Sigue al conejo blanco

–Claramente es un guiño a Alicia en el País de las Maravillas, Ven.

–Vale, profeta, el propio Morfeo le ha dicho a Neo que si toma la píldora roja entrará en la madriguera del conejo blanco y llegará al País de las Maravillas, o sea, a Matrix.

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Nuestros amigos Sal y Ven, que han crecido mucho desde la última vez que estuvimos con ellos, han estado viendo, como ya habrás imaginado, la película Matrix. Cuando el mayor, Sal, habla del guiño al libro de Lewis Carroll, Alicia en el País de las Maravillas, se refiere a una de las primeras escenas de la película en la que el protagonista, Neo, recibe un mensaje en su ordenador:“Follow the white rabbit” (“Sigue al conejo blanco”). Y ya, no contamos más que no queremos hacer spoiler para aquellos que aún no la hayáis visto.

–No te pongas así, Ven, solo era un comentario por si no te habías dado cuenta.

–Ya, porque tú eres más listo, ¿no?

–Anda ya, no seas susceptible y dramático. ¿Tú que harías en el lugar de Neo? ¿Elegirías la píldora azul y seguirías viviendo en el mundo que conoces sabiendo que no es real? ¿O te tomarías la píldora roja para seguir al conejo blanco?

–Huy, píldoras y conejos blancos… –Mati entraba en ese momento en la sala –. No sé si me va a gustar esta conversación.

–Ay, hola Mati, no te escuchamos entrar. –dijo Ven y se acercó a saludar con un beso a su amiga.

–Hablábamos de Matrix y de las píldoras que Morpheus le ofrece a Neo –añadió su hermano mientras se acercaba a saludar también. Gauss no dijo nada porque estaba dormido, se quedó frito en cuanto empezó la película. Sí, es un perro sin sensibilidad para estas cosas pero le queremos igual, ¿eh?

–Vaya, eso me tranquiliza –dijo la pelirroja guiñando un ojo y añadió–. No quiero que bailéis con ningún conejo blanco.

Los dos hermanos se miraron extrañados uno al otro primero y luego se quedaron mirando con esa misma expresión a Mati.

–Bah, no me hagáis caso, simplemente me acordé de una cosa que no viene al caso.

–Pues ya nos la tienes que contar, ya sabes –apostilló Ven también con un guiño.

–Vaaaale, os la cuento. Tiene que ver con Michael Jackson.

Sal y Ven se miraron mitad sorprendidos mitad expectantes, con las narices arrugadas. Es una pena que Gauss siguiera dormido porque él adora las canciones del rey del pop y siempre movía la cola cuando pronunciaban su nombre. Mati continuó:

–Como sabéis, Michael murió en el verano de 2009 a causa de una sobredosis de medicamentos que le administró su médico personal para que pudiese dormir. Pues bien, parece ser que el detonante para la muerte pudo ser un medicamento, el propofol, que se usa principalmente como anestésico en los hospitales y, por lo tanto, muy potente.

–Muy bien, ¿y qué tiene que ver con el conejo, Mati? –preguntó Ven.

–Ah, eso, claro. Alguna gente le llama ‘bailar con el conejo blanco’ a la sensación que experimentan cuando les inyectan proponol. Supongo,yo no lo he probado ni ganas, que porque sienten que caen por una madriguera hasta que se quedan dormidos. Y, de hecho, cuando juzgaron a Conrad Murray por la muerte de Michael Jackson, en la sala del tribunal alguien, no sabemos quién, dejó un conejo blanco de peluche cerca de donde se sentaba él.

–Vaya historia, Mati –dijo Sal –, ¿todo eso se te viene a la cabeza cuando oyes hablar de un conejo blanco? ¿No es más fácil que te acuerdes solo de Alicia? Los matemáticos sois raros…

Mati estalló en una carcajada y trató de defenderse:

–No, hombre –dijo entre risas –. A los matemáticos si nos hablas de conejos pensamos, ipso facto, en Fibonacci, ¡claro!

