿queréis?

—¡Sí! —gritaron los dos hermanos provocando otro sobresalto a la pobre mascota.

—Tú, Sal, eres el banquero. Ven es un señor que va a ingresar sus ahorros para que el banco le dé un interés por ellos.

—Vale —dijo Sal —¿Cuánto dinero va a ingresar, usted, caballero? —continuó haciéndose el interesante y dirigiéndose a su hermano.

—Ummmm… —Ven pensaba y calculaba —150 euros.

—Estupendo, señor —contestó Sal — En nuestro banco le daremos un 12 % mensual de interés.

—Huy —Mati no puedo evitar intervenir —Creo que te irá mejor de físico, sí…

—¿Por qué, Mati? —preguntó el gafotas.

—Porque eso es mucho interés, pero está bien, sólo es un juego para aprender a usar los porcentajes —respondió la pelirroja —¿Cuánto dinero tendrá Ven en su cuenta al mes siguiente?

—Pues… —comenzó a decir Sal —calculo el 12 % de 150 y se lo sumo. Multiplico 150 por 12…divido por 100…me sale 18…150 + 18… 168 euros, Mati.

—¡Toma! —dijo Ven —Cuánto…

—Sí, es que tu hermano es un banquero muy generoso —dijo Mati sonriendo —¿Y al cabo de 2 meses? ¿Cuánto dinero tendría?

—168 + 18…186 euros —contestó Sal.

—¡Hala! —exclamó Ven.

—Bueno, eso si aplicamos un interés simple —dijo Mati.

—¿Qué es un interés simple? —preguntó Sal.

—Un interés simple es aquel que aplicamos siempre a la cantidad inicial de dinero, al capital inicial. Con el interés simple, cada mes le pagarás a tu hermano el 12 % de lo que él ingresó en el primer momento. Si hacemos las cuentas y nos fijamos, 168 es el resultado del multiplicar el capital inicial, 150, por 1 más 2 (porque es el segundo mes) por 0’12 (que es el coeficiente que usamos para calcular el 12% de una cantidad) ¿Lo veis?

—Vamos a calcular cuánto dinero tendrá Ven después de 3 meses —continuó la pelirroja.

—Sólo hay que sumar 18 euros que es el 12% de 150, Mati —respondió Ven.

—Sí, pero vamos a ver cómo nos sale una fórmula para calcular la cantidad de dinero en cualquier mes más rápidamente.

—Yo ya la estoy sospechando… —dijo el gafotas.

—Has puesto ‘terces’ en lugar de tercer… —dijo Ven a Mati con una risa pícara.

—Huy, es verdad, lo corrijo —respondió ella con cómico sonrojo.

—¡Lo sabía, lo sabía! —gritó Sal —¡Sólo había que cambiar el 2 por un 3!

—¡Toma, toma, toma! ¡Mola! —Ven estaba entusiasmado, no se sabe si por el hecho de intuir la fórmula para el interés simple o por el dineral que le estaba dejando su inversión.

—¿Sabéis entonces cuánto dinero tendrá Ven dentro de 6 meses? —preguntó Mati.

—Vamos a calcularlo —dijo Sal con una enorme sonrisa.

—¡Toma! ¡258 euros! —Ven estaba eufórico.

—Eso es demasiado, Ven… —protestó Sal.

—Bueno, Sal , ya te dije que era un interés muy alto y además ¡mensual! —dijo Mati.

—Vamos a cambiarlo —dijo Sal con cara de malo, malísimo de película.

—¡Ni hablar, ni hablar! —gritó Ven —¿Qué pasa? ¿Que los banqueros no cumplís las promesas?

—Es que me equivoqué al principio… —intentó Sal.

—Lo siento, hay que ser responsable de lo que se dice, ¿verdad, Mati? —preguntó el pequeño.

—Efectivamente, Ven —corroboró Mati —Además, eso de aplicar el interés simple no es del todo honesto, Sal.

—¿Por qué, Mati? —preguntó el aludido.

—Porque el segundo mes, Ven tendré ingresado en tu entidad 168 euros. Lo lógico sería que le dieras el 12% de esa cantidad, no de la inicial —dijo ella.

—A esto se le llama interés compuesto, al hecho de aplicar en cada momento el interés a la cantidad de capital acumulada.

—¡Así me gusta más! —dijo el pequeño con efusión.

—A mí no —respondió su hermano.

—Pero es más justo, Sal, ¿no crees? —dijo Mati —Al fin y al cabo, tú tienes más dinero de Ven invertido en tu banco.

—¿Y en el tercer mes? ¿Tendré que darle el 12% de los 188’16 euros? —quiso saber el banquero.

—¡Toma, claro! —respondió el inversor.

—Efectivamente —continuó Mati —Vamos a hacer las cuentas a ver si intuimos la fórmula para el interés compuesto. El segundo mes Sal debe pagar 168 más el 125 de esa cantidad. Pero si escribimos 168 como 150 x (1 + 0’12), que es de donde lo hemos obtenido, fijaos que nos sale.

—Ay, ay, que creo que lo veo… —dijo Sal.

—¿Qué es lo que ves? —preguntó la gafotas.

—Que como es el mes 2, hay que calcular 150 por (1 + 0’12) elevado a 2, ¿no?

—Muy bien, Sal, vamos a ver qué pasa en el mes 3.

—Otra vez has puesto ‘terces’ en lugar de tercer — dijo Ven con una sonrisa.

—Huy, que pesadita estoy hoy —Mati guiñó un ojo.

—¡Toma, toma, toma! ¡Eres un crack, Sal! —Ven abrazó a su hermano —Un poco choricete, pero un crack.

—Entonces, chicos, si aplicamos interés compuestos, ¿cuánto dinero tendrá Ven después de 6 meses?

—¡TOMA, TOMA, TOMA! ¡MOOOOOOOLAAAAAAAAAA! —los ojos de Ven se salían de sus órbitas. Gauss dejó de temblar.

—¡Eso es mucho, Mati! —dijo Sal muy en su papel de banquero.