–¡Claro! –exclamó Ven –, la sucesión de Fibonacci. Ya me acuerdo. Nos la explicaste con conejos hace tiempo.

–Oh, sí, hace mucho tiempo, eráis muy pequeños… –Mati dejó escapar un suspiro.

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Foto del día en que Mati explicó la sucesión de Fibonacic a Sal y Ven, el 31 de diciembre de 2011.

–Bueno, pero lo que necesito que recordéis hoy es cómo se calculaban los términos de la sucesión, ¿os acordáis?

–Sí, claro –se apresuró a contestar Sal –, se empieza con el 0 y el 1 y a partir de ahí cada término es la suma de los dos términos anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc.

–No, Mati nos enseñó empezando con 1 y 1 –interrumpió Ven –, porque empezamos con una pareja de conejos. Pero, bueno, da lo mismo, salvo el primer 0 la sucesión es la misma.

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–Ajá, perfecto. Ahora necesito un tablero de ajedrez y una moneda –continuó Mati –. Bueno, algo más simple, una hoja de papel cuadriculado y una moneda.

Ven fue a su cuarto a buscar lo que había pedido Mati, Sal aprovechó para acariciar a Gauss que se acababa de despertar y, bueno, para escaquearse de subir a buscar el papel cuadriculado. Cuando el pequeño bajó con el papel, Mati sacó una moneda y les propuso:

–Os voy a proponer un juego, se llama el juego de Wythoff. Sobre este papel cuadriculado vamos a poner, al azar, nuestra moneda en una de los cuadrados. Por turnos, vais a mover la moneda de alguna de las 3 formas que os propongo: (1) hacia abajo todas las casillas (cuadrados) que queráis, (2) hacia la izquierda todas las casillas que queráis o (3) en diagonal, hacia la izquierda y hacia abajo, todo lo que queráis. Gana el que consiga llegar con la moneda a la meta que está en la casilla más a la izquierda y más abajo, la que he coloreado de rojo.

Wythoff 1
El objetivo es alcanzar la casilla de la esquina inferior izquierda, la que aparece sombreada en rojo.

–Parece fácil… –dijo Ven haciéndose el interesante.

–Aún no he terminado de proponeros el juego –continuó ella –. Os digo que en este juego están escondidos los conejos de Fibonacci, ¿os atrevéis a buscarlos?

–¿Cómo que se han escondido los conejos, Mati? –preguntó Sal intrigado.

–Eso es precisamente lo que tenéis que averiguar, ¿dónde y cómo se han escondido?

–Supongo que te refieres a la sucesión de Fibonacci –apuntó Ven –, pero tampoco se me ocurre cómo. Porque en principio, el número de casillas que elijamos para cada movimiento Sal y yo no tienen por qué seguir ninguna regla, ¿no?

Mati asintió victoriosa, los chicos se quedaron mirando el papel y Gauss ladró solo para reclamar un poco de atención, se había despertado mimoso y nadie le hacía caso. Al cabo de unos minutos, la pelirroja les dijo:

–Os lo voy a contar, no es fácil. De hecho, un pelín rebuscado pero es maravilloso. Lo primero que haremos es preguntarnos si este juego siempre tiene ganador, es decir, ¿la partida puede quedar en tablas? ¿Puede haber empate?

–No, uno de los dos jugadores seguro que gana –dijo Sal –, el juego tiene que terminar, porque solo se puede ir hacia abajo y hacia la izquierda, no se puede volver atrás..

–Eso es –confirmó ella –, por lo tanto tenemos que el juego es finito (no podemos jugar indefinidamente) y no puede acabar en empate. Con estas dos condiciones (finito y sin empate), y gracias a nuestro John Nash, sabemos que para este juego uno de los jugadores tiene siempre una estrategia ganadora: uno de los dos tiene movimientos que le garantizan ganar.

John Nash by Raquel GU

–¿Y cuál es la estrategia ganadora, Mati? –preguntó Ven.