—Bueno, ya te dije que lo tuyo no era la banca —Mati le alborotó el pelo —Normalmente el interés es muuuuuuuucho más bajo y se aplica anual y no mensualmente. Pero lo que sí hemos conseguido es intuir las fórmulas para el interés simple y para el interés compuesto. Para el interés simple, ya sabemos que

—Vamos a hacer un ejemplo. Decidme el capital inicial, el interés y el número de años para el que queréis calcular el capital final.

—1000 euros, a un 2% en 4 años —dijo Sal muy serio.

—Veo que has aprendido pronto, banquero —dijo Mati pícara.

—¿Sólo 80 euros en 4 años? —protestó Ven —¡Qué abuso!

—Lo siento, si no quieres, puedes buscar otro banco —contestó el gafotas muy digno.

—Me temo, Ven, que esto se acerca más a la realidad… —dijo Mati —Vamos a ver ahora ese mismo ejemplo con interés compuesto. Escribimos primero la fórmula:

—Y ahora ponemos los datos, a ver cuánto ganamos en 4 años —dijo Mati.

—Ganáis vosotros, yo lo pierdo —respondió Sal con pena.

—No te preocupes, Sal —repuso Mati —que los banquero suelen perder poco…

—¿82 euros? Pues vaya… —el pequeño inversor se desmoralizaba por momentos —Yo no quiero jugar a los banqueros, Sal.

—¿Qué os parece si jugamos al Monopoly ya que lo tenéis aquí? —preguntó Mati.

—¡Vale! Pero vigila a Ven que a veces intenta colar billetes falsos… -dijo Sal.

—Chivato…

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular…

En el capítulo de hoy…

—¿Has terminado tus deberes, Sal?

—Casi. Me falta muy, muy poco.

—¡Bien! Ahora podemos ir a jugar al parque.

—No, voy a esperar a Mati que está a punto de llegar. Quiero que me enseñe a hacer raíces cuadradas.

—Jo, pero eso debe ser muy complicado, gafotas…

—¿Qué es lo que debe ser muy complicado para estos dos niños tan listos? —Mati acababa de entrar.

—¡Hola, Mati! —saludó Sal efusivamente.

—Hola, Mati, —saludó el pequeño Ven — Calcular raíces cuadradas. Yo sólo estoy en segundo…

—Bueno, pero te voy a enseñar un método para hacerlo en el que sólo se necesita saber sumar, multiplicar y dividir. Y como Sal está en 5º y ya sabe hacerlo…

El gafotas sonrió orgulloso.

—¿Sólo con eso? —preguntó Sal.

—Sólo con eso, caballeros —afirmó Mati —¿Queréis que os lo cuente?

—¡Sí! —respondieron al unísono los dos hermanos.

—A ver, decidme un número… —dijo la pelirroja.

—Pero, Mati, ¿qué significa la raíz cuadrada? —preguntó Ven arrugando mucho la naricilla.

—La raíz cuadrada de un número es otro número de forma que si éste lo multiplicamos por sí mismo, nos sale el primero —respondió ella.

Ante la cara de desconcierto del pequeño Ven, Mati continuó:

—Por ejemplo, la raíz cuadrada de 4 es 2, porque 2 x 2 es 4, ¿me explico?

—Entiendo… —dijo Ven pensativo —O sea que la raíz cuadrada de 9 es 3, porque 3 x 3 es 9, ¿no es así?

—Efectivamente, muy bien, Ven.

—¿Nos podemos ir ya al parque?

—No, Ven —protestó su hermano — Ésas son las fáciles —y dirigiéndose a Mati dijo —Quiero calcular la raíz cuadrada de … de 247.

—Toma… —se asombró el pequeño.

—Muy bien —dijo Mati— Decidme un número que creáis que podría ser la raíz cuadrada de 247.

Sal se puso a pensar, Ven puso la mano en el hombro de su hermano mostrando apoyo moral.

—Bueno… —pensaba el gafotas —10 x 10 son 100…es muy poco…20 x 20 son 400 eso es mucho …15 x 15 es… 15 x 10 que son 150 más 15 x 5 que son 5 x 5 x 375… O sea, 225… Es poco, también…

—Sí, pero está cerca de 247 —dijo Mati— Empecemos con 15, por ejemplo. podemos empezar con cualquier número que multiplicado por sí mismo dé menos que 247.

Mati tomó su libreta.

—Ahora nos preguntamos, ¿es 15 la raíz cuadrada de 247? Si no sabemos cuánto es 15 x 15, para comprobar si 15 es la raíz cuadrada de 247, dividimos 247 entre 15. Si no sale 15, es que no es su raíz cuadrada.

—¿Puedo hacer yo la división, Mati? —preguntó Sal.

—¡Claro!

Sal se puso a trabajar en la libreta.

—¿Cuántos decimales saco?

—Nos conformaremos con 3.

—De todas formas, ya sé que todos los demás serán 6... -añadió Sal.

—Ahora hacemos lo siguiente: como nuestro primer candidato, 15, no era la raíz cuadrada de 247, nos fijamos en el resultado de dividir 247 entre 15, que es 16’466. Hacemos las media entre el primer candidato y el resultado de esta división, y tendremos el segundo candidato a ser la raíz cuadrada de 247 : 15’733.

—¿Y ahora, Mati? —preguntó Sal impaciente.

—Vamos a hacer lo mismo. Dividimos 247 entre el segundo candidato, 15’733, para ver si es su raíz cuadrada, si no nos sale el segundo candidato, hacemos la media entre él y el resultado de la división para obtener el tercer candidato. Lo vamos a escribir en una tabla para que se vea más claro el proceso.

—Y ahora, Mati, dividimos 247 entre el tercer candidato, que es 15’716, a ver si nos sale lo mismo, ¿no? —preguntó el gafotas.

—Eso es —respondió ella.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! ¡Ya nos ha salido! —el pequeño Ven no supo disimular su emoción.