–Eso no nos lo dice Nash pero vamos a construirla nosotros. Paso a paso.

–Vamos –añadió Sal impaciente. Gauss ladró con ganas para insuflar energía a sus dueños.

–Lo primero que haremos –comenzó a decirles Mati –será ponerle nombre a las casillas del tablero para poder referirnos a ella. A la casilla de la meta la nombramos (0,0) y a partir de ella nombramos a las demás con un par ordenado (a, b) en el que a indicará la fila en la que está (comenzando en 0 para la fila de abajo) y b nos dirá en qué columna está (comenzando en 0 para la columna más a la izquierda). Nos quedaría algo así:

Wythoff 2

–Lo que parece claro es que si un jugador deja la moneda sobre la misma fila, sobre la misma columna o sobre la misma diagonal que ocupa la meta, el siguiente gana en un solo movimiento –continuó la pelirroja –. Marcamos esas posiciones en amarillo en nuestra cuadrícula, ninguna de ellas sería una posición deseable para poner la moneda en nuestro turno, porque le daríamos el triunfo a nuestro contrincante. Todas las casillas amarillas serán casillas perdedoras.

Wythoff 3

–Las amarillas son casillas losers –interrumpió Ven haciéndose el chulito.

–Calla, Ven –le cortó su hermano, impaciente por conocer la estrategia ganadora.

–No, me gusta –dijo Mati –: las llamaremos casillas losers porque si dejamos la moneda en alguna de ellas le daremos el triunfo a nuestro adversario.

Ven sonrió de medio lado con aire de triunfador, Gauss se puso al lado de Sal. Él es así, nunca le gustaron demasiado los anglicismos.

–Si os fijáis –siguió ella –, hemos descubierto dos casillas ganadoras: la (1,2) y la (2,1).

–¡Las llamaremos casillas pobediteli! –gritó Sal.

Mati, Ven y Gauss le miraron con los ojos de par en par esperando que explicara por qué ese nombre. El gafotas les dijo:

–Es como se dice ganadoras en ruso, a mí me gusta más en ruso que en inglés.

–¡Pero esa palabra es muy complicada, gafotas! –se quejó el pequeño.

–No, de hecho, he elegido esa que, en realidad, significa ganadores porque ganadoras sería vyigrysh que sí que es más difícil de pronunciar.

–¿Has aprendido ruso, Sal? –le preguntó Mati.

–No, lo he buscado en el traductor de Google mientras coloreabais de amarillos las losers –respondió él y añadió –. Acepto que las llamemos casillas pobes que es más cortito pero inspirado en el ruso, ¿vale, Mati?

–Por mí, está bien, Mati –dijo Ven al que, en el fondo, le molaba la idea de su hermano. Gauss se puso junto a Mati, no tenía una opinión formada sobre adoptar palabras rusas en el vocabulario pero suele ser así, equidistante cuando nota tensión en el ambiente.

–Muy bien –dijo ella –, como os decía hemos encontrado dos casillas ganadoras, digo dos casillas pobes: la (1,2) y la (2,1). Las pintamos en verde.

Wythoff 4

–¿Cómo sabes que son pobes, Mati –preguntó el pequeño que es bastante novelero y había aceptado con gusto la palabra inspirada en el ruso.

–Si consigues llegar con tu moneda a una de ellas ya has ganado, Ven. Tu adversario solo puede alcanzar desde ellas las casillas: (0,2), (0,1), (1,1), (1,0) y (2,0). Las 5 son casillas losers (están coloreadas de amarillo) y en el siguiente movimiento tú llegas a la meta.

–Aaaaah, es verdad… –asintió.

–Por lo tanto –siguió Mati –, caiga donde caiga la moneda, el jugador que llegue a una de las casillas pobes habrá ganado la partida. Las podemos tratar como metas del juego también.

–Eso es… –dijo Sal que se estaba emocionando con el análisis del juego.

–Por la misma razón que antes, si dejamos nuestra moneda en la misma fila, en la misma columna o en la misma diagonal que una pobe, habríamos perdido. Porque eso le daría la opción a nuestro rival a moverse hasta la pobe y ganar. Vamos, entonces, a pintar de amarillo todas las casillas que nos permiten llegar a la casillas (1,2) y (2,1); esto es, las de sus filas, ,sus columnas y sus diagonales hacia arriba y a la derecha.

Wythoff 5

–Todas esas amarillas son losers, ¿verdad, Mati? –preguntó Ven.

–Efectivamente, desde cualquiera de ellas se pueden alcanzar o la meta o las pobes marcadas en verde que dan la victoria. Y, de paso, descubrimos dos nuevas pobes: la (3,5) y la (5,3); las primeras que no conducen ni a la meta, ni a las otras pobes.

Wythoff 6

–Ah, claro –afirmó Ven –, lo veo claro. Si me coloco en la (3, 5) o en la (5,3) mi rival está obligado a moverse a una amarilla que o me lleva a la meta o a otra pobe

–Es lo que acaba de decir Mati, Ven…

–Bueno, vale, gafotas, me lo repetía para afianzar las ideas, ¿vale?

–¿Qué tenemos que hacer ahora, chicos?

–Pintar de amarillo las casillas que pueden llegar a las nuevas pobes –dijo Ven –, esas serían losers porque desde ella llegamos a las pobes y fin, ganamos.

–Eso es –afirmó ella –. Las pintamos.

Wythoff 7

–Ya sé cuál son las siguientes pobes, Mati –se apresuró a decir Ven –: la (4,7) y la (7,4).

–Eso es, Ven –dijo Mati –, muy bien.

Wythoff 8

–Y ahora hay que pintar de amarillo, de losers, las casillas de sus filas, sus columnas y su diagonal, ¿no? –preguntó Sal.

–Sí, camarada –respondió Mati con un guiño.

Wythoff 9

–Ajá –dijo Ven –, ahí están las nuevas pobes (6,10) y (10,6). Y fin.

Wythoff 10

–Bueno, fin en este tablero — corrigió Mati –, si el tablero es más grande tendríamos que seguir buscando losers y pobes. Pero pensemos en este tablero, por ahora: la estrategia ganadora consiste en moverte de pobe a pobe.

–Pero esta estrategia ganadora ¿es para el primer jugador o para el segundo? –quiso saber Sal.

–Depende –dijo Mati –. Como os dije al principio, al comienzo del juego la moneda se coloca al azar. Si partimos de una casilla amarilla la estrategia ganadora es para el primer jugador que se moverá a una pobe y ya habrá ganado; si partimos de una casilla verde el primer jugador tiene que moverse a una amarilla con lo cual la estrategia ganadora es para el segundo jugador.

–Sí, claro –continuó Sal –. La gracia está en que de una casilla verde no puedes moverte a una verde pero desde cualquier amarilla siempre puedes llegar a una verde. Por eso, si conoces las casillas pobes y consigues colocarte en una el otro jugador jamás podrá llegar a una casilla verde…

–Eso es –dijo ella –, si pintamos el grafo que modela el juego, las casillas verdes y la meta serían los vértices de lo que se conoce como el núcleo del grafo

–Ya me extrañaba a mí que no hubiese grafo escondido… –se burló Ven.

–¿Ves? No podía defraudarte, Ven, sé que te encantan los grafos –respondió Mati con un guiño –. Vamos a pintar el grafo que representa a este juego pero para un tablero 3 x 3 porque en otro caso no se verían bien las flechas. Tendríamos que poner un punto (vértice) por cada casilla e indicamos con flechas (aristas dirgidas) los posibles movimientos entre casillas para el juego de Wythoff. Nos quedaría algo así:

Digrafo Wythoff 1

–Sí, es verdad, que lío de flechas, Mati –dijo Ven.