—La raíz cuadrada de 247 es 15’716 —dijo Sal con voz de presentador de televisión.

—Sí, señor. Si queréis obtener más cifras decimales, basta con obtener más decimales desde el principio de este proceso.

—¡Qué fácil, Mati! —Sal estaba entusiamado.

—Sí, este método permite fácil y rápidamente calcular la raíz cuadrada de un número y es más fácil de recordar que el que me contaron a mí cuando iba al cole —respondió la pelirroja.

—¿Cómo era? —quiso saber Sal.

—Al final, no iremos al parque… -se quejó su hermano.

—Veréis hacíamos un dibujo como éste. Separábamos las cifras de 2 en 2, empezando por la derecha y nos fijábamos en las 2 que se quedaban más a la izquierda. En este caso sólo una, el 2. Ahora pensamos qué número al cuadrado, es decir, multiplicado por sí mismo, da 2 o menos de 2, que es la cifra que estamos mirando.

—¡El 1! —dijo Sal inmediatamente.

—Muy bien, Sal. Ése lo ponemos ya arriba en naranja, porque es definitivo. Ahora restamos 1, a 2 y bajamos las dos cifras siguientes. tenemos el 147. Separamos la cifra de la derecha, el 7, y nos fijamos en 14.

—En otro nivel, que marcamos con otra línea, multiplicamos 2 por el número que está arriba ya definitivo, el que hemos puesto en color naranja. En nuestro caso, 2 x 1, que es 2. Tenemos que conseguir un número A de forma que 2A x A, sea menor que 147. Probamos con A igual a 7, que es el número que hemos separado, 14, dividido por 2, que hemos obtenido de 2 x 1.

—No, vale, Mati —dijo Ven —Sale 189.

—Probemos con A igual a 6

—Tampoco vale —protestó el pequeño — Sale 156.

—A ver con A igual a 5

—¡Toma, éste sí! —contestó ven con alegría —Es 125, menor que 147.

—Muy bien, Ven. Subimos el 5 arriba, lo ponemos en naranja, porque es definitivo. Restamos 125 de 147 y para poder calcular decimales, como no nos quedan más números, bajamos dos ceros y repetimos el proceso —continuó Mati — Separamos el 0 de la derecha de 2200, nos quedan 220. Multiplicamos 2 por la cifra naranja, 15, nos da 30 y necesitamos un número A de forma que 30A x A sea menor que 2200. probamos con 220 dividido entre 30, o sea , 7, y sí, sale. Subimos el 7 arriba, en naranja.

—Es un poco lío, Mati… —se quejó Ven.

—Sí, el primero era más fácil —corroboró Sal.

—Efectivamente —dijo ella —y todavía sólo hemos sacado un decimal, si queremos 3, como antes, tendremos que seguir añadiendo ceros de 2 en 2.

—Pues yo me quedaré con el primero para calcular las distancias con el teorema de Pitágoras —concluyó Sal.

—¿Y si hablamos de esto en el parque? —preguntó Ven con una sonrisa pícara.

—Yo creo que sí —respondió la gafotas —Este perrito necesita un poco de aire fresco…

A lo mejor Gauss no estaba tan equivocado con los de sus raíces cuadradas, mirad si no cómo son los árboles que rodean la facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla… 😉

Foto de Zifra

—¿Jugamos al fútbol, Sal?

—Está lloviendo, Ven.

—¿En nuestro cuarto?

—Sabes que no nos dejan…

—Pues qué rollo de lluvia… –el pequeño frunció el ceño e hinchó sus carrillos.

—¿Qué les pasa a mis chicos? —Mati acababa de entrar en el salón.

—Que no podemos jugar a nada porque está lloviendo -protestó el gafotas. Ven seguía enfadadísimo con los mofletes hinchados.

—¡Tengo una idea! –propuso alegremente la pelirroja –Jugaremos a los piratas y así, de paso, os enseñaré para qué sirven las coordenadas polares.

—¿Polares? —preguntó Ven extrañado –Los piratas están en el Caribe, no en el Polo, Mati.

—¿Piratas en el hielo, Mati? —el gafotas también estaba muy sorprendido.

—No, no -la pelirroja rió alegremente –Las coordenadas polares no tienen nada que ver con los Polos Terrestres ¡Nada de esquimales esta tarde!

El pobre Gauss ladró con tristeza, ahora que había elegido el disfraz apropiado…

—Entonces, ¿por qué les llamas polares? —preguntó Sal.

—Porque vamos a dar unas coordenadas, ya sabéis, un nombre y un apellido, a cada punto de nuestro mapa en función de un polo (un punto especial), y no de un origen y unos ejes como hacíamos cuando vimos las coordenadas cartesianas.

—¿Sin ejes? —preguntó el pequeño.

—Sólo con un eje -contestó la gafotas.

—¡¿Cómo?! -preguntaron los dos hermanos a la vez.

—Veréis, os voy a dibujar un mapa del tesoro -propuso Mati y comenzó a dibujar en su cuaderno.

—Vosotros dos estáis junto a las palmeras y aquí —Mati señaló sobre el dibujo —tenéis el tesoro. Es así como lo pintaban los piratas, ¿no?

—Sí, claro –contestó Ven –pero este mapa es un poco tonto. Yo cruzaría el lago y llego antes.

—No, Ven, no podemos cruzar el Lago Llorón porque puede haber cocodrilos y es muy peligroso.

—Pero es más corto, por ahí , Sal.

—Sí, pero no sabemos a qué distancia del lago está el tesoro, ¿no te das cuenta?

—Pues vamos hasta la torre desde el lago, Sal.

—Tampoco sabemos a qué distancia está el tesoro de la torre… —el gafotas seguía contestando inmerso en sus pensamientos.

Ven se quedó un rato mirando el mapa de Mati y pensando. No podían empezar desde la Torre, ni desde las Rocas Burlonas…

—No tenemos más remedio que empezar desde las palmeras, parece…- terminó aceptando.