–Ya, por eso solo hemos dibujado el grafo para el tablero 3 x 3. En realidad, a este tipo de grafos con flechas, los llamamos grafos dirigidos o digrafos. Por eso, porque las aristas que unen los puntos tienen dirección, son flechas. Pues bien, vamos a colorear de rojo, además de la meta, las dos únicas pobes (casillas ganadoras) que aparecen en este digrafo, que serían las (1,2) y la (2,1):

Digrafo Wythoff 2

–Como os decía esos 3 vértices rojos forman lo que en Teoría de Grafos llamamos el núcleo del grafo porque esos 3 vértices forman un conjunto independiente (no existen flechas entre dos de ellos) y absorbente (desde cualquier punto azul existe una flecha que lo conecta con uno de los rojos) –les dijo Mati.

–Es verdad… –se asombró Ven –, qué guapo.

–Es muy guapo, sí –dijo ella –, sobre todo, porque esta estrategia ganadora, la de moverse en el núcleo del digrafo que modela el juego sirve para cualquier juego que se pueda representar con un digrafo: bastaría con calcular un conjunto núcleo de vértices (de puntos) que contengan al vértice meta u objetivo. Una vez que un jugador accede a un vértice o casilla del núcleo, ya no lo pueden sacar de él.

–¿Seguro? –preguntó Sal-

–Segurísimo –respondió tajante Mati –. Si yo me coloco en un vértice o casilla del núcleo, en el siguiente movimiento tú no puedes llegar a otro vértice del núcleo también, porque forman un conjunto independiente, no están conectados.. Fíjate en el dibujo de nuestro digrafo, de un vértice rojo no se puede llegar a otro vértice rojo.

–Cierto, cierto… –susurró Ven.

–Pero además –continuó ella –, elijas el vértice azul que elijas para moverte yo siempre podré volver, en el siguiente movimiento, al núcleo, a un vértice rojo, porque estos vértices (los rojos, los del núcleo) forman un conjunto absorbente, es decir, desde cualquier punto fuera del núcleo (desde cualquier punto azul) existe una flecha que lo lleva a un punto rojo.

–Qué chulo –dijo Ven ensimismado.

–Lo es, sin duda –confirmó Mati –. Se trata, por lo tanto, de caminar sobre las casillas del núcleo hasta llegar a la meta.

–¿Y no puede ocurrir que entres en un bucle de movimientos entre casillas rojas y no llegues nunca a la meta? –preguntó Sal.

–No, en este juego no, siempre avanzamos hacia la izquierda y hacia abajo.

–¿Y hay más juegos con núcleos de estos, Mati? –preguntó Sal.

–Sí, muchos. De hecho os conté uno de ellos, sin deciros nada del núcleo porque eráis pequeños, pero era eso lo que calculábamos aquí. Las baldosas amarillas eran el núcleo:

mati 51 nucleo
Imagen del capítulo “El primero que diga 51, gana” de este mismo blog . Pincha sobre la imagen si quieres leerlo.

–Ay, qué tramposilla… –dijo Ven a Mati.

–Bueno, te lo estoy contando ahora que eres mayor, ¿no? –respondió la gafotas — La estrategia ganadora del juego de Wythoff también se puede explicar sin hablar de digrafos y núcleos, depende de a quien se la estés contando.

–La verdad es que es todo muy sorprendente, Mati –dijo Sal sonriendo.

–Hey, pero queda mucho más –les advirtió la pelirroja –. Aún no hemos encontrado los conejos.

–¡Es cierto! –gritó Ven — ¿Dónde están?

–Volvamos al juego de Wythoff y a las casillas, ¿cómo se llamaban las ganadoras?, pobes, ¿verdad?

–Sí, sí, pobes –dijo el gafotas.

–Vamos a fijarnos en los nombres de las casillas pobes y a analizar algunos aspectos. Lo primero de los que uno se da cuenta es de que si está la casilla (a, b) entre las pobes también estará la casilla (b, a). Es decir, si está (1, 2) está la (2,1), si está la (3, 5) está la (5, 3), etc… Eso es fácil de deducir por la simetría del juego, ¿no? Los movimientos horizontales y verticales son intercambiables.

Los chicos escuchaban con atención, Gauss ladró simplemente porque hacía muchas líneas que no hablábamos de él en este capítulo.

–De hecho, si aparece una casilla pobe en la fila 1, por ejemplo la (1,2), ya sabemos que no habrá otra casilla pobe cuya primera coordenada sea 1, puesto que al aparecer la (1,2) eliminamos (pintando de amarillo) todas su fila. Y también su columna, con lo que sabemos que no habrá ninguna otra pobe con la segunda coordenada igual a 2. También sabemos que no habrá ninguna casilla ganadora o pobe con las dos coordenadas iguales, por ejemplo (20, 20), porque estarían sobre la diagonal de la meta que hemos eliminado (pintando de amarillo) en el primer paso de nuestro análisis de la estrategia ganadora.

Gauss volvió a ladrar. Es un perro egocéntrico.

–Pues bien, para tratar de adivinar qué casillas pobes habría en un tablero más grande que el nuestro vamos a quedarnos con el conjunto de casillas pobes que están por debajo de la diagonal que va desde la meta hacia arriba y a la derecha. Vamos a tratar de construir la sucesión de casillas pobes (ganadoras) para cualquier tablero de cualquier dimensión y para ello construiremos la sucesión de casillas ganadoras bajo la diagonal. Luego solo tendremos que completarla añadiendo las casillas simétricas. Es decir, nos saldrá, por ejemplo, la (1,2) por debajo de la diagonal y sabremos que también estará la simétrica, la (2,1) por encima.

–¡Venga! –animó Ven.

–Para ello vamos a escribir en una tablita las coordenadas de las casillas pobes (por debajo de la diagonal) que ya hemos detectado, ordenándolas según han ido apareciendo en nuestro análisis:

Wythoff 11

–Fijaos bien –les animó Mati –, ¿notáis alguna regla que se repita?

Los chicos estuvieron un rato mirando la tabla hasta que, finalmente, Ven exclamó:

–¡Qué curioso! ¡La segunda coordenada de las casillas pobes es la suma del número de orden de la casilla más la primera coordenada de la casilla!

–Es verdad –confirmó Sal sonriendo –, ¿esto va a ocurrir siempre, Mati?

–Así es, chicos –dijo ella –. Y así saldría si siguiésemos nuestro análisis en un tablero más grande. También podéis observar que no se repite ningún número en las coordenadas por lo que hemos dicho antes: si aparece el 1 como primera coordenada de una casilla ganadora ya no puede aparecer nunca más en la primera coordenada de otra casilla ganadora, porque cada casilla ganadora o pobe es única en su fila. Pero, como el juego es simétrico, si el 1 aparece en la primera coordenada de una casilla ganadora también estará en la segunda coordenada de otra casilla ganadora, su simétrica. Bueno, en nuestro juego salían a la vez la (1, 2) y su simétrica la (2,1).

Gauss gimió de un modo raro. Esta ves no podemos explicar por qué.

–Eso significa –continuó Mati –que en los cuadraditos rojos de nuestra tabla no se va a repetir nunca ningún número, ¿me explico?

–Te explicas –dijeron Sal y Ven al unísono.

–Ahora viene lo más chulo –les anunció –: la primera coordenada de la siguiente casilla pobe, la número 5 por debajo de la diagonal, será el número natural más pequeño que aún no hayamos puesto en la tabla…

–¿El 8? –preguntó el gafotas.

–Sep –dijo Mati.

–Entonces, la siguiente casilla pobe es la (8, 13), ¿no? La segunda coordenada será 8 (la primera) más el número de orden, el 5 –dijo Ven.

–Exacto –confirmó Mati.

Wythoff 12

–Siguiendo esta regla –continuó nuestra amiga matemática –, podemos construir la sucesión de casillas ganadoras o pobes para cualquier tablero:

Wythoff 13

–Qué chulo, Mati… –exclamó Sal.

–Pero, ¿dónde están los conejos de Fibonacci, Mati? –Ven se empezaba a impacientar.