—Efectivamente, chicos. La única manera de encontrar el tesoro con este mapa es partiendo de las palmeras, porque los piratas han ido dejando las marcas usando coordenadas polares en cada uno de esos puntitos ¿Os explico cómo?

—¡¡Sí!! -contestaron al unísono. Gauss se quitó el gorro de pelo que lo estaba asfixiando.

—Vamos a eliminar los dibujitos del mapa y vamos a quedarnos sólo con la información que necesitamos para encontrar el tesoro –dijo Mati y dibujó en su cuaderno.

—Para encontrar el punto 1, el mapa nos indica una dirección (en dirección a las Rocas Burlonas) y una distancia (201 pasos), ¿no?

—¿Todos los piratas tienen el mismo número de pie? —preguntó Ven angustiado.

—No, pero eso hacía más emocionante la búsqueda –respondió Mati y continuó – Como os decía, para saber dónde está el punto 1 del mapa necesitamos 2 datos, la distancia y la dirección. Esos dos datos son lo que llamaremos coordenadas polares, el nombre y el apellido que identificará a cada punto del mapa.

—Entiendo, Mati –dijo Sal –el nombre es 201 pasos y el apellido es hacia las Rocas Burlonas, ¿no?

—Exacto, Sal –contestó ella –Sólo que en lugar de decir hacia las Rocas Burlonas, indicaremos el ángulo que forma esa dirección con la línea horizontal que sale de las palmeras.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola, Mati! —parecía que a Ven se le estaba pasando el enfado. Gauss seguía serio.

—¿Ves, Ven? Se pueden hacer cosas divertidas cuando llueve -contestó Mati sonriendo -Pues esta forma que tenían los piratas para señalar dónde habían escondidos sus tesoros, los matemáticos lo llamamos Sistema de Coordenadas Polares y es diferente al que os conté hace poco, el Sistema de Coordenadas Cartesianas, que se parecía al juego de los barquitos, ¿recordáis?

—Claro, Mati –contestó el gafotas.

—Para el sistema de coordenadas polares necesitamos un punto especial, al que llamamos polo u origen

—Eso es igual que en el sistema cartesiano –puntualizó Ven.

—Efectivamente, pero sólo un eje, lo llamaremos eje polar, y será una semirrecta que sale del polo, por ejemplo, horizontal y hacia la derecha.

—Vamos a ver cómo funciona este sistema de coordenadas. Ven, pinta un punto en algún sitio y llámalo A —el pequeño se apresuró a dibujar el punto —Para calcular las coordenadas polares de A necesitamos saber a qué distancia está del polo y qué ángulo forma con el eje polar el segmento que une al punto A con el polo.

—¡Yo! Yo lo mido con la regla –dijo Ven.

—Espera, te traigo mi transportador de ángulos para medir el ángulo –dijo Sal.

Los niños se pusieron mano a la obra y calcularon las dos medidas que les había pedido la pelirroja.

—9 centímetros y 30 grados –dijo el gafotas.

—Muy bien, chicos, eso significa que las coordenadas polares de A son (9, 30)

—¡Qué chulo, Mati! —el pequeño estaba radiante.

—Me encanta –dijo Sal.

—Me alegro, chicos. Ahora lo haremos al revés. Imaginaos que queremos saber dónde está el punto (4, 50) en nuestro mapa. Vamos a encontrarlo.

—¡Venga! —gritó Ven.

—Miramos la primera coordenada, 4. Eso significa que está a distancia 4 del polo, o sea, si pintamos una circunferencia de radio 4 alrededor del polo, será un punto de esa circunferencia.

—Como la segunda coordenada es 50 sabemos que el segmento que une al polo con el punto que estamos buscando forma un ángulo de 50º con el eje polar. Entonces, usando nuestra regla medidora de ángulos, dibujamos una semirrecta formando un ángulo de 50º con el eje.

—Ya está. El punto de coordenadas (4,50) es el punto donde se cortan la circunferencia y la recta.

—¡Toma, toma, toma! ¡Es chulísimo! —el pequeño Ven estaba entusiasmado.

—Entonces, los piratas, en realidad, usaban las coordenadas polares en cada punto,¿no?

—Eso es. Retomemos el mapa del tesoro sólo con puntos.

—Para llegar al punto 1 usamos como polo las palmeras y vamos al (201, hacia Rocas Burlonas), para llegar al punto 2 usamos como polo el punto 1 y nos movemos a (94, vieja torre); para llegar al tesoro usamos las polares desde el punto 2 y vamos a (63, cañones abandonados).

—¡Y el tesoro es nuestro! —Ven abrazaba al acalorado Gauss.

—¿Y tiene algo que ver con la Estrella Polar? —preguntó el gafotas.

—En cierto sentido, sí, puesto que es la que señala el eje de rotación de la Tierra y nos ayuda a ubicarnos —contestó la pelirroja —Las coordenadas polares son muy útiles en navegación y también en robótica, para programar las rutas de los robots indicando la dirección de movimiento y la distancia que debe recorrer en esa dirección.

—Wow… —Ven seguía entusiasmado.

—Bueno, bueno, creo que me merezco una merienda, ¿no? —dijo Mati guiñando un ojo.

—Sí, es hora de merendar –asintió Ven.

Nuestros cuatro amigos salieron hacia la cocina con Gauss a la cabeza.

—Si se llega a romper el hilo… ¡qué miedo, Sal!

—Bueno, Ven, es una leyenda mitológica, no es verdad.

—Ya, pero si se llega a romper el hilo…

—Bueno, no pasa nada. Si Teseo consigue derrotar al Minotauro, no tiene tanta prisa por salir.

—Claro, qué fácil lo ves todo, gafotas ¿Y si no consigue salir nunca del laberinto? ¿Y si tiene hambre? ¿Y si se hace de noche?

—Tarde o temprano saldría del laberinto…creo.

—Nunca más entraré en un laberinto, Sal.

— Pero, ¿qué les pasa a estos chicos que están tan serios? —Mati acababa de entrar.

—Hola, Mati —dijo Sal aún preocupado.

—Hola, Mati. Estamos leyendo la leyenda de Teseo y el laberinto y nos da mucho yuyu.

¿Yuyu, Ven? Pero si es sólo eso, una leyenda. ¿Por qué te va a dar yuyu? -contestó la pelirroja.

—Porque si se le rompe el hilo que le dio Ariadna, nunca saldrá del laberinto —contestó el pequeño Ven.

—En ese caso, os enseñaré alguna técnica más segura para salir siempre, y que no penda de un hilo —dijo Mati a la vez que les guiñaba un ojo.

Los niños se sentaron rápidamente en el suelo. Comenzaba la diversión.

—¿Sabéis? Cuando yo era pequeña —empezó a contarles Mati —en las fiestas de mi pueblo, una de mis atracciones favoritas era el laberinto de espejos.

—Con espejos, ¡cómo mola! —interrumpió el pequeño Ven.

—Sí, pero mareaba aún más. Bueno, pues para no perderme dentro del laberinto, lo que hacía es entrar con una mano, por ejemplo la izquierda, pegada a la pared y no separarla nunca durante el recorrido. Así siempre salía, porque la entrada y la salida, si es diferente, siempre están en esa parte del muro del laberinto.

—¿Y si no funciona, Mati? —preguntó el gafotas.

—Siempre funciona, Sal ¿Queréis que lo veamos con un ejemplo?

—¡Sí! —contestaron al unísono.

—Vamos a hacerlo en este laberinto. Entramos con la mano izquierda pegada a la pared, y con este marcador amarillo, vamos a ir dibujando el recorrido.

—El truco consiste en no despegar nunca la mano izquierda de la pared —les dijo la gafotas.

—Uy, yo no me fío… —Ven seguía con su carita de asustado.

—¿Me dejas el marcador, por favor, Mati? —preguntó Sal.

—Claro que sí, toma.

Sal cogió el marcador amarillo y continuó dibujando la ruta dentro del laberinto como si llevase su mano izquierda siempre pegada a la pared.

—Sal, ¿me dejas un poco a mí?

—Toma, un poco cada uno, ¿vale?

Los do hermanos se pusieron manos a la obra hasta completar el recorrido dentro del laberinto propuesto por Mati.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! ¡Y sin hilo ni nada! —los ojos de Ven se encendieron de alegría y tranquilidad.

—Pero este método no le hubiera servido a Teseo en el laberinto de Dédalo —dijo el gafotas muy serio.

—¿Por qué no, Sal? —preguntó su hermano, reprimiendo un poco su alegría.

—Porque no visita todas las estancias del laberinto ¿Qué pasa si el Minotauro está en esta sala de aquí? —Sal pintó una cruz roja sobre el plano del laberinto —Teseo no habría encontrado a la bestia y no habría podido derrotarlo, Ven.

—Toma, pues es verdad… Da igual, seguro que el Minotauro sí que encontraría al pobre Teseo…—La carita de Ven volvió a perder color.

—Sal tiene razón —intervino Mati —Este método sólo nos asegura poder hacer un recorrido por el laberinto sabiendo que encontraremos la salida, sin necesidad de hilo. Pero no asegura, en ningún caso, que pasemos por todas las salas o estancias del laberinto. Habrá que pensar otro método, ¿no os parece?

—Por favor, Mati, ¿nos lo cuentas?

—Con mucho gusto —respondió la pelirroja a la vez que hacía una cómica reverencia.

Ven abrazó fuertemente a Gauss, más de lo que le hubiese gustado a su mascota.

—Para ello vamos a entrar en el laberinto…

—Tú siempre con nosotros, ¿verdad, Mati?

—Claro, Ven, vamos los cuatro juntos. Como os decía vamos a entrar en el laberinto con unos rotuladores para ir dejando marcas, como una especie de hilo de Ariadna, pero que no se puede romper.

—¡Mucho mejor!

—Calla, Ven, no interrumpas a Mati…

—En realidad, lo que vamos a hacer es usar un técnica, conocida como búsqueda en profundidad. Podemos imaginar que en cada sala ponemos un punto, y pintamos, mentalmente, una línea uniendo entre sí a aquellos puntos que corresponden a salas que están unidas entre sí, que se puede pasar de una a otra. Lo que haremos es una búsqueda en profundidad en ese dibujo…

—No lo entiendo, Mati —reconoció Ven.

—Ni yo —añadió su hermano.

—Bueno, os cuento el método y ya veréis qué sencillito es. Comenzamos en la sala de entrada. En cada sala nueva que visitemos vamos a pintar un círculo amarillo, para indicar que ya hemos estado ahí…

—Mejor ponemos un gomet amarillo, ¿no?

—Bueno, como quieras, Ven —Mati le alborotó el pelo al pequeño —Y pondremos una flecha amarilla que indicara hacia donde vamos a movernos, y una flecha verde indicando de dónde hemos venido, ¿me explico?

—¡Perfectamente! —contestó Sal ávido por conocer lo que Mati estaba a punto de explicarles.

—Empezamos en la sala de entrada, pintamos un punto amarillo…

—O ponemos un gomet amarillo… —interrumpió el pequeño.

—Y elegimos una sala hacia la que movernos. Si tenemos más de una elección posible, vamos a escoger siempre, por ejemplo, la que esté más a la derecha, como en esta figura.

—Cuando llegamos a la siguiente sala, hacemos lo mismo. Círculo amarillo, flecha verde indicando desde donde venimos y flecha amarilla indicando hacia donde vamos, lo más a la derecha que podamos.

—Y otra vez hacemos lo mismo en la siguiente sala…

— ¿Qué hacemos en la siguiente sala, Mati? No podemos seguir por ningún lado —preguntó Ven.

—Cuando eso ocurra, bien porque no hay más que un camino de salida de esa sala, o bien porque la única posibilidad es pasar a una sala ya visitada, que tendrá su círculo amarillo, pintamos un círculo morado en esa sala y, después de haberla visitado, volvemos a la sala de la que veníamos.

—¿Qué hacemos ahora, Mati? —preguntó Sal.

—Desde este punto amarillo, ¿podemos ir a otra sala que no sea la morada y que no sea amarilla tampoco?

—¡Sí! —contestó Ven —a la que está más abajo.

—Muy bien, vamos para allá y pintamos nuestro círculos y nuestras flechitas —dijo la pelirroja.

—¿Puedo pintarlo yo, Mati? —preguntó Sal.

—Claro, cielo.

—¡Ahora yo, Mati! ¡Que la que viene es otra morada! —El pequeño Ven estaba emocionado.

—Muy bien, Ven —dijo Mati orgullosa — Entonces volvemos al amarillo del que veníamos y vemos si podemos ir a otro lado.

—¡Sí!Hacia la derecha —contestó el gafotas.

—Bueno, bueno, bueno…Parece que mis chicos van a encontrar al Minotauro…

—No digas eso,Mati, que me asusto…

—Ops, perdona, Ven. Os dejo seguir a vosotros…

Al cabo de unos minutos, Sal preguntó:

—¿Vamos bien, Mati?

—¿Bien, dices? ¡Lo estáis haciendo genial!

—¡Somos unos cracks! —dijo Ven con vehemencia.

—Vamos a terminarlo, Ven, que nos queda poco.

Los niños siguieron dibujando en el laberinto como Mati les había explicado, colocando un círculo amarillo en cada nueva sala, una flecha verde indicando de qué sala venían y otra amarilla indicando hacía dónde se iban a mover. Cuando no había posibilidad de moverse a otra sala que no hubiese sido ya visitada, cambiaban el círculo amarillo por uno morado y se iban a la siguiente según la dirección de la flecha verde.

—¡Ya está, Mati! —gritó el pequeño.

—¡Perfecto, mis Teseos! No os habéis dejado ni una sala sin mirar —dijo Mati orgullosa.

—Pero es un poco lío, ¿no crees? —protestó el pequeño.

—Vamos a dibujar una línea que siga el recorrido que habéis hecho para ver si lo veis mejor.

—¡Toma, toma, toma! ¡Qué chulo, Mati! ¡Me encanta! —Ven saltaba alrededor de Mati y su hermano.

—Sí, la verdad es que me gusta mucho a mí también, Mati —reconoció Sal satisfecho.

—Este método sí que asegura que Teseo encontrará el Minotauro, cosa que el uso del hilo de su amada Ariadna no podía asegurar.

—Pobre, Minotauro…—dijo Ven con pena —Todos estaban contra él, a lo mejor no era tan malo, a lo mejor sólo atacaba a los que entraban porque él también estaba asustado…

—No te pongas así de triste, Ven, es una leyenda —dijo su hermano mientras le pasaba un brazo sobre los hombros.

—Efectivamente. Sal tiene razón, Ven, es sólo una leyenda. ¿Sabéis qué? Se me apetece de pronto pasear por un laberinto, ¿nos vamos al jardín del Alcázar?

—¡Sí! Con nuestro método, no nos perderemos y veremos todo el laberinto —contestó el gafotas muy contento.

—Sí, claro, pero como vamos a pintar en los arbustos, no se pueden pegar los gomets…—respondió Ven preocupado —Yo me voy a llevar el hilo por si acaso… Por cierto, ¿habéis visto la madeja que me dio la abuela para jugar a los indios?

FIN

“—¿Lo creerás, Ariadna? —dijo Teseo —El minotauro apenas se defendió.” J.L.Borges

—Fuencarral es mía, así que, ¡paga, paga, paga! —gritó Sal con entusiasmo.

— Otra vez, ¡qué rabia! —protestó Ven enfurruñado.

—Lo siento, Ven, el juego es el juego. Peor es si caes en el Paseo del Prado…

—Toma, pesado.

Sal se dispuso a contar el dinero que su hermano pequeño le había entregado.

—¡Qué morro tienes, Ven! ¡Éste lo has pintado tú!

—¿Yo? No, de verdad —contestó el pequeño sin mirar de frente a su hermano.

—No disimules, se nota perfectamente ¡Los números están torcidos! ¡Es falso!

—Pero bueno…¿qué pasa aquí? —Mati acababa de llegar.

—¡Hola, Mati! —saludó Ven con alegría mientras la abrazaba para huir de la mirada

inquisidora de su hermano.

—Hola, Mati —saludó el gafotas —Ven ha intentado pagarme con dinero falso,

¡es un tramposo! —terminó diciendo mientras se acercaba a abrazar a su amiga pelirroja.

—Pero si todo el dinero del monopoly es falso, ¿qué te crees? —intentó defenderse

desesperadamente Ven .

—Ya, pero…bueno, el que tú has pintado es falsísimo, ¡peor que falso! —las gafas de

Sal se resbalaron por su naricilla.

—Uy, ¿sabéis qué? —interrumpió Mati —Me habéis recordado un acertijo sobre monedas buenas y falsas —la gafotas hizo una pausa dramática —Pero, probablemente, es un poco complicado para vosotros.

—¿Cómo es? —preguntó el gafotas mientras se las colocaba de nuevo en su sitio y se le iluminaban los ojillos.

—¡Sí, sí, sí! —gritaba Ven nervioso — Cuéntanoslo, por fi, por fi, por fi…

—Está bien — contestó satisfecha la pelirroja.

Los niños se sentaron en el suelo. Gauss se pavoneó aún un rato más con su sombrero.

—Ya veréis. Tenemos 10 amiguitos que llevan 10 monedas cada uno en sus bolsillos. 9 de ellos tienen monedas auténticas, que sabemos que pesan 10 gramos, y uno de ellos tiene sólo monedas falsas que pesan 11 gramos…

—Tan falsas como el billete de Ven…—masculló Sal. Su hermano le sacó la lengua con disimulo.

—La pregunta es —continuó Mati — ¿Podéis detectar quién de ellos tiene sólo monedas falsas pesando sólo una vez?