–Espera, tranquilo… –dijo ella –. Vamos a fijarnos ahora en la sucesión de números que aparecen en la primera coordenada por una parte, la llamamos Xn, y en la sucesión de números que aparecen en la segunda coordenada por otra, que llamaremos Yn. ¿Qué observáis?

Wythoff 14

–Que ninguna de ellas es la sucesión de Fibonacci –dijo Ven torciendo el morro decepcionado.

–Efectivamente, ninguna de ellas es la de Fibonacci, Ven –siguió ella –, pero son lo que se llaman en Matemáticas dos sucesiones complementarias. Es decir, si las unimos tenemos todos los números naturales (los que sirven para contar) y no se repite ningún número al unirlas.

–Maravilloso… –bromeó Ven.

–Sí, lo es, Ven –continuó ella –. Y sabemos que son complementarias por las propiedades del juego de Wythoff, por las propiedades de las casillas ganadores o pobes como las llama el camarada Sal.

–¿Y los conejos? –insistió el pequeño.

–Deja terminar a Mati, Ven, por favor –intervino Sal.

–Veréis, resulta que existen unas sucesiones complementarias muy especiales que reciben el nombre de sucesiones de Beatty, en honor a Samuel Beatty, que escribió acerca de ellas en 1926. Las sucesiones de Beatty se construyen a partir de un número irracional (un número que no se puede expresar como fracción de 2 números enteros) mayor que 1, llamémosle r, de la siguiente manera:

Wythoff 15

–¿Qué son esas rayitas, Mati, que pones en las letras? –preguntó Sal.

–¿⌊r⌋? Ah, es cierto, no lo he explicado. ⌊r⌋ es la parte entera de un número por defecto, o sea, lo que nos queda al borrar sus decimales. Por ejemplo, ⌊π⌋ sería 3, lo que nos queda de π cuando le quitamos sus decimales.

–Podemos calcular las sucesiones de Beatty con π, ¿no? –preguntó Sal —π es un número irracional y es mayor que 1.

–Claro, π nos vale –dijo Mati –, y si hacemos las sucesiones de Beatty asociadas al número π, es decir r = π=3.14159265359… y s= π/( π-1) = 1.46694220692…, nos queda:

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–¿Veis? Los números naturales que faltan en la sucesión Br están, como por arte de magia, en la sucesión Bs –dijo Mati –, ¿no os parece maravilloso?

–Sin duda –respondió Sal con una enorme sonrisa.

–¿Y si lo hacemos con √2? –preguntó Ven –Es otro irracional mayor que 1.

–Vamos a hacerlo –dijo Mati –: r = √2= 1.41421356237 y s= √2 / (√2-1)= 3.41421356237, nos queda:

Wythoff 17

–Huy, cómo se parece la Brde √2 a la Bs de π, ¿no? –exclamó el pequeño.

–Bueno, pero son diferentes –puntualizó su hermano.

–Sí, sí –apostilló Mati –, cada irracional tiene sus propias sucesiones de Beatty. Eso es seguro.

En ese momento Gauss… no sabemos qué estaba haciendo el can porque, honestamente, estábamos todos esperando a que Mati sacara, por fin, los conejos de Fibonacci de su chistera matemática.

–Bueno, chicos –les dijo –, recapitulemos un poco. Comenzamos buscando una estrategia ganadora para el juego de Wythoff y hemos construido la sucesión de casillas ganadoras para el juego; descubrimos entonces que la sucesión de las primeras coordenadas de las casillas y la sucesión de las segundas coordenadas de las casillas eran sucesiones complementarias, ¿no? –Los niños y Gauss asintieron con vehemencia –. Por otra parte, hemos visto que las sucesiones de Beatty son también complementarias y que cada número irracional tiene las suyas propias. La pregunta que se nos viene inmediatamente a la cabeza es: ¿existe algún número irracional de forma que sus sucesiones de Beatty sean, precisamente, las sucesiones del juego de Wythoff? Y la respuesta es… –pausa dramática de la pelirroja.