Lo niños se quedaron muy serios pensando, Gauss siguió jugando con su bastón.

—Imposible, Mati —Ven fue el primero en rendirse.

—¿Sal? —dijo ella.

—No se me ocurre, Mati —terminó reconociendo Sal con pena.

—Pues, veréis. Numeramos a los amiguitos del 1 al 10. Y le pedimos 1 moneda al primero, 2 monedas al segundo, 3 al tercero, 4 al cuarto…Y así, sucesivamente, hasta el décimo que le pedimos las 10. ¿Cuántas monedas tendremos?

—¡Toma, toma, toma! Eso lo sé, lo descubrió Gauss cuando pequeño, nos lo contaste. Era 11, el primero más el último, multiplicado por la mitad de los niños, 5.

—55 —terminó de decir Sal.

—¡Muy bien, chicos! —dijo Mati orgullosa —Si las 55 monedas fueran auténticas, deberían pesar ¿cuánto?

—¡550! —gritó Ven asustando al pobre Gauss.

—Pues bien, si pesamos y tenemos 557 gramos… —dijo la gafotas.

—¡El niño número 7 tiene las monedas falsas! —concluyó Sal con otro grito, asustando de nuevo a la pobre mascota.

—¡Tomaaaaaa! ¡Cómo mola, Mati! —el pequeño Ven tenía los ojos como platos.

—¿Otro, chicos?

—¡Sí! —gritaron al unísono los dos hermanos.

—Ahora tenemos 5 monedas, y sabemos que una de ellas es falsa, pero no sabemos cuál, sólo que pesa distinto de las demás. Además, tenemos una moneda aparte que sabemos que es auténtica. Ahora usaremos una balanza de platillos, que se inclina hacia el platillo que pesa más, o se queda en equilibrio si los dos platillos pesan lo mismos, ¿me explico?

—Perfectamente —contestó el gafotas.

—Tenéis que detectar la moneda falsa…

—Qué fácil, Mati, pones en un platillo cada una de las 5 monedas, una cada vez, y en el otro platillo, la moneda auténtica. Ya está —Ven sonrío triunfalista.

—Muy bien, pero sólo te dejaré usar la balanza 2 veces —dijo Mati.

—Pues vaya…—protestó el pequeño.

—Si pones 3 y 3 en cada platillo…. —mascullaba Sal —…si el platillo con la buena pesa menos…en el otro hay una que pesa de más…

—O en el platillo de la buena hay una que pese menos, ¿no, Sal? —preguntó su hermanito.

—Eso es verdad…o sea que no sirve de nada esa pesada —concluyó Sal muy serio.

—¿Cómo es, Mati? —la impaciencia de Ven hablaba por él.

—Venga, vale, me rindo —aceptó el gafotas.

—Vamos a coger sólo 3 monedas de las 5 y pesaremos, 2 de ellas en un platillo, y la otra, junto con la auténtica, en el otro platillo.

—¿Qué pasa con las otras, Mati? —se preocupó Ven.

—Tranquilo, pequeño, ya verás ¿Qué podríamos adivinar si la balanza se queda en equilibrio?

—¡Que los dos platillos pesan lo mismo! —dijo Ven con alegría.

—¿Que las cuatro monedas que hemos pesado son auténticas? —preguntó el gafotas.

—Exacto, los dos tenéis razón. Hay que buscar la moneda falsa entre la 4 y la 5, y nos queda una pesada. ¿Qué hacemos?

—Pesamos las 4 y la auténtica. Si pesan iguales la falsa es la 5, y si pesan distinto, la falsa es la 4, ¿no, Mati? —Ven miraba nervios a la pelirroja esperando la respuesta de ésta.

—¡Muy bien, Ven, así es!

—¡Toma, toma, toma! ¡Soy un crack! —Ven movía los brazos de arriba a abajo con los puños apretados.

—Eso si en la primera pesada hay equilibrio, pero… —continuó Mati —¿y si la balanza se inclina hacia el platillo que contiene la auténtica?

El gafotas se apresuró a contestar:

—En ese caso, o bien la 1 o bien la 2 es falsa y pesa menos, o bien la 3 es falsa y pesa más.

—Bravo, Sal —contestó ella —Nos queda una sola pesada, ¿qué hacemos?

Los niños estuvieron un rato cuchicheando entre ellos, las tripas de Gauss eran la música de fondo. Y es que a nuestro amiguito pensar le da hambre.

—¡¡Lo tenemos, Mati!! —gritó Ven acallando las tripas de su mascota.

—Sí, sólo tienes que pesar la 1 y la 2. Si pesan iguales, la falsa es la 3, que pesa más. Y si no pesan lo mismo, la falsa será la que pese menos, porque sabemos que en ese platillo, si hay una falsa, es más ligera.

—Pero, bueno… Muy bien, chicos, eso es —Mati revolvió el pelo de los dos niños que se estremecieron de gustito.

—Y si el platillo se inclina al contrario, Mati, se hace igual, pero al revés —el gafotas estaba lanzado.

—Exacto. Y pensar que yo pensaba que estos acertijos eran muy complicados para vosotros…

—¡Otro, otro! —pidió el pequeño Ven.

—Bueno, vosotros lo habéis querido —Mati guiñó un ojo y puso voz de presentadora de concurso —Ahora tenemos 12 monedas. Sabemos que una es falsa, porque pesa diferente…

—¿Cuántas pesadas? —quiso saber Sal.

Mati hizo una pausa dramática de silencio mientras miraba a los ojos primero a Sal, luego a Ven, otra vez a Sal, otra vez a Ven… Las orejas de Gauss se pusieron tiesas…

—Tres —dijo la pelirroja con voz de mala, malísima de película —Y quiero saber si la moneda falsa pesa más o menos que la auténtica, ¿eh?

—¿¿Sólo tres?? —preguntó el gafotas sorprendido.

—Es broma, Sal, ¿verdad, Mati?

—No, no es broma —dijo y los miró, cómicamente, desafiante.

Sal y Ven montaron su gabinete de lucha contra el fraude, cuchicheaban en voz baja tratando de resolver el reto propuesto por su amiga gafotas.

—6 y 6 no sirve para nada, porque no sabemos si la falsa pesa más o menos…—razonaba Sal.

—¿Y si ponemos 5 y 5, dejando 2 monedas fuera como antes? —sugirió el pequeño.

—Pero ahora no tenemos moneda auténtica para comparar, Ven.

—Toma, claro, es verdad…

Al cabo de unas cuantos intentos improductivos…

—¿Nos rendimos, Sal?

—Sí, no se me ocurre. Nos rendimos, Mati.

—Éste es un poco más complicado, ¿eh? No os desaniméis. Empezamos con cuatro monedas en cada platillo…

—¡Cachis! Casi lo dijimos… —Ven apretó los labios contrariado.

—Ven, calla, deja hablar a Mati.

— ¿Qué pasa si los 2 platillos pesan lo mismo? —les preguntó.

—Que las 8 son auténticas —dijo Ven

—¡Claro! Y ahora sólo tenemos que buscar entre 4 monedas y además, tenemos 8 auténticas que podemos usar para comparar —los ojos de Sal brillaban como estrellas.

—Eso es, chicos, ¿cómo seguimos?

—Pues no sé… —dudaba Sal —¿La 9 y la 10 en uno, y la 11 y la buena en otro?

—Eso es, Sal ¿Qué sabremos si la balanza queda en equilibrio?

—¡Que la moneda falsa es la 12!

—Muy bien, Ven.

—¡Toma, toma, toma! ¡Y nos sobra una pesada! ¡Mola!

—No, Ven —intervino Sal —Tenemos que saber si la moneda 12 es más ligera o más pesada que la auténtica. Necesitamos la tercera pesada.

—Tengo que reconocer que estoy maravillada con vuestras deducciones, chicos.

—Es que somos unos buenos detectives…—respondió Ven con cara de pillo.

—Lo sois, sin duda —Mati le guiñó un ojo —Seguimos. Ya sabemos como proceder si la segunda pesada deja la balanza en equilibrio. Pero, ¿y si no la deja? ¿Y si se inclina hacia el platillo con la 9 y la 10?

—Entonces, tenemos dos sospechosas de falsas monedas más pesadas, la 9 y la 10, y una sospechosa de ser más ligera, la 11 —dijo el gafotas.

—¡Pues comparemos la 9 y la 10! —sentenció el pequeño —Si una de ellas pesa más, es la falsa. Y si las 2 pesan iguales, la falsa es la 11 y pesa menos.

Mati sonreía satisfecha mientras ilustraban las posibilidades en la pizarra.

—Mati, ¿puedo intentar hacer yo el esquema en el otro caso? —preguntó el gafotas.

—Claro, ¿por qué no?

—¡Fantástico! —dijo Mati con orgullo provocando la pelusilla de Gauss —Por lo tanto, si al comparar las 8 primeras monedas, 4 en cada platillo, la balanza se queda en equilibrio, ya lo tenemos.

Los niños sonreían satisfechos, Gauss decidió ir a merodear un rato…

—Vamos a ver cómo proceder si no es así, si al pesar las primeras 8 monedas no hay equilibrio porque, por ejemplo, se inclina hacia el platillo con la 5, la 6, la 7 y la 8.

Sal y Ven arrugaron sus ojillos en actitud de pensar mucho, pero mucho, muchísimo, durante unos segundos.

—Ahora, Mati, tenemos 4 monedas sospechosas de pesar menos y 4 monedas sospechosas de pesar más —empezó diciendo Sal.

—¡Y 4 monedas que sabemos que son auténticas, las 4 que no hemos pesado! —puntualizó su hermanito —Y que podemos usar para comparar.

—Eso es ¿Cuál es la segunda pesada, chicos?

El gabinete contra el fraude estuvo dándole vueltas un buen rato, sin encontrar ninguna propuesta que les gustara, aceptando finalmente su rendición.

—Bueno, ésta es un poco más complicada. Os cuento: en un platillo pondremos una sospechosa de ligera, una sospechosa de pesada y la buena; en el otro, 2 sospechosas de ligera y una sospechosa de pesada.

Los niños no dijeron nada, sólo abrieron sus ojos al máximo.

—Si la balanza queda en equiibrio —continuó la gafotas —será porque las 6 son auténticas, sólo quedan 3 sospechosas, la 4, la 7 y la 8.

—Entonces, sólo tenemos que comparar las 2 que son sospechosas de falsas por ser más pesadas —Sal no podía disimular su emoción.

—¡¡Toma, toma, toma!! ¡¡Alucinante!! —Ven abrazó a su hermano con tanto ímpetu que las gafotas de Sal cayeron al suelo. Éste las recogió sin poder dejar de sonreír.

—¿Y si no hay equilibrio? —preguntó una Mati henchida de orgullo de sus amiguitos.

— Las sospechosas serán las sospechosas por pesadas que estén en el platillo más pesado, y las sospechosas por ligeras que estén el platillo que pese menos —explicó Sal.

—Y ahora a comparar las dos sospechosas por ligeras —dijo el pequeño

—Vaya, vaya, vaya… Estoy maravillada con vuestras deducciones. Ya casi lo tenéis. Sólo os queda el caso en el que el platillo con la 2, la 3 y la 6 es más pesada que la 1, la 5 y la buena…

Los niños se pusieron mano a la obra terminando de analizar este último caso en la pizarra de Mati

—Ya está, Mati —dijo Sal satisfecho mientras se subía las gafotas con su dedo índice, mientras Ven daba vueltas tapándose la cara con la parte delantera de su camiseta, gritando algo ininteligible.

—Muy bien, chicos, muy, muy bien —dijo Mati —Esto se merece unas monedas, pero de chocolate, ¡os he traído 18! —la pelirroja guiñó un ojo —Pero, ¿dónde las puse yo al llegar? Juraría que las dejé aquí junto al teléfono…

FIN