–¡¡Suéltalo, Mati!! –gritaron los chicos.

–La respuesta es sí, existe un irracional cuyas sucesiones de Beatty son las del juego de Wythoff –dijo Mati triunfante –. Y lo más maravilloso de todo es que ese irracional es, nada más y nada menos, que ¡¡φ, la razón aúrea!!

–¡¡WOW!! –exclamó Sal

–¡¡Toma, toma, toma!! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–Oye, Ven –dijo su hermano –, hacía mucho tiempo que no te escuchaba decir eso de “toma, toma, toma”.

–Bueno, es que hace mucho que no venía por este blog, tú sabes… –respondió Ven.

–¿Os acordáis de la razón aúrea, verdad, chicos? –les interrumpió Mati.

–Claro, Mati –dijo Ven –, nos lo contaste hace tiempo.

Esta es la razón aúrea, un número irracional muy especial al que le dedicamos uno de nuestros primeros capítulos. Pincha sobre la imagen si quieres leerlo.
Esta es la razón aúrea, un número irracional muy especial al que le dedicamos uno de nuestros primeros capítulos. Pincha sobre la imagen si quieres leerlo.

–Bueno, entonces, ya tenéis los conejos –dijo ella.

–No entiendo –dijo Ven un poco mosqueado –. ¿Dónde están los conejos?

–Dentro de la chistera aúrea –respondió ella guiñando un ojo.

Los niños se quedaron un rato pensando con los ojos arrugados, Gauss también arrugó los ojos pero por puro postureo. Al cabo de un par de minutos Sal exclamó:

–¡¡Claro!! ¡¡Lo tengo!! φ se obtiene dividiendo cada término de la sucesión de Fibonacci entre el anterior, bueno, quiero decir, que cada vez el resultado de esas divisiones se irá pareciendo más a φ . También nos lo contaste hace tiempo.

razon aurea 2

–¡¡TOMA, TOMA, TOMA!! –gritó Ven levantando en brazos a Gauss que lo miraba de soslayo porque estaba indignado con que no le hicieran caso hace rato.

–¿Veis? –preguntó Mati con aire de triunfadora — Os dije que este juego nos llevaría a la madriguera del conejo blanco.

–Del conejo no, Mati –la corrigió Sal –, de los conejos blancos de Fibonacci, ¡infinitos conejos blancos!

–Tienes razón –dijo ella y concluyó –. Pero de lo que no hay duda es de que las matemáticas siempre nos llevan al País de las Maravillas.

FIN

Referencia: Wythoff, W. A. “A Modification of the Game of Nim.” Nieuw Arch. Wisk. 8, 199-202, 1907/190


5 Comentarios

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Antonio (AKA "Un físico")Antonio (AKA "Un físico")

El juego de Wythoff, me recuerda una vez que intenté estudiar la conexión entre el grupo de renormalización y la teoría conforme de campos. En la wiki se puede leer: el flujo de grupo de renormalización en una teoría de dos dimensiones (con coordenadas respecto a la base de complejos conjugados: x+iy, x-iy) es irreversible. Qué casualidad: el juego de Wythoff también es bidimensional (coordenada x e y) y tampoco permite volver atrás.

secretsecret

Perdon por esto soy un idota total creo, soy tan tonto que no lo sé XD.(sin dignidad, tanta que ya me dio nauseas)
-Este articulo, me hizo recordar a Nicola Tesla y la corriente continua.

secretsecret

Nikola Tesla corriente alterna, disculpe mi incompetencia.(excusa estuve pensando en la continuidad vectorial de campos-no es bueno excusarse, es bueno aceptar los errores eso demuestra madurez, aunque queria cubrir mi burrada)
Disculpen mi ocurrencia, se podria crear un escudo de fuerza con campos magneticos, al expandir el campo con bobinas de tesla, ferromagneticos, lantánidos y hidrogeno(plasma) o nitrogeno liquidos.

